2022-2023学年辽宁省鞍山市第五十五中学高三数学理联考试卷含解析

2022-2023学年辽宁省鞍山市第五十五中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知且，则复数

A.必为实数

B.必为虚数C.是虚数但不一定是纯虚数

D.可能是实数，也可能是虚数参考答案：A2.已知为虚数单位，则复数

(

)A．

B．

C．

D．1参考答案：C略3.将函数的图象向_________单位可得到函数的图象。A．向左平移

B．向右平移 C．向右平移 D．向左平移参考答案：A4.复数z=的共轭复数为（）A．﹣1﹣i B．1﹣i C．﹣2﹣i D．﹣2+i参考答案：D【分析】利用复数的代数形式的乘除运算法则先求出复数z，由此能求出z的共轭复数．【解答】解：z=====﹣2﹣i，∴复数z=的共轭复数为﹣2+i．故选：D．5.若a，b，c，满足，，，则（

）A. B. C. D.参考答案：A分析：先利用指数函数的单调性确定的取值范围，再通过对数函数的单调性确定的范围，进而比较三个数的大小．详解：因为，所以，因为，所以，又，所以．点睛：本题考查指数函数的单调性、对数函数的单调性等知识，意在考查学生的逻辑思维能力．6.在矩形中，.若，则的值为（

）A．2

B．4

C．5

D．7参考答案：D考点：平面向量的线性运算．7.已知是虚数单位，则等于（

） A． B． C． D．参考答案：A8.已知函数，若是函数的唯一极值点，则实数的取值范围是（

）A．(－∞,e]

B．(－∞,e)

C.(－e,+∞)

D．[－e,+∞)参考答案：A由函数，可得，有唯一极值点有唯一根，无根，即与无交点，可得，由得，在上递增，由得，在上递减，，即实数k的取值范围是，故选A.

9.已知集合A={x|x2﹣2x＞0}，B={x|﹣＜x＜}，则（）A．A∩B=? B．A∪B=R C．B?A D．A?B参考答案：B【考点】1D：并集及其运算；74：一元二次不等式的解法．【分析】根据一元二次不等式的解法，求出集合A，再根据的定义求出A∩B和A∪B．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣2x＞0}={x|x＞2或x＜0}，∴A∩B={x|2＜x＜或﹣＜x＜0}，A∪B=R，故选B．【点评】本题考查一元二次不等式的解法，以及并集的定义，属于基础题．10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球表面积为（）A．4π B．12π C．24π D．48π参考答案：B【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；立体几何．【分析】作出几何体的直观图，根据其结构特征求出外接球的半径，得出球的表面积．【解答】解：由三视图可知几何体为三棱锥P﹣ABC，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，取PC中点O，AC中点D，连结OA，OD，BD，OB，则AC==2，PC==2．∴OP=OC=，OA=PC=，BD==，OD==1，∴OB==，∴OA=OB=OC=OP，∴O是棱锥P﹣ABC外接球的球心，外接球半径r=OA=，∴外接球表面积S=4πr2=12π．故选B．【点评】本题考查了棱锥的三视图和结构特征，球与内接多面体的关系，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知数列{bn}的前n项和为Sn，满足，且对任意都有，函数，方程的根从小到大组成数列{an}，则的取值范围是

．参考答案：

12.已知函数，若方程有且仅有两个解，则实数的取值范围是

.参考答案：略13.一个几何体的三视图如图所示(单位),则刻几何体的体积为

．参考答案：考点：三视图的识读和几何体的体积的计算．14.已知在中，角，，所对的边分别为，，，，点在线段上，且.若，则

．参考答案：，有正弦定理得，则，所有。由题意，是角平分线，，设，则，由，所有，，由得，，解得，所以。

15.已知函数f（x）=g（x）=asin（x+）﹣2a+2（a＞0），给出下列结论：①函数f（x）的值域为[0，]；②函数g（x）在[0，1]上是增函数；③对任意a＞0，方程f（x）=g（x）在[0，1]内恒有解；④若存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的取值范围是[，]．其中所有正确结论的序号是．参考答案：①②④【考点】分段函数的应用．【专题】阅读型；函数的性质及应用．【分析】求得f（x）的各段的值域，再求并集，即可判断①；化简g（x），判断g（x）的单调性即可判断②；求出g（x）在[0，1]的值域，求出方程f（x）=g（x）在[0，1]内无解的a的范围，即可判断③；由③得，有解的条件为：g（x）的最小值不大于f（x）的最大值且g（x）的最大值不小于f（x）的最小值，解出a的范围，即可判断④．【解答】解：当x∈[0，]时，f（x）=﹣x是递减函数，则f（x）∈[0，]，当x∈（，1]时，f（x）==2（x+2）+﹣8，f′（x）=2﹣＞0，则f（x）在（，1]上递增，则f（x）∈（，]．则x∈[0，1]时，f（x）∈[0，]，故①正确；当x∈[0，1]时，g（x）=asin（x+）﹣2a+2（a＞0）=﹣acosx﹣2a+2，由a＞0，0≤x≤，则g（x）在[0，1]上是递增函数，故②正确；由②知，a＞0，x∈[0，1]时g（x）∈[2﹣3a，2﹣]，若2﹣3a＞或2﹣＜0，即0＜a＜或a＞，方程f（x）=g（x）在[0，1]内无解，故③错；故存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，则解得≤a≤．故④正确．故答案为：①②④．【点评】本题考查分段函数的运用，考查函数的值域和单调性及运用，考查存在性命题成立的条件，转化为最值之间的关系，属于易错题和中档题．16.观察下列等式，按此规律，第n个等式的右边等于

