2021届安徽省安庆市高考数学模拟试卷（文科）（二模）（解析版）

2021年安徽省安庆市高考数学模拟试卷(文科)(二模)

一、选择题(共12小题).

1.若集合—{x|0〈尽3},4{x|/+x-2W0},则〃CN=()

A.(0,1]B.(0,3]C.(0,2]D.(-2,1]

2.若复数z满足z(1+力=2-211为虚数单位)，贝！||z|=()

A.1B.&C.V3D.2

3.机器人是一种能够半自主或全自主工作的智能机器.它可以辅助甚至替代人类完成某些工作，提

高工作效率，服务人类生活，扩大或延伸人的活动及能力范畴.某公司为了研究欣〃两个机器人

的销售情况，统计了2020年2月至7月乂〃两店每月的营业额(单位：万元)，得到如图折线

图，则下列说法中错误的是()

M店N店

A.〃店营业额的平均值是29

B.〃店营业额的平均值在［34,35］内

C.〃店营业额总体呈上升趋势

D.〃店营业额的极差比〃店营业额的极差大

4.已知函数f(x)=(1-t)•2'+劣(tGR)是月上的奇函数，则/1(2)•f(-2)=()

2X

一生型坐驾

ABCD

-4-4C16D.］6

5.在△被7中，a,b,c分别是N4NB,NC的对边.若a,b,c成等比数列，J.^+^3bc=^+ac,

则NZ的大小是()

6.设首项为1的等比数列｛aj的前z?项和为S,且W=9S.则log2(团・a3...酗)=()

A.200B.190C.180D.170

7.顶点在坐标原点，焦点是双曲线的左焦点的抛物线标准方程是（）

45

A.x=12yB.y=-12xC./=-4xD./=12x

8.已知sin(a-t—JT)=《，则cos(—―2a)=()

633

1157

AA.——-BD.-Cr.-Dn.—

3399

’2x-y+2)0

9.如果点尸(x,y)在平面区域＜x-2y+l40上，则弓的取值范围是()

x+y-240

C.[-2,李

A.[-2,--]B.[-2,D.[-,2]

32o

10.执行如图所示的程序框图，若输入的1为区间［击,10］内任意一个数，则输出的〃取值范围为

()

/输乱"

［结第।

A.(-8,-2)U当+8)

B.[-2,

C.[0,y]U[2,+8)D.(-8,-2)U[0,

11.设直三棱柱/比'-48G的所有顶点都在一个球面上，且球的体积是丝里二

AB=AC=AAit

ZBAC=120°,则此直三棱柱的高是（）

A.4后B.4C.2yD.2^2

12.若曲线F(x)=alnx^(a+1)x+1(a^R)在点(1,f(l))处的切线与直线7Ky-2=0平行,

且对任意的小，（0,+8）,xi丰X2,不等式|/1（历）-f（而）|＞勿|石-引恒成立，则实数卬

的最大值为（）

A.加B.2yC.4yD.573

二、填空题(共4小题).

13.命题'勺xGR,f-1VJa”的否定是.

14.设⑷，"CR,向量之=(m,1),6=(T，而若且1t=2，则个〃的值是.

15.已知过点(0,1)且斜率为A的直线1,与圆C：(x-2)?+(y-1)・2交于瓶〃两点，若弦

例的长是2,则A的值是.

JT1T

16.巳知函数f(x)=2sin(3广。)(co>0,0<4><—-),x=-二1为f(4)的一个零点，x

乙o

ITTTIT

=-，为y=Ax)图象的一条对称轴，且F(x)在(悬丁,—)内不单调，则3的最小值为.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题

考生都必须作答.第22,23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：共60分.

17.第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年2月在中国北京举行.为迎接此次冬奥会，北京市组织

大学生开展冬奥会志愿者的培训活动，并在培训结束后统一进行了一次考核.为了了解本次培训

活动的效果，从48两所大学随机各抽取10名学生的考核成绩，并作出如图所示的茎叶图.

(I)计算48两所大学学生的考核成绩的平均值；

(D)由茎叶图判断力、8两所大学学生考核成绩的稳定性；(不用计算)

(HD将学生的考核成绩分为两个等级，如表所示，现从样本考核等级为优秀的学生中任取2人，

求2人来自同一所大学的概率.

考核成绩[60,85][86,100]

考核等级合格优秀

A校B校

462T

58892890

56854一

12935

18.已知数列｛伍｝的前〃项和北=仔+3A(〃GN*).

