初中数学常见几何模型解析完整版

初中数学常见几何模型解析完整版在中考前，呈上这份《初中数学常见几何模型解析》，很多内容并非原创，都是通过网络学习借鉴过来。希望我们的初三学子能够仔细阅读，回顾联想之前所学，熟记模型条件，弄明白这些常见“基本模型”的来龙去脉。对于模型不仅仅是记住结论，更重要的是要会证明这些结论，并能应用于解题。希望老师整理的这份资料能助我们即将踏入中考考场的所有初三学子于一臂之力！初中做学帝見几何罠生jgg初中做学帝見几何罠生jgg初中敦竽希完几何収空log初中敦竽希完几何収空log初中数学常见几何模型解析※模型一：双子型（手拉手模型）——全等（1）等边三角形♦条件：△OAB.AOCD均为筈边匚角形.•结论，①△OACQAOBD；②AC-BI）；③ZAEX60•:④0E平分ZAEI）：⑤点E在△OAB的外按岡上.（2）RtA♦条件】AOAB.AOCD均为等腰梶角二角形♦结论：①AOAC^AOItt）：②ACBl）：®ZAEB=90p:©01•:T5>ZAEi）：⑤点EftAOAB的外接圆上.（3）任意等腰三角形♦条件；AOAB.AOCD均为等腰二也形♦结论：①△（«（：竺△OBD：②AC=BD：③ZAEBZAOB：④0E半分ZAED（或ZAED的外角〉：⑤点EfHAOAB的外接删I：.※模型二：双子型（手拉手模型）——相似（1（1）一般情况♦条件：CD/7AB（A0CD^>A0AB）.将厶OCD朋转至右13位迴♦结论：右图中（DAOCO^AOAB«AOAfAORD：②延K）JC交BQ于AE.必ftZAFBZAOB：③点E«：AOAB的外按圆上.第（页 1QQ療理、戏•李荷强初中数字工作星

