2021届高三数学冲刺模拟考试押题卷三

2021新高考数学押题卷(3)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1.若集合A={x|f-4<0},8={x|/gx<0},则Ap|B=()

A.(-2,1)B.(-2,2)C.(0,1)D.(0,2)

2.已知i是虚数单位,则复数z=—的实部和虚部分别是()

A.-7,3B.7,-3/C.7,-3D.-7,3/

3.设a=log25,h=52A,c=0.25,贝IJQ,b,c的大小关系是()

A.a>b>cB.b>a>cC.b>c>aD.a>c>b

4.中长跑是一项对学生身体锻炼价值较高的运动项目，在某校的一次中长跑比赛中，全体

参赛学生的成绩近似地服从正态分布N(80,100),已知成绩在90分以上(含90分)的学生

有32名.则参赛的学生总数约为()

(参考数据：一bv£〃+b)右0.683,P(ju-2<T<配〃+2a)«0.954，

P(〃-3。<以〃+3b)«0.997)

A.208B.206C.204D.202

5.有歌唱道：“江西是个好地方，山清水秀好风光.”现有甲乙两位游客慕名来到江西旅游,

分别准备从庐山、三清山、龙虎山和明月山4个著名旅游景点中随机选择其中一个景点游玩,

记事件A：甲和乙至少一人选择庐山，事件8：甲和乙选择的景点不同，则条件概率

P(B|A)=()

A.—B.-C.-D.-

16877

6.将函数f(x)=cos(2x-C)的图象向左平移工个单位长度后得到函数g(x)的图象，则关于

48

函数g(x)的正确结论是()

A.奇函数，在(0,工)上单调递减

4

B.最大值为1,图象关于直线x=出对称

2

C.最小正周期为万，图象关于点(半,0)对称

D.偶函数，在(—芳,()上单调递增

22

7.已知双曲线E:=-《=l（a>0力>0）的左、右焦点分别为月，F2,过工作以匕为圆心、

ab

I|为半径的圆的切线切点为T.延长工7交E的左支于P点，若M为线段P鸟的中点,

)

C.73D.石

8.在三棱柱ABC-ABC中，侧棱垂直于底面，AB±BC,AB=BC,AC=2应,AAt=y/2,

点E为AG的中点，点F在8C的延长线上且方=则异面直线BE与所成的角

为（）

A.90°B.60°C.45°D.30°

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共2（）分。在每小题给出的四个选项中。有多项

符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的对2分，有选错的得。分。

9.一组数据按从小到大排列为2,3,3,X,7,10,若这组数据的平均数是中位数的9倍,

4

则下列说法正确的是（）

A.x=4B.众数为3C.中位数为4D.方差为竺

3

10.已知0〈log〕avlog]Z?<1,则下列说法正确的是（）

A.\>(^>tr>-B.2>—>->l

4ab

Cabn1f一。1

C.----->------D.—(=>e>e>-

b-\a-\\jee

11.已知数列｛《｝的前4项成等比数列，其前〃项和为S〃，且见=加53，a,>1,则()

A.a｝<a3B.a2<a4C.%>%D.a2>a4

22

12.已知点A(—1,-3)、8(2,0)和尸(x,y)(-l<x<2,y<0)在椭圆C:土+匕=l(m>0,”>0)

mn

上，贝")

A.C的焦点为(±2&,0)B.C的离心率为Y6

3

C.直线丛的斜率小于1D.AfAfi的面积最大值为3

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知向量々=(1,1),ft=(1,-1),则|计25|=.

14.二项式(/+3)6展开式中含/项的系数为.

X

15.AAfiC中角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a+2c=2hcosA,若AABC的周长

为15,且三边的长成等差数列，则A4BC的面积为一.

16.已知四棱锥尸-ABCD的底面ABCD为正方形，顶点P在底面的投影为底面中心，若该

四棱锥外接球的半径为3,则该四棱锥体积的最大值是—.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.在①2acosC+c=2/?,®Z?sin2A=asinB.@(sinB+sinC)2=sin3A+3sinBsinC,这

三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答.在A4BC中，角A,B,C所对

的边分别为a,b,c,若A48C的面积为且，a=2且—.求AA8C的周长.

3

18.已知等差数列｛”“｝满足=8,且4-1是q和4+1的等比中项，数列｛"｝的前”项

和为5.,且满足么=3,2S„=b„+1-3.

(1)求数列｛«„)和｛b,,｝的通项公式；

(2)将数列｛”“｝和也,｝中的公共项按从小到大的顺序依次排成一个新的数列｛ck｝,kwN*,

令dk=log,ck,求数列|—!—\的前k项和Tk.

[44+iJ

19.如图，A是以瓦)为直径的半圆。上一点，平面平面ABD,BCYBD.

(1)求证：4)_L平面ABC;

(2)若BD=2BC=2,AD=2AB,求二面角A—CD—8的余弦值.