(I)求数列｛a.｝的通项公式；

(D)令4=2an(AGN*),求数列｛4｝的前〃项和S.

n+1

19.如图是矩形版力和以边形为直径的半圆组成的平面图形，AB=2AD=2a.将此图形沿四折叠,

使平面被笫垂直于半圆所在的平面.若点£是折后图形中半圆0上异于Z,8的点.

(I)证明：EA1EC；

A

20.已知函数F(x)=ex+acosx,其中无>0,e为自然对数的底数，a£R.

(I)当a=-1时，讨论f(x)的单调性；

(II)若函数f(x)的导函数f(x)在(0,兀)内有且仅有一个零点，求a的值.

22

21.已知椭圆C：寺「f=1(6>0)的左、右焦点分别为A(-c,0)和K(c,0),尸为椭圆C

6b2

上任意一点，三角形用K面积的最大值是3.

(I)求椭圆C的方程；

(D)若过点(2,0)的直线1交椭圆C于4B两点,且0(・，0),证明：QA-而为定值.

(二)选考题：共10分.请考生从第22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第题目计分.［选

修4-4:坐标系与参数方程］

fV=TCOS9

22.在直角坐标系x%中，曲线G：己(6为参数，常数r>0),以坐标原点为极点，x

ly=rsiny

轴非负半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长度单位.曲线C的极坐标方程为「2

-8Psin0+15=0.

(I)若曲线G与G有公共点，求r的取值范围；

(II)若7=1,过曲线G上任意一点尸作曲线G的切线，切点为0,求1/嘲的最小值.

［选修4-5：不等式选讲］(本小题满分0分)

23.已知函数f(x)=|3A+1|+|X-2|.

(I)解不等式：/1(X)>5；

(D)若关于x的不等式/1(*)》］+©在［0,3］上恒成立，求实数"的取值范围.

参考答案

一、选择题(共12小题).

1.若集合游={*0〈43},4{x|f+x-2W0},贝i]〃DN=()

A.(0,1]B.(0,3]C.(0,2]D.(-2,1]

解：因为人{x|0VZl},N={x\x+x~2^0}={JT|-2^A<1},

所以〃nN={x|0<A<l}=(0,1L

故选：A.

2.若复数z满足z(1+力=2-2iQ,为虚数单位)，则||z|=()

A.1B.&C.弧D.2

解：【方法一】复数z满足z(l+Z)=2-2fQ.为虚数单位)，

2

.2-2i(2-2i)(1-i)2(l-2i+i)9.

1+i(1+i)(l-i)

|z|=|-2i\=2.

【方法二】复数z满足z(l+?)=2-27Q.为虚数单位)，

贝Hz(1+y)|=|(2-2力I,

即|z|・|1+8=|2-2/|,

二口・亚=2料，

\z\=2.

故选：D.

3.机器人是一种能够半自主或全自主工作的智能机器.它可以辅助甚至替代人类完成某些工作，提

高工作效率，服务人类生活，扩大或延伸人的活动及能力范畴.某公司为了研究〃、〃两个机器人

的销售情况，统计了2020年2月至7月〃、〃两店每月的营业额(单位：万元)，得到如图折线

图，则下列说法中错误的是()

♦fU・小>L

M店........N店

A.〃店营业额的平均值是29

B.〃店营业额的平均值在[34,35]内

C.〃店营业额总体呈上升趋势

D.〃店营业额的极差比〃店营业额的极差大

解：对于4,4店营业额的平均值是工义(2+8+16+35+50+63)=29,所以《正确；

6

对于8,〃店营业额的平均值是Lx(14+20+26+45+64+36)=34—G[34,36],所以占正确;

66

对于C,由图象知〃店营业额总体呈上升趋势，所以C正确；

对于〃，〃店的极差为64-14=50,“店的极差为63-2=61,且50<61,所以〃错误.

故选：D.

4.已知函数F(x)=(1-t)•2'+-=(tGR)是R上的奇函数，则/1(2)•F(-2)=()

2X

.1515J25225

ABlcD

-44仁16D.]6

解：根据题意，函数/'(x)=(1-t)•2'+三(tGR)是"上的奇函数，

2X

则f(0)=(1-t)2°+A-=l-t+l=0,解可得t=2,

2°

所以f(x)=±-2x.贝M(2)=3-22=小，

2X2?4

故f(2)・f(-2)=-f2(2)=_串.