（2）特殊情况♦条件：CD/7AB(A0CDv>A0AB).ZAOB=ZCOI>=90a.将△OCD旋转至右图位暨・♦结论：右图中(!〕△OCD^>AOAB<=>AOAC^AOIU)：②(延长)"•交 十点E・必台ZAEIJ90°(M)丄AC)；③连接AD^BC,WI5^=-/lCxBD,®—=^=^=tanZOCD:z2 ACOCOA⑤点EfEAOAB的外接閱1:(A.0,E,B四点共圆):⑥必冇AD2+BC2=AB2+CD2Hl•李荷彊初中数字工作毘初中做学帝見几何罠生jgg初中做学帝見几何罠生jgg第第3贞 lqq钱理、乙李荷强初叩数字工作毘(2)全等型-120°♦条件:\)ZAOB=2ZDCE=120°；②OC平分Z.AOB；TOC\o"1-5"\h\z■结论：①CBCE：②ODKdg =S&ko+ =〒OC‘◎证明提示：①可参考f等型・9尸证扛•:②如上凶(中八任0/1.収点F,便OF-OC,证明为零边三角形。☆☆^iZI)CE的•边交"O的li长线丁点£＞时(如I.图占〉：原结论变成，® :② :町參考上述第②种方法进行证明。♦条件：①ZA0B-2a・ZI^E-ISO*-2a:②CIFCE：♦结论：①0C平分ZAOB；②OXOE二<2cosa)•0C：③ =S.心°+S心卜：=(sincrcoscr)(?C2=(^sin2a)OC2.☆☆当ZI)CE的•边交川。的延长线于点D时(如右上田〉：療结论变成：① :② :可参考上述弟②种方法进行证明,★请思考初始条件的变化对模型的影响。对角互补模型总结：帘觅初始条正四边形对角互补：注盘两点：四点共圆及H角三角形斜边屮线：初始务件“角半分线-*j“两边相等"的b(别：两种常丸的辅助线作法：注总下图屮0C平分ZAOB时，ZCl)E=ZCED=ZCOA=ZCOE是如何推导的？初中做学帝見几何罠生jgg初中做学帝見几何罠生jgg第第4贞 lqqffi理、［巳•李荷翌初叩数字工作毘※模型四：角含半角模型90。♦条件，①正方形ARCD：②ZEAI-45。*♦结论：①EF-DRBE：②Z\CEF的周长为iF方形ABCD边长的2倍：③FA平分ZDFE.EA平分ZBEI：・也可以这样，♦条件：①正方形ABG)：②E片M+RE♦绍论：ZEAFM5-(捕动嵐潘法2〉♦条件：①正方形ABCD：(2)ZEA1M5°:®lAT分ZD♦结论：EF-DF-BE☆舗助戏如右上图两种.(3(3〉角含半角樓型90°3♦条件:©RtAABC：②ZDAE=45°:♦结论：5D2+C£2=DE2：若ZIMK族转到△"<(•外部咐・结论BD，YE'=DE2仍惦成立.(4〉角含半角模型90°变形♦条件：①正方形ABC0；②ZEA245。:♦结论：①△AM为零腰讯角…角形i②A•伏HE8点共罚：gE・F、H四点共|*・◎证明提示：①連按AC,先证厶ADH-AACE,再证△AHEs^ADC即可.②证l?ZAHE=ZABE=90M即可：③证ZAEH=ZAFG=45-即于.初中做学帝見几何罠生jgg初中做学帝見几何罠生jgg第第6页 1QQ廉理<6李清理初巾数字工作毘初中做学帝見几何罠生jgg初中做学帝見几何罠生jgg第第5页 lqq療理、毛李淸理初中数字工作毘※模型五：倍长中线类模型（1（1）倍长中线类模型-1♦条件：①柘形ABCD：②BD二BE;③DF=EF：♦结论*AF丄CF樓型提取:（0有平行纽AD〃恥：②半行线间纽股有屮点⑴171：）:可以构造“8”字全尊△"）【：仝△IIEI：.<2）倍长中线类棋型<2）倍长中线类棋型-2B♦条件：①Tijpy边形ABCD：®BC=2AB；③AM-DU：④QUAD.♦结论：ZEMI>=3ZMEA.辅助线：冇平行AB〃CD・有中朮AI^DM•建*EM・构itAAME^ADMF.连按CM.构迪寻枝AEMC、AMCF.通述构适8字邢全等.嗚定线枚软童关系及代■■!交糸.兴現角的丸小转先.※模型六：相似三角形36（r旋转模型<1>相似三角形（等腰直角）360°族转槓型■倍长中鏡法血助线:DFMAG・gFG=DF・连MCG、B（7・BD讯明ABDG为等能直用左就点：BG爼点：证吟\41AD・ZBCG♦条件:DAADR.△ARC均为苓腰貢侑和形:♦结论：①D卜二BI；：②DF1BP搐助线：构it直角&f£G、±U7C辅助线思路：^DF与BF转化到CG♦条件:DAADR.△ARC均为苓腰貢侑和形:♦结论：①D卜二BI；：②DF1BP搐助线：构it直角&f£G、±U7C辅助线思路：^DF与BF转化到CG与EH®FF=CF：<7>刘成//ft/>//-</>.“金vx;/y、♦条件：©△OAB^AODC；②ZOA0ZODC=9O°；<3：<7>刘成//ft/>//-</>.“金vx;/y、♦条件：©△OAB^AODC；②ZOA0ZODC=9O°；<3：'BE=CE.♦结论：①AE二DE：②ZAED二2ZABO当“〃.*>点4转化厶口》K助线：址BAA（j•紇加■，吆•/长iX'H构it说4♦谥公.井化/”：gDKXCG※模型七：最短路程模型待点：①动点在直线上：②毘点，终点因変:方法：作定点关干劝点所庄直皱的对称点.♦条件:①0C平分ZAOB：②N为0B上♦求；MP+PQfit小BJ,P.Q的位R?傩助圾：够作q OC对倫皮？•桂化PQ^PQ・itA\f作片/W丄⑵』〃》♦尢J..WN,卫2.WW（金沃我兼竝）•定点：③代Q分别为OG0B上•动点；（3）盘短路程模里二（“胡不rr模型）♦条件：A、B为定点，P为射战AC上一个动点♦何卧点P在何处，BP^-AP（^<1）故短。mm♦方法：第一步.広AC的一侧.PB的并列・构违ZCAE二a•使得融"=戈：m第二步•作BH亠AE于点E,交ACTAP.此叶点Ptt是所求位JLBH就是BP±-AP^&小值.m初中做学帝見几何罠生Iqq初中做学帝見几何罠生Iqq第第7页 lqq療理、龙李荷翌初咿数字工作毘（4）（4）最短路程模型二（“阿氏圆”模型-一“PA+k・PB”型最值）♦条件：A、B为定点,P为00±一个动点,—=*（0<*<1）.OB♦何题:求丹+4PR的最小值•并Iffli出点P的位賈.♦方法'连接吸呱在°B上取点G蔑淙*易证得△POCMBOP用以■所以CP=kPB•所VXPA+kPB=PA^CP^ACt当卩为AC*700的殳点时，PA^kPB的技小值为AC.※模型八：相似三角形模型（1）相似三角形模型一基本塑（1）相似三角形模型一基本塑AP[)p♦结色①△ADESAABC0,-=—=-^DFEFDE<2>相似三角形模型一反A节反AM1反AM1♦条件：ZACD=ZB♦♦结论$①△ACDs^aBC:②AC'-AD•AB♦结论：①△ADEs^abc；②出2=丄2=卩^ABACBC初中做学帝見几何罠生jgg初中做学帝見几何罠生jgg（2）相似三角形模型一“角付子刃（射影定理）♦条件匸AC±BC,CD丄AB・♦结论，0A(?=AD-AB;②BC^BD・AB;③步二妙•BD・（3〉相似三角形模型一线決型（K形相似〉♦条件：ZB=ZACE=ZD♦结论：OAABC^ACDE:②AB•DE二BC•CD（—毁三等角模SJ也Stffl来建立方程僉函啟关系式）特别地，当C为RD中点时.△ABCsACDEs/sACE（4）相似三角形模型一圆卑定珂型♦如图1.相交弦定理：PA・PB=PC・PD♦如图2.PA为切线，切割线定理：PAX=PB•PC♦如图3.割线定理：PA・PB=PC・FD以上炜论均可用相似三角彫证明・※模型九：十字架模型初中做学帝見几何罠生Iqq初中做学帝見几何罠生Iqq初中做学帝見几何罠生Iqq初中做学帝見几何罠生Iqq第第9« lqq总理<6李裔理初巾数字工作毘※模型十：反比例函基本图形（1）反比例函数面积不变形（K的几何意义）♦结论：=SiVW=—\k\♦条件：①点卩为反比例西数图探y='上任送•点；②如图2,PB丄y釉，A为x轴上任总•点:x（或②如图3・PA丄％轴・B为y轴I•任盘一点）♦结论：Sg=*|（2）反比例函数比例性欣♦条件：反比例函数j=*（*^0）（x>0）的图線勺矩形OABC（A点任y轴上.C点任x轴」：）x的边AB、BC分别空于点E、FWi点・♦姑论：—=—,1$别地，、l1E为AB中点时，F•血为BC中点BEBF

※模型十一：“定边对定角”模型“定边对定角”动点成“隐HT♦条件：♦条件：AB为定｛ft,点P为功点，HZAPB=a,（<«为定角）♦结论】①点P任以AB为強的