20.2020年遵义市高中生诗词大赛如期举行，甲、乙两校进入最后决赛的第一环节.现从

全市高中老师中聘请专家设计了第一环节的比赛方案：甲、乙两校从6道不同的题目中随机

抽取3道分别作答，已知这6个问题中，甲校选手只能正确作答其中的4道，乙校选手正确

作答每道题目的概率均为2,甲、乙两校对每道题的作答都是相互独立，互不影响的.

3

(1)求甲、乙两校总共正确作答2道题目的概率；

(2)请从期望和方差的角度分析，甲、乙两校哪所学校获得第一环节胜利的可能性更大？

21.已知双曲线C:二-马=1(“>0,〃>0)的一条渐近线y=右准线方程为x=L,过

ab~2

点P(0,-1)的直线/分别交双曲线C的左、右两支于点A,B,交双曲线C的两条渐近线于

点。，E(。在y轴左侧).

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)记AODE和八。$的面积分别为汇工，若色二也，求直线/的方程.

S22

22.已知函数/(幻二阮・耳。^+(〃一l)x,awR.

(I)讨论/*)的单调性；

(II)若/&),,2-362_工恒成立，求整数〃的最大值.

2021新高考数学押题卷(3)答案

1.解:*/A={jr|x2-4<0}={x|-2<x<2},

IIgx<0}={x10<x<1}，

巾3=(01).

故选：C.

g械3+7i(3+7z)(—Z)

2.vz=----=--------------=7-3z,

z-i

，复数z=的实部和虚部分别是7,-3.

i

故选：C.

3.解：,.12=log,4<log25<log28=3,2<a<3,

•.•52J>52=25,:.b>25,

•,•0<0.25<0.2°=1,.-.0<c<l,

：.b>a>c,

故选：B.

4.设参赛学生的成绩为X,・.・X~N(80,100),.•."=80,b=10,

则P(X国0)=P(X70)=|[l-P(70<X<90)]

=g口-P(〃-cr<X<〃+a)]=gx(1一0.683)=0.1585,

32+0.15857202(A).

故选：D.

5.解：甲和乙至少一人选择庐山对应的基本事件有：4x4-3x3=7个,

因为甲和乙选择的景点不同对应的基本事件有：C；xC；=6个，

所以「(4A)=g.

7

故选：D.

6.解：将函数/(x)=cos(2x-^)的图象向左平移r个单位长度后得到函数

g(x)=cos(2x+--—)=cos2x的图象，

则关于函数g(x),显然它是偶函数，故排除A；

显然，g(x)的最大值为1,当•时，g(x)=cos;r=-l,为最小值，

故g(x)的图象关于直线》='对称，故8正确；

g(x)的最小正周期为券=%，当》=系时，g(x)=cos?=-等，故C错误;

当xe(-,,0，2xe(-y,7),g(x)没有单调性，故O错误，

故选：B.

7.解：由题意，得IMOtglP/",|研1=\|尸乙1，

22

ITF21=J|耳用『一|耳=7(2C)-C=&,

\MT\=\TF2\-\MF2\=y/3c-^\PF2\,

\MO\+\MT\=^\PFt\+(百c-J|PF2|)=73C+|(|PFt\-\PF2\)=y/3c-a=2a,

解得e=&.

故选：C.

8.解：•.•在三棱柱ABC-A8c中，侧棱垂直于底面,

ABIBC,AB=BC,AC=242,/L4,=&,

:,AB=BC=2,

•.•点E为AG的中点，点尸在8c的延长线上且C升=

BF=~,

2

.•.以3为原点，8c为x轴，84为y轴，B々为z轴，建立空间直角坐标系，

则A(0，2,血)，G(2,0,忘)，E(1,1,血)，8(0,0,0),F(1,0,0),

B£=(l,1,夜)，CF=(-,0,-V2),

2

设异面直线班与GF所成的角为。，

3

I心的二万

则cos0=

I丽H中「2•/2

.•・。=60。，

••・异面直线BE与C.F所成的角60°.

故选：B.

9.解：一组数据按从小到大排列为2,3,3,x,7,10,

・・・这组数据的平均数是中位数的3倍，

4

、(2+3+3+x+7+10)=：x^|^,

解得x=5,故A错误；

众数为3,故3正确；

中位数为==4,故C正确；

2

平均数为：-(2+34-3+5+7+10)=5,

173

方差为:一[(2—5尸+(3—5尸+(3—5尸+(5—5尸+(7—5)2+(10—5)2]=」,故。正确.

63

故选：BCD.

10.解：因为0<log|a<log1人<1,所以一

222

对于A,因为所以1>片>/；2>',故选项A正确；

24

对于3,不妨取匕=±。=9,则_i=g>j_=g,故选项3错误；

66h4a5

对于C,———也二(a-"S+J),因为人<“<1,所以(。一1)(。一1)>0,a-h>0,

b-\a-10-l)(a-l)2

a+h-\>0,故，....->0,所以—,故选项C正确；

b-\a-\b-\a-1

iI,J.

对于O,因为一v0<av1,所以一1<一〃<一〃<一，则1v<eve2,即

22

>e~h>ea>-,故选项D正确.

