2022-2023学年吉林省四平市伊通实验中学高二数学理测试题含解析

2022-2023学年吉林省四平市伊通实验中学高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.对任意复数、，定义，其中是的共轭复数.对任意复数、、，有如下四个命题：①；②；③；④.则真命题的个数是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B2.已知函数

则等于（

）A．2009

B．2010

C．2011

D．2012参考答案：C略3.复数z=+2i对应的点在（）A．第一象限内 B．实轴上 C．虚轴上 D．第四象限内参考答案：A【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】由复数z=+2i对应的点（，2）即可得出结论．【解答】解：复数z=+2i对应的点（，2）在第一象限．故选：A．4.盒中装有大小形状都相同的5个小球，分别标以号码1，2，3，4，5，从中随机取出一个小球，其号码为偶数的概率是（）A． B． C． D．参考答案：B考点：古典概型及其概率计算公式．专题：计算题．分析：从5个球中随机取出一个小球共有5种方法，其中号码为偶数的为：2，4，共两种，由古典概型的概率公式可得答案．解答：解：从5个球中随机取出一个小球共有5种方法，其中号码为偶数的为：2，4，共两种由古典概型的概率公式可得：其号码为偶数的概率是故选B点评：本题考查古典概型的求解，数准事件数是解决问题的关键，属基础题．5.命题“?x0∈R，x02﹣x0+1＜0”的否定是（）A．?x0∈R，x02﹣x0+1≥0 B．?x0?R，x02﹣x0+1≥0C．?x∈R，x2﹣x+1≥0 D．?x?R，x2﹣x+1≥0参考答案：C【考点】命题的否定．【分析】利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：∵特称命题的否定是全称命题．∴命题p：?x0∈R，使x02﹣x0+1＜0的否定是：?x∈R，x2﹣x+1≥0．故选：C【点评】本题考查命题的否定，注意量词的变化，基本知识的考查．6.设，为非零向量，||=2||，两组向量，，，和，，，，均由2个和2个排列而成，若?+?+?+?所有可能取值中的最小值为4||2，则与的夹角为（） A． B． C． D．0参考答案：B7.已知为椭圆的两个焦点，为椭圆上的一点，且，则此椭圆离心率的取值范围是

(

)A．

B．

C．

D．参考答案：C8.2018年平昌冬奥会期间，5名运动员从左到右排成一排合影留念，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法种数为（

）A．21

B．36

C．42

D．84参考答案：C根据题意，最左端只能排甲或乙，则分两种情况讨论：①最左边排甲，则剩下4人进行全排列，有种安排方法；②最左边排乙，则先在剩下的除最右边的3个位置选一个安排甲，有3种情况，再将剩下的3人全排列，有种情况，此时有种安排方法，则不同的排法种数为种.故选：C.

9.已知直线（t为参数）与曲线的相交弦中点坐标为(1,1)，则a等于（

）A. B. C. D.参考答案：A【分析】根据参数方程与普通方程的互化，得直线的普通方程为，由极坐标与直角坐标的互化，得曲线普通方程为，再利用“平方差”法，即可求解．【详解】由直线（为参数），可得直线的普通方程为，由曲线，可得曲线普通方程为，设直线与椭圆的交点为，，则，，两式相减，可得.所以，即直线的斜率为，所以，故选A．【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及中点弦问题的应用，其中解答中熟记互化公式，合理应用中点弦的“平方差”法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．10.编号为1、2、3、4、5、6、7的七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案有

A．60

B．20种

C．10种

D．8种

参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.执行下边的程序框图，输出的

.参考答案：3012.有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是

．参考答案：1和3【考点】F4：进行简单的合情推理．【分析】可先根据丙的说法推出丙的卡片上写着1和2，或1和3，分别讨论这两种情况，根据甲和乙的说法可分别推出甲和乙卡片上的数字，这样便可判断出甲卡片上的数字是多少．【解答】解：根据丙的说法知，丙的卡片上写着1和2，或1和3；（1）若丙的卡片上写着1和2，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；∴根据甲的说法知，甲的卡片上写着1和3；（2）若丙的卡片上写着1和3，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；又甲说，“我与乙的卡片上相同的数字不是2”；∴甲的卡片上写的数字不是1和2，这与已知矛盾；∴甲的卡片上的数字是1和3．故答案为：1和3．13.已知双曲线的焦点为，离心率为，则双曲线的方程是-----_________参考答案：略14.函数，若在(1,4)内是减函数，在(7,+∞)内是增函数，则实数a的取值范围是__________.参考答案：[5,8].【分析】由题意利用导函数与原函数单调性的关系将原问题转化为恒成立问题，据此可得实数的取值范围.【详解】由函数的解析式可得：，则在区间内，恒成立，在区间内，恒成立，据此可得：.即实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查导函数研究函数的单调性，属于中等题.15.对于在区间上有意义的两个函数和，如果对任意，均有,那么我们称和在上是接近的．若与在闭区间上是接近的，则的取值范围是________参考答案：16.已知复数z满足z?（i﹣i2）=1+i3，其中i为虚数单位，则z=

