新高考2023届高考数学二轮复习专题突破精练第11讲分离参数与分离函数教师版

第11讲分离参数与分离函数一．选择题（共10小题）1．（2021•浙江模拟）对任意，不等式恒成立，则实数的最小值为A． B． C． D．【解答】解：对任意的，不等式恒成立，即恒成立，函数与函数互为反函数，又时，，原问题等价于恒成立，则，即在恒成立，设，则，令，解得，当时，递减，时，递增，则（1），故．即．另解：，等价为，设，，可得在递增，则，当时，恒成立；当时，可得，可得，即有，由的导数为，可得时，递减，时，递增，可得处取得最大值，所以．故选：．2．（2021•桃城区校级三模）已知，不等式对任意的实数恒成立，则实数的最小值为A． B． C． D．【解答】解：即为，设，则上式对任意的实数恒成立，显然是上的增函数，，故选：．3．（2021•西湖区校级模拟）已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是A． B． C． D．【解答】解：令，问题等价于在上恒成立因为时，，所以只需在上递减，即，恒成立，即，．．故选：．4．（2021•运城模拟）设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的最小值为A． B． C． D．【解答】解：实数，若对任意的，不等式恒成立，即为，设，，，令，可得，由指数函数和反比例函数在第一象限的图象，可得和有且只有一个交点，设为，当时，，递增；当时，，递减．即有在处取得极小值，且为最小值．即有，令，可得，．则当时，不等式恒成立．则的最小值为．另解1：由于与互为反函数，故图象关于对称，考虑极限情况，恰为这两个函数的公切线，此时斜率，再用导数求得切线斜率的表达式为，即可得的最小值为．另解2：不等式恒成立，即为，即有，可令，可得在递增，则，即有，由的导数为，当时，递减．时，递增，可得时，取得最大值．则，的最小值为．故选：．5．（2021秋•10月份月考）设，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是A． B． C． D．【解答】解：由题意可知，不等式在上恒成立，则对上恒成立，设，，，令，解得，所以当，，单调递增，当时，，单调递减，当时，取极大值，即为最大值，最大值为，所以，，所以的取值范围为，故选：．6．（2021秋•江西月考）对任意，，不等式恒成立，则实数的取值范围为A． B．， C．， D．，【解答】解：因为对任意，，不等式恒成立，所以对任意，，不等式恒成立，令，，，，，，令，，，，在，上单调递增，所以且，当时，，所以存在，，，即，所以，所以在，上，，单调递减，在，上，，单调递增，所以的最小值为，，，所以单调递增，所以，所以，所以在，上，，单调递增，所以，所以，故选：．7．（2021秋•南关区校级月考）设实数，若对任意的，不等式成立，则实数的取值范围是A．， B．， C．， D．，【解答】解：因为，不等式，即，进而转化为恒成立，构造函数，可得，当时，，单调递增，则不等式恒成立等价于恒成立，即恒成立，进而转化为恒成立，设，可得，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以当时，函数取得最大值，最大值为（e），所以，即实数的取值范围是，．故选：．8．（2021秋•江西月考）不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是A．， B．， C．， D．，【解答】解：因为不等式，所以，因为，所以，所以对任意恒成立，设，，则，所以，故，当且仅当时“”成立，又方程在内有解，所以，即的取值范围是，，故选：．9．（2021秋•长治月考）函数，对，成立，则实数的取值范围是A．， B．， C．， D．，【解答】解：由题意可知，，成立，所以对恒成立，设，所以对恒成立，即，则，令，解得，当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，所以（1），所以，即，所以实数的取值范围为，．故选：．10．（2021春•河南期中）已知函数，其中是自然对数的底数，是实数，若不等式对任意的恒成立，则的取值范围是A． B． C． D．【解答】解：解法一：利用排除法，当时，，（1），故不合题意，选项错误，当时，，（1），故不合题意，选项错误，故选：．解法二：由题意可得：，令，则，所以当时，’，当时’，所以在上单调递减，在上单调递增，所以（1），由恒成立的结论可知．故选：．二．解答题（共9小题）11．（2021秋•广陵区校级月考）已知函数，其中是自然对数的底数．（1）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围；（2）已知正数满足（1），试比较与的大小，并证明你的结论．【解答】解：（1）不等式在上恒成立，即为，由，即在恒成立，令，，则，当且仅当时，即，，可得，所以，实数的取值范围是；（2）已知，令，，由，解得，当，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以当时，取极小值，即为最小值，最小值为，注意到，（e）（1），①当时，（a），即，从而，②当，，③当，，，（a）（e），即，所以，综上可知，①当，时，，②当时，，③当时，．12．（2021秋•重庆月考）已知函数，为函数的导函数．