初三数学正多边形和圆

初三数学正多边形和圆、弧长公式及有关计算知识一.本周教学容：正多边形和圆、弧长公式及有关计算［学习目标］1.正多边形的有关概念；正多边形、正多边形的中心、半径、边心距、中心角。正n边形的半径，边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形。2.正多边形和圆的关系定理任何正多边形都有一个外接圆和一个切圆，这两个圆是同心圆，因此可采用作辅助圆的方法，解决一些问题。3.边数一样的正多边形是相似多边形，具有以下性质：〔1〕半径〔或边心距〕的比等于相似比。〔2〕面积的比等于边心距〔或半径〕的比的平方，即相似比的平方。4.由于正n边形的n个顶点n等分它的外接圆，因此画正n边形实际就是等分圆周。〔1〕画正n边形的步骤：将一个圆n等分，顺次连接各分点。〔2〕用量角器等分圆先用量角器画一个等于的圆心角，这个角所对的弧就是圆的，然后在圆上依次截取这条弧的等弧，就得到圆的n等分点，连结各分点即得此圆的接正n边形。5.对于一些特殊的正n边形，如正四边形、正八边形、正六边形、正三角形、正十二边形还可以用尺规作图。6.圆周长公式：，其中C为圆周长，R为圆的半径，把圆周长与直径的比值叫做圆周率。7.n°的圆心角所对的弧的弧长：n表示1°的圆心角的度数，不带单位。8.正n边形的每个角都等于，每个外角为，等于中心角。二.重点、难点：1.学习重点：正多边形和圆关系，弧长公式及应用。正多边形的计算可转化为解直角三角形的问题。只有正五边形、正四边形对角线相等。2.学习难点：解决有关正多边形和圆的计算，应用弧长公式。例1.正六边形两条对边之间的距离是2，则它的边长是〔〕A.B.C.D.解：如下图，BF＝2，过点A作AG⊥BF于G，则FG＝1又∵∠FAG＝60°应选B点拨：正六边形是正多边形中最重要的多边形，要注意正六边形的一些特殊性质。例2.正三角形的边心距、半径和高的比是〔〕A.1∶2∶3 B.C.D.解：如下图，OD是正三角形的边心距，OA是半径，AD是高设，则AO＝2r，AD＝3r∴OD∶AO∶AD＝r∶2r∶3r＝1∶2∶3应选A点拨：正三角形的心也是重心，所以心到对边的距离等于到顶点距离的。通过这个定理可以使问题得到解决。例3.周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积之间的大小关系是〔〕A.B.C.D.解析：设它们的周长为，则正三角形的边长是，正四边形的边长为，正六边形的边长为应选B点拨：一定要注意三个正多边形的周长相等这一重要条件，否则容易得出错误结论。例4.如下图，正五边形的对角线AC和BE相交于点M，求证：〔1〕；〔2〕点悟：假设作出外接圆可以轻易解决问题。证明：〔1〕正五边形必有外接圆，作出这个辅助圆，则∴∠BEA＝36°〔2〕又∵公共角∠ABM＝∠EBA∴△ABM∽△EBA例5.正六边形ABCDEF的半径为2cm，求这个正六边形的边长、周长和面积。解：∵正六边形的半径等于边长∴正六边形的边长正六边形的周长正六边形的面积点拨：此题的关键是正六边形的边长等于半径。例6.正方形的边长为2cm，求它的外接圆的外切正三角形的边长和面积。解：∵正方形的边长为2cm∴正方形的外接圆半径为cm∴外接圆的外切正三角形一边上的高为cm∴正三角形的边长为∴正三角形的面积为点拨：此题的重点是正方形的边长、圆的半径和正三角形的半径之间的关系。例7.如下图，⊙和⊙外切于点P，⊙和⊙的半径分别为r和3r，AB为两圆的外公切线，A、B为切点，求AB与两弧所围的阴影局部的面积。