16

故选：C.

5.在△被中，a,b,c分别是/4NB,NC的对边.若a,b,c成等比数列，且❷②+正从=才+❷小

则/力的大小是()

K兀2兀5兀

A.B.TC.D."T

【解答】解析：由已知得b2二ac，

因此了+^北二。？+ac，

可化为b2+c2-a2=V3bc-

222

于是A__b+c-a_V3

COsA"-2b^-W，

兀

故选：A.

设首项为的等比数列｛&｝的前〃项和为且则（相

6.1S,W=9W.log2a3.........丽)=()

A.200B.190C.180D.170

解：由题意qKl,由9$=W得:

9(1-q3)T

■»解得q=2.

1-q1-q

irl

Aan=2.n€N*.

a=aa1019

Vaj-a2,a3...20^l20^=2°.

19

log2(aj'a2'a3...a2())=log220=190.

故选：B.

7.顶点在坐标原点，焦点是双曲线式一工：=1的左焦点的抛物线标准方程是()

45

A.y=12yB./=-12xC./=-4xD./=12x

解：因为。2=4+5=9,・・・c=3,AF(-3,0),-^-=-3,Ap=6,：.y=-12x.

故选：B.

R1TT

8.已知sin(a4—兀)==，则cos(—―2a)=()

633

1157

A.——"BD.-Cr.-nD."

3399

解：由已知sin(a々兀)=£

63

可得sin(g-a)=sin[冗-(a哙兀)]=',

663

JTTTI7

所以cos(--2a)=1-2sin2-a)=1-2X-^-=—.

3699

故选：D.

2x-y+2)0

9.如果点P(x,y)在平面区域x-2y+l《0上，则空的取值范围是()

解：如图，先作出点尸(x,y)所在的平面区域.

也表示动点P与定点0(2,-1)连线的斜率.

x-2

/x-2y+l=0被徂|'x=l

Ix+y-2=0Iy=l

千昼，1+1°，0+11

因此-24，：44,

x-23

10.执行如图所示的程序框图，若输入的t为区间［击，10］内任意一个数，则输出的〃取值范围为

()

［结募I

A.-2)U[-1+8)B.[-2,中

C.[0,U[2,+8)D.(-8,-2)u[0,-1]

=<

解：由题意知，M(t)9

lgt

lgt+1

2

当系t<l时，M（t）=（lg：）+l=igt+44-2,当且仅当tW时取等号・

lgtlgt1U

当1WW10时，1（力=37=1丁=是增函数，

lgt+1lgt+12

因此，M（t）的值域是（-8,-2]U[0,y].

故选：D.

11.设直三棱柱力a'-4笈G的所有顶点都在一个球面上，且球的体积是丝叵三，AB=AC=AA„

3

N的。=120°,则此直三棱柱的高是（）

A.472B.4C.2yD.2^2

解：设仍因为乙必仁120°,所以44龙=30。，

于是.%。=2r（r是△胸外接圆的半径），r=2m.

sinoU

又球心到平面布的距离等于侧棱长AA,的一半，

所以球的半径为J（2m）所以球的表面积为二兀。二钠、—»

Jo

解得m=&.

于是直三棱柱的高是AAi=2m=2M.

故选：D.

12.若曲线F（x）=alnx^（a+1）x+1（a£R）在点（1,/1（1））处的切线与直线7户y-2=0平行，

且对任意的x\,&£（0,+8）,不。乃，不等式|F（汨）-F（生）|>引为-自恒成立，则实数

m的最大值为（）

A.MB.2yC.4«D.573

解：f'（x）=-+2（a+1）x=2（&+1）^+3-

XX.

因为f(1)=-7,

所以J+.=-7,a=-3.f(x)=-31z?x-2f+l.

2

4x3

因此f，(x)="~<0,f(x)在(0,+8)内单减.

X.

不妨设为>而>0,则f(两)<f(^).

于是|f(xi)-f(天)|>山|小-£就是/*(彭)-f(xi)>m(xi-xD,

BPf(x2)+mx2>fCxi)+的恒成立.

令g(x)=f(x)+ZZZAT,x>0,则g(x)在(0,+°°)内单减，

即g’(x)40.g'(x)=ff(x)-hn=—-4x+n^0，x>0.

x

而3+4乂>5仃，当且仅当x当时，3+4乂取到最小值砥，

x2x

所以nKdy5.