（1）讨论的单调区间；（2）若恒成立，求的取值范围．【解答】解：（1）的定义域是，，当时，在上单调递减，在单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，，在上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减；综上所述，当时，的单调递减区间为，递增区间为；当时，的递增区间为，，递减区间为当时，的递增区间为；当时，的递增区间为，，递减区间为．（2）令，恒成立，恒成立，即，恒成立，①当时，有，令，，在单调递减，当时，，；②当时，恒成立，；③当时，，有，，由得，时，，单调递减，，时，，单调递增，当时，取得极小值，也是最小值，；综上所述，．即的取值范围为，．13．（2021秋•南宁月考）已知函数．（1）讨论的单调性．（2）设，若恒成立，求的取值范围．【解答】解：（1），当时，，单调递增，当时，在上，，单调递增，在，上，，单调递减，综上所述，当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在，上单调递减，（2），若恒成立，则恒成立，所以恒成立，令，，令，，，令，，所以在上单调递增，又（1），且时，，所以在上，，，单调递减，在，，，单调递增，所以（1），所以在上单调递增，又（1），所以在上，，，单调递减，在，，，单调递增，所以（1），所以，所以的取值范围为，．14．（2021秋•巴中月考）已知，．（1）讨论函数的单调性；（2）当时，若对任意，恒成立，求的取值范围．【解答】解：（1）因为，则，①当时，恒成立，所以函数在上单调递增；②当时，令，解得，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减．综上所述，当时，函数在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）当且时，恒成立，即对于恒成立，等价于对于恒成立，令，则问题转化为对于恒成立，因为对于恒成立，所以在上单调递增，则对于恒成立，等价于对于恒成立，故对于恒成立，令，则，当时，，则单调递增，当时，，则单调递减，所以当时，取得最大值（1），则，所以的取值范围为．15．（2021秋•许昌月考）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若在区间上恒成立，求实数的取值范围．【解答】解：（1）因为，，令，当，，由，解得，由，解得，当，，令，得，，当时，，解得；，解得，当，即时，由，解得，由，．由时，即时，恒成立；当时，即时，由，解得；由，解得．综上所述，当时，函数在上单调递增，在上单调递减；当时，函数在，上单调递增，在上单调递减；当时，函数在上单调递增；当时，函数在，上单调递增，在上单调递减；（2）因为，在区间上恒成立，即在区间上恒成立，即在区间上恒成立，设，，令，．因为，所以，所以在上单调递减，所以（1），所以，所以在上单调递减，所以（1），所以，所以的取值范围为，．16．（2021秋•河南月考）已知函数．（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）若，且当时恒成立，求的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，，当时，，在上单调递增，当时，令，得，所以，当时，，单调递增，当时，，单调递减，综上所述，当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减．（Ⅱ）因为当时，恒成立，所以当时，恒成立，所以当时，恒成立，令，，，令，，因为，所以，所以在上单调递增，所以，即，因为，当时，，，当，，，所以在上，，单调递减，在时，，单调递增，所以，在上，（1），所以，所以的最大值为．17．（2021秋•河南月考）已知函数．（1）设是的导函数，求在，上的最小值；（2）今，若对于任意的恒成立，求实数的取值范围．【解答】解：（1）由，得，令，所以对，恒成立，所以在，上为增函数，所以，所以在，上的最小值为1，（2）当，时，由得，取对，恒成立，所以对，恒成立，即函数的图象在的上方，当，时，由得，取对，恒成立，所以对，恒成立，即函数的图象在的下方，在的切线斜率为，当时，对，恒成立，令，，由（1）知的最小值是1，所以的最小值是0，所以是增函数，最小值在时取得，且，所以时对，恒成立，同理可证时，对，恒成立，根据函数图象知．故实数的取值范围为，．18．（2021秋•金安区校级月考）已知函数（其中，为自然对数的底数）．（1）当时，讨论函数的单调性；（2）当时，，求的取值范围．【解答】解：（1）由题意知，，当时，由得，，，①若，即时，恒成立，故在上单调递增；②若，即时，易得在和上单调递增，在上单调道减；③若，即时，易得在和上单调递增，在上单调递减；综上：当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在和上单调递增，在上单调递减．（2）由题意知，对任意的恒成立，即对任意的恒成立，令，则，令，则在上显然单调递减，又（1），（e），故在上有唯一的实根，不妨设该实根为，则为的极大值点，故，又，代入上式得，故的取值范围为．19．（2021秋•金安区校级月考）已知函数．（1）若函数存在两个极值点，，求的取值范围；（2）在（1）的条件下，若