．参考答案：﹣i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】由z?（i﹣i2）=1+i3，得，然后利用复数代数形式的乘除运算化简即可得答案．【解答】解：由z?（i﹣i2）=1+i3，得=，故答案为：﹣i．17.已知函数在上是增函数，则实数a的取值范围是

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某校在学年期末举行“我最喜欢的文化课”评选活动，投票规则是一人一票，高一（1）班44名学生和高一（7）班45名学生的投票结果如下表（无废票）：

语文数学外语物理化学生物政治历史地理高一（1）班697545332高一（7）班a6b456523

该校把上表的数据作为样本，把两个班同一学科的得票之和定义为该年级该学科的“好感指数”.（Ⅰ）如果数学学科的“好感指数”比高一年级其他文化课都高，求a的所有取值；（Ⅱ）从高一（1）班投票给政治、历史、地理的学生中任意选取3位同学，设随机变量X为投票给地理学科的人数，求X的分布列和期望；（Ⅲ）当a为何值时，高一年级的语文、数学、外语三科的“好感指数”的方差最小?（结论不要求证明）参考答案：（Ⅰ）7,8；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）或..【分析】（Ⅰ）数学学科的“好感指数”比语文、外语的高即可；（Ⅱ）随机变量服从超几何分布；（Ⅲ）根据方差公式.【详解】解：（Ⅰ）由已知，所以.

依题意，

即

解得，又，所以，.

（Ⅱ）由已知，随机变量是高一（1）班同学中投票给地理学科的人数，所以.

，

，

.

.

（Ⅲ）或.【点睛】本题主要考查随机变量的均值与方程，超几何分布，考查分析问题解决问题的能力.19.△ABC的三个内角A、B、C对边分别是a,b,c，且，，又△ABC的面积为.求：（1）角C；

（2）a+b的值.参考答案：（1）由已知：

——————5分（2）———————7分又

————————10分20.已知函数f（x）=ex（ax+b）﹣x2﹣4x，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y=4x+4．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【专题】压轴题；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求导函数，利用导数的几何意义及曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y=4x+4，建立方程，即可求得a，b的值；（Ⅱ）利用导数的正负，可得f（x）的单调性，从而可求f（x）的极大值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=ex（ax+b）﹣x2﹣4x，∴f′（x）=ex（ax+a+b）﹣2x﹣4，∵曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y=4x+4∴f（0）=4，f′（0）=4∴b=4，a+b=8∴a=4，b=4；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=4ex（x+1）﹣x2﹣4x，f′（x）=4ex（x+2）﹣2x﹣4=4（x+2）（ex﹣），令f′（x）=0，得x=﹣ln2或x=﹣2∴x∈（﹣∞，﹣2）或（﹣ln2，+∞）时，f′（x）＞0；x∈（﹣2，﹣ln2）时，f′（x）＜0∴f（x）的单调增区间是（﹣∞，﹣2），（﹣ln2，+∞），单调减区间是（﹣2，﹣ln2）当x=﹣2时，函数f（x）取得极大值，极大值为f（﹣2）=4（1﹣e﹣2）．【点评】本题考查导数的几何意义，考查函数的单调性与极值，考查学生的计算能力，确定函数的解析式是关键．21.在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a=，且4sin2﹣cos2A=．（1）求角A的大小；

（2）求△ABC的周长l取值范围．参考答案：【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】计算题；转化思想；定义法；解三角形．【分析】（1）由二倍角公式化简得到2（1﹣cosA）﹣2（cos2A﹣1）=，解得即可；（2）由由正弦定理===2，得到b=2sinB，c=2sinC，再根据三角函数的性质即可求出．【解答】解：（1）在△ABC中，∵4sin2﹣cos2A=，∴2（1﹣cosA）﹣2（cos2A﹣1）=解得cosA=，∴A=；（2）由正弦定理===2，∴b=2sinB，c=2sinC，∴l=+2sinB+2sinC=+2sin（B+），∵0＜B＜，∴＜sin（B+）≤1，∴2＜l≤3．【点评】本题考查了三角函