故选：C.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.命题‘匕xGR,f-ivjjr”的否定是_\?4€七x2-l>V3x_.

解：根据全称命题的否定是特称命题，得；

命题'勺xGR,4-IV®"的否定是：

“VxGR,1，百r”.

故答案为：“VxdR,

14.设勿，〃GR,向量W=(m,1),芯=(-1,n)若之_1_1且|:|=2,则h/?的值是3.

解：因为Wj_E，所以-加〃=0.又因为|Z1=2，所以热1=4,苏=3.

于是n=a=3.

故答案为：3.

15.已知过点(0,1)且斜率为A的直线1,与圆G(%-2)2+(y-1)?=2交于伉〃两点，若弦

恻的长是2,则A的值是+匹.

--------31

解：直线I的方程为尸Ml,即左x-产1=0,

•・,圆G(x-2)2+(厂1)2=2的圆心坐标为⑵1),半径为我，且弦就的长是2,

.H--,2J2k-l+l|s2

解得〃=土冬.

O

故答案为：±返.

3

JTJT

16.已知函数f（x）=2sin（3鼾。）（3>0,0<6<—-）,x=-一^~为f（X）的一个零点，x

乙O

JIJIJI

=3为y=F（x）图象的一条对称轴，且f（外在（芸不，冬）内不单调，则Q的最小值为

32021O

15

T—,

K.

—―3+@=k1兀

31m-k兀兀

解：由题意知<,则。吟「七丁

717T24

可0)+。=卜2兀4^

由nrk兀兀/兀

得，U<k<8，又AGZ,

所以k=0,

则0：

4

Q

故3=-3k

14

JT

所以f（x）=2sin（3又长丁）.

由题设知3>0,当左=0时，（0=^-,则f（x）=2sin号

由4+2n兀4Vx—《卷+2n兀，-兀爸

/3SNouO

Tf--11TI

知/■（X）在（-兀，冬）内单增，显然在（―，二二）内单增，不合题意.

J2021b

1RTT

当左=-1时，（0则f（x）=2sin（z「x+i）・

〜兀CF/15兀,兀门仃兀8n兀//兀8n兀

由丁+2即<工乂=《彳+2n7T,-芍F<X<正F,

JTITTT1T

知/1（*）在（T，t）内单增，在右，U-）内单减，

blblbd

符合在小7丁i，j;r）内不单调的条件.

2021b

故3的最小值为学.

4

故答案为：尊.

4

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题

考生都必须作答.第22,23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.

17.第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年2月在中国北京举行.为迎接此次冬奥会，北京市组织

大学生开展冬奥会志愿者的培训活动，并在培训结束后统一进行了一次考核.为了了解本次培训

活动的效果，从4夕两所大学随机各抽取10名学生的考核成绩，并作出如图所示的茎叶图.

(I)计算力、8两所大学学生的考核成绩的平均值；

(n)由茎叶图判断48两所大学学生考核成绩的稳定性；(不用计算)

(ID)将学生的考核成绩分为两个等级，如表所示，现从样本考核等级为优秀的学生中任取2人,

求2人来自同一所大学的概率.

考核成绩[60,85][86,100]

考核等级合格优秀

A校B校

4

58892

，6

I2

钮,T、-64+75+78+78+79+72+85+86+91+92800

解：t)町广-----------------IF-----

—67+62+70+79+78+87+84+85+95+93800.

XB=---------------15---------------F=80；

(n)由茎叶图可知，4所大学学生的成绩比5所大学学生的成绩稳定；

<ni)记事件〃为“从样本考核等级为优秀的学生中任取2人，2人来自同一所大学”.

样本中，为校考核等级为优秀的学生共有3人，分别记为a,b,c,

6校考核等级为优秀的学生共有3人，分别记为4B,C,

从这6人中任取2人，所有的基本事件个数为ab,ac,aA,aB,aC,be,bA,bB,bC,cA,cB,

cC,AB,AC,国共15种，

而事件〃包含的基本事件是a6,ac,be,AB,AC,比1共6种，

因此

lbb

18.已知数列｛伍｝的前。项和7L=/+3A(AGN*).

<I)求数列｛a〃｝的通项公式；

(II)令4=2anGGN*),求数列｛4｝的前n项和S.

n+1

解：（I）n=1时，Ja]=4,/•Si=16.