解：连结，过点作在中，∴梯形的面积为：又∵∴扇形的面积为：扇形的面积为：∴阴影局部的面积为：点拨：求组合图形的面积一般要构造出易解决问题的根本图形，然后求出各图形的面积，最后通过面积的加减得出结论。例8.如果弧所对的圆心角的度数增加1°，设弧的半径为单位1，则它的弧长增加___________。解：由弧长公式，得：当弧所对的圆心角的度数增加1°，则弧长为∴弧长增加，故填点拨：此题主要考察弧长公式。例9.如图，大的半圆的弧长为a，n个小圆的半径相等，且互相外切，其直径和等于大半圆的直径，假设n个小半圆的总弧长为b，则a与b之间的关系是〔〕A.B.C.D.解：设大半圆的半径为R，小半圆的半径为r由题意，得：∴小圆的半径∴每个小半圆的弧长为∴n个小半圆的总弧长即，应选A。点拨：此题的关键是大半圆的半径和小半圆的半径之间的关系，然后通过弧长和半径之间的关系求解。例10.如下图，两个同心圆被两条半径截得的的长为，的长为，假设，则图中阴影局部的面积为〔〕A.B.C.D.解：设∠O＝α，由弧长公式得：又∴阴影局部的面积为：应选C点拨：此题主要考察弧长、扇形面积的有关计算，要熟记公式，正确运用。例11.如下图，⊙O的半径OA为R，弦AB将圆周分成弧长之比为3∶7的两段弧，求弦AB的长，如果将3∶7改为m∶n，此时弦AB的长度是多少？点悟：欲求弦长AB，需用弦长公式，需知圆心角的度数，∠AOB可通过两弧长之比3∶7求得，再利用求得AD，AB就可求。解：作OD⊥AB于D，连结OB∵这两段弧之比为3∶7∴这两段弧所对的圆心角之比也为3∶7设这两个圆心角的度数为3*，7*，则即∴∠DOA＝54°，又∴AD＝Rsin54°∵AB＝2AD同理可得3∶7改为m∶n时，解得：点拨：有关正多边形的计算，都要作出它的半径和边心距为辅助线，从而将问题转化为解直角三角形的问题。例12.正六边形边长为a，求它的切圆的面积。点悟：欲求切圆的面积，根据圆面积公式，需求切圆的半径OH，可依据正六边形的性质及边长a求得，代入面积公式，即可。解：如下图，设正六边形的边长，切圆的圆心为O，连结OA、OB，作OH⊥AB于H，则∠AOH＝30°例13.正多边形的周长为12cm，面积为，则切圆的半径为__________。解：设正多边形是正n边形，圆半径为r∵正多边形的周长是12cm∴正多边形的边长是又∵正多边形的面积是故应填2cm。点拨：要注意切圆半径等于正多边形的边心距这一重要概念。〔答题时间：30分钟〕一.判断题。1.各边相等的圆外切多边形是正多边形。〔〕2.各边相等的圆接多边形是正多边形。〔〕3.各角相等的圆接多边形是正多边形。〔〕4.各角相等的圆外切多边形是正多边形。〔〕5.一个四边形不一定有外接圆或切圆。〔〕6.矩形一定有外接圆，菱形一定有切圆。〔〕7.三角形一定有外接圆和切圆，且两圆是同心圆。〔〕8.依次连结正多边形各边中点所得的多边形是正多边形。〔〕二.填空题。9.假设正多边形角和是540°，则这个多边形是_________边形。10.两个圆的半径比为2∶1，大圆的接正六边形与小圆的外切正六边形的面积比为__________。11.有一修路大队修一段圆弧形弯道，它的半径R是36m，圆弧所对的圆心角为60°，则这段弯道长约________m〔准确到0.1m，〕。三.解答题。12.半径为R的圆有一个外切正方形和接正方形，求这两个正方形的边长比和面积比。13.如图，△AFG中，AF＝AG，∠FAG＝108°，点C、D在FG上，且CF＝CA，DG＝DA，过点A、C、D的⊙O分别交AF、AG于点B、F。求证：五边形ABCDE是正五边形。14.如图：三个半径的圆两两外切，求由三条切点弧围成的阴影图形的周长。[参考答案]一.判断题。1.×2.×3.√4.√5.√6.√7.×8.√二.填空题。9.正