．参考答案：3n2﹣2n【考点】归纳推理．【分析】由图知，第n个等式左边是n个奇数的和，第一个奇数是2n﹣1，由等差数列的求和公式计算出第n个等式的和，即可得结果．【解答】解：由图知，第n个等式的等式左边第一个奇数是2n﹣1，故n个连续奇数的和故有n×=n×（3n﹣2）=3n2﹣2n．故答案为3n2﹣2n．17.已知双曲线(a＞0，b＞0)的左顶点为，右焦点为，过的直线与双曲线交于A，B两点，且满足：，，则该双曲线的离心率是________．参考答案：2考点：双曲线因为，所以F为AB的中点，所以轴，即

又，所以所以

即等式两边除以得：解得e=2.

故答案为：2三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）下图为某校语言类专业N名毕业生的综合测评成绩（百分制）分布直方图，已知80-90分数段的学员数为21人（1）求该专业毕业总人数N和90-95分数段内的人数；（2）现欲将90-95分数段内的名人分配到几所学校，从中安排2人到甲学校去，若人中仅有两名男生，求安排结果至少有一名男生的概率．参考答案：（1）6；（2）．试题分析：（1）分数段频率为,此分数段的学员总数为人所以毕业生的总人数为，分数段内的人数频率为所以分数段内的人数（2）分数段内的人中有两名男生,名女生设男生为;女生为,设安排结果中至少有一名男生为事件从中取两名毕业生的所有情况（基本事件空间）为共种组合方式,每种组合发生的可能性是相同的其中,

至少有一名男生的种数为共种，所以,。19.已知数列{an}的前n项和，令bn=log9an+1．（1）求数列{bn}的通项公式；（2）若数列{bn}的前n项和为Tn，数列的前n项和为Hn，求H2017．参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由数列的前n项和求出数列通项公式，代入bn=log9an+1，利用对数的运算性质求得数列{bn}的通项公式；（2）求出数列{bn}的前n项和为Tn，利用裂项相消法求得数列的前n项和为Hn，则H2017可求．【解答】解：（1）当n=1时，；当n≥2时，．a1=1适合上式，∴．则bn=log9an+1=，即数列{bn}的通项公式；（2）由，得．则．于是=，则．20.已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c的最小值为4．（1）求a+b+c的值；（2）求a2+b2+c2的最小值．参考答案：【考点】一般形式的柯西不等式．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）运用绝对值不等式的性质，注意等号成立的条件，即可求得最小值；（2）运用柯西不等式，注意等号成立的条件，即可得到最小值．【解答】解：（1）因为f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c≥|（x+a）﹣（x﹣b）|+c=|a+b|+c，当且仅当﹣a≤x≤b时，等号成立，又a＞0，b＞0，所以|a+b|=a+b，所以f（x）的最小值为a+b+c，所以a+b+c=4；（2）由（1）知a+b+c=4，由柯西不等式得，（a2+b2+c2）（4+9+1）≥（?2+?3+c?1）2=（a+b+c）2=16，即a2+b2+c2≥当且仅当==，即a=，b=，c=时，等号成立．所以a2+b2+c2的最小值为．【点评】本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识，考查运算能力，属于中档题．21.如图，直线PQ与⊙O相切于点A，AB是⊙O的弦，∠PAB的平分线AC交⊙O于点C，连结CB，并延长与直线PQ相交于点Q，若AQ=6，AC=5．（Ⅰ）求证：QC2﹣QA2=BC?QC；（Ⅱ）求弦AB的长．参考答案：考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题；推理和证明．分析：（Ⅰ）利用切割线定理得：QA2=QB?QC=（QC﹣BC）?QC=QC2﹣BC?QC，即可证明QC2﹣QA2=BC?QC；（Ⅱ）求出AC=BC=5，QC=9，由∠QAB=∠ACQ，知△QAB∽△QCA，即可求弦AB的长．解答： （Ⅰ）证明：∵PQ与⊙O相切于点A，∴由切割线定理得：QA2=QB?QC=（QC﹣BC）?QC=QC2﹣BC?QC．…∴QC2﹣QA2=BC?QC．…（Ⅱ）解：∵PQ与⊙O相切于点A，∴∠PAC=∠CBA，∵∠PAC=∠BAC