当A22时，TnT=(n-l)2+3(n-l).T尸才+3n,

2

作差得历2n+2,:.an=4(n+1).

又当〃=1时满足此式，二an=4(n+l)2,.............

(D)b=2%啊+1)2心+]).产.......

nn+1

Sn=b\+△+•••+bn,

34n+1n+2

：.Sn=2-2+3-2+---+n-2+(n+l)-2.

2S,=2-24+3-25+-+/J-2足+(加1)•2叱

二-S=2.23+24+25+―+2*2-(91)-2.

=2邛(n+1)•2n+3

=2核-n-2m3-2"3=-n-2叱........

••♦Sn=n・21tH..............

19.如图是矩形侬刀和以边也为直径的半圆组成的平面图形，AB=2AD=2a.将此图形沿相折叠,

使平面侬刀垂直于半圆所在的平面.若点后是折后图形中半圆0上异于48的点.

(I)证明：EALEC-,

JT

(n)若异面直线丝和次；所成的角为白，求三棱锥龙的体

6

解：(I)•.,平面网力垂直于圆0所在的平面，两平面的交线为四，at平面松力，BCVAB,

工比'垂直于圆0所在的平面.

又以在圆。所在的平面内，J.BCA.EA.........

板是直角，：.BELEA.而BECBC=B,BEu斗用EBC,Bg平面EBC,

...£4_L平面EBC.

又：反t平面团G：.EALEC.........

JT

(D)因为在矩形侬刀中，AB//CD,直线和a7所成的角为丁，

6

ITJT

所以直线HE和四所成的角为k，即NBAE=k......

过£作品1四于凡则跖JL平面5.

叉AB=2a,/BAE=-^-，所以趣=^/^,EF=-^-a»

119

因此S/kACD专XADXCD或XaX2a=a，.....

=V2

于是丐-ACEE-ACD卷XSAACDXEF=yXaX喙a需a工

即三棱锥，-4龙的体积是返a?......

6

20.已知函数F(x)=e"+acosx,其中x>0,e为自然对数的底数，a£R.

(I)当a=-1时，讨论f(x)的单调性；

(n)若函数F(X)的导函数尸(X)在(0,冗)内有且仅有一个零点,

解：(I)当a=-1时，f(x)=S-cosx,则f(x)=e*+sinx,

因为x>0,所以e、>l,-lWsinx<l,因此f(x)>0,

故函数F(x)在(0,+8)内单调递增.

(II)由(x)=e-asirur=0,得asinx=e'，

因为(0,n),所以sinx>0,因此——,

sinx

人/、ex入,』ei//\e(sinx-cosx)

令g(x)=4-,0<x<TT,则W1g(x)=--------5------，

sinxsinx

由g'(x)=0,得x—IT，

4

77TT

当0<x〈一时，g(x)<0；当一T<X<兀时，g(x)>0,

44

故g(x)在(0,J兀)单调递减，在(；K，n)单调递增，

44

JT

所以目⑺心/彳纭佟4'

TV

22

21.已知椭圆Ct^-+^—=1（6>0）的左、右焦点分别为R（-c,0）和K（c,0）,P为椭圆C

6b2

上任意一点，三角形冏石面积的最大值是3.

（I）求椭圆。的方程；

（H）若过点（2,0）的直线1交椭圆C于48两点，且Q号0）,证明：赢・根为定值.

解：（I）由题意知1=6-比..........（1分）

当尸点位于椭圆C短轴端点时，三角形PEE的面积S取最大值，此时

x2cXb=bc=3

smax4,.................

所以4。2=9,即4（6-/）=9,解得4=3.........

22

故椭圆。的方程为“且_

63

（D）（方法1）当直线/的斜率不为0时，设直线/：%=叱2交椭圆于/（刘，必），B5,姓）.

x=my+2

由？消去x得，(/2)/+4陟-2=0.则

,X42y=6

¥1+72=-，71¥2=

^2^2'.................而a=(xi《，yj,QB=(X2-1.y2).

=2

所以QA'QB=(X1-^-)(x2-y)+yiy2(m+l)y1y2-ym(y1+y2)^=

2-m2-2115

(m2+l)(----------_L----——----.・・・・・・・・♦・・

2

m+21n2+21616

当直线1的斜率为0时，A（V6.0），B（-V6.0），则

QA-QB=（V6-7'>0）"（一五4，0）=-6+77-=^7T-.................