Jee

故选：ACD.

11.解：・.•数列｛%｝的前4项成等比数列，且§4=g,

/.S3+/=1ns3，

即〃4=/，电_53，

设y=live-x,%>0,

,1A1-X

.・.〉'=——1=------，

XX

令y>o,「.ovxvi,

函数y在(0,1)上单调递增，在(1,80)上单调递减，

,•—7,•.•4，，一1，

又•・•a4=*,/.qql,_1,

・.,q>1,/.qM,-1,q”一1且q2>1,

22

/.a3=%q>%,a2=aAq<0,a4=a2q<a2.

故选：AD.

19,

--1--=1

/n=4

12.解:有题意可知]〃

22n=12

—+0=1

22

+—=1,?=12-4=8,

124

所以椭圆的焦点在y轴上，e=£=2，=迈,

“263

故选项A错误，选项3正确；

,/P(x,^)(-1<x<2,y<0),

原八=金，由题意可知点P只能在A,B两点之间运动且不包括点A,B,

X+1

kpA<kAR=1,故C正确,

由题意知|AB|=7(-1-2)2+(-3)2=30,

又由原8=1,得直线AB方程为y=x-2,

•.•点P在椭圆上，r.PQcos，，2>/3sin6»),

点P到直线AB的距离为d=12cos"2夕in'-2|="一出〉),

近72

,.--1<x<2,y<0,

.1。=-工时，距离d最大为近，

3

面积最大值为」x3&x0=3.

2

故选：BCD.

13.解：•.•向量彳=(1,1),^=(1,-1),

&+25=(3,-1),

:\a+2b\^y]32+(-l)2=V10,

故答案为：x/io.

14.解：展开式的通项公式为4+1=C；(d)6T(3y

X

令12-3r=3,解得r=3,

则展开式中含V项的系数为C；1=20x27=540,

故答案为：540.

15.解：由余弦定理可得a+2c==———整理可得a2+c2—b2=—ac，

2bc

所以C+c

2ac

不失一般性，设夕=5-c=5,Z?=5+r(r>0),

代入/+c?—/=-ac,可得.=2,

所以〃=3,c=5，

可得AABC的面积S=—tzcsinB=—x3x5x—=1^1.

2224

故答案为：区.

4

16.解：如图，

由题意，四棱锥为正四棱锥，设底面边长为a,高为力,

又该四棱锥外接球的半径为3,g-3)2+(［。)2=32,

整理得6=12/?-2外.

则四棱锥的体积V=11a2/?=：1(12力-2外)./?=4h2-10/j3,

V'=Sh-2h2=2h(4-h),

当/?e(0,4)时，V'>0,函数V(/z)单调递增，

当〃e(4"8)时,口<0,函数叭》单调递减,

2x3

当〃=4时，V；jiat=V(4)=4x4-|4=—.

故答案为：—.

3

17解若选①由正弦定理得

2sinAcosC+sinC=2sinB=2sin(A+C)=2(sinAcosC+cos/4sinC),

即sinC(2cosA-l)=0.

因为。£(0,4)，

所以sinCw0,

所以cosA=—,

2

又Ae(0,7r),从而得A=&.

3

若选②，因为Asin2A=asin3,可得2/?sinAcosA=asinB,

所以由正弦定理可得2^cosA=a6,可得cosA='，

2

又Ae(0/),从而得A=工.

3

若选③，因为(sinB+sinC)2=sin2A+3sinBsinC,

所以sin?B+sin2C+2sinBsinC=sin2A+3sinBsinC，

即sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC,

所以从+c?-。2=,

-r/Hb2+c2-a21

可得cosAx=---------------=—.

2bc2

因为A£((U),

所以可得A=巳.

3

n

因为AABC的面积为—，o=2,A=—j

33

由余弦定理a?=b2+c2-2Z?ccosA,得〃+c2-be=4,

由SA48c='besinA=—be•—=—,得be=3,

AA8c22233

所以〃+c=Jb2+c2+2hc=\[4+3bc=2近,

a+b+c=25/2+2.

18.解：⑴设等差数列｛%｝的公差为d,

由％—q=8，可得2d=8,即d=4,

由。2T是4和%+1的等比中项，可得(&-If=4(q+1)，

即有(4+3)2=4(4+9),

解得4=3,

则a“=3+4(〃-1)=-1；

由4=3,2s“=〃,+]—3,可得仇=2S1+3=2a+3=9,

〃..2时，2s“―，又2S“=%-3,可得2s“-2%=%-3-2+3=2。，

即为bn+｝=3bn,满足〃=1,

所以他,｝是首项和公比均为3的等比数列，

则4=3"；

(2)由C]=3,c2=27,6=243,猜想c«=3””，

证明:因为&2=3"+2-3"=83'=4(23')是数列的公差d的正整数倍，

由，2力打，所以打，b4,4,....b2li,…不是｛”“｝中的项，

由于q=仇=4=3,所以4，b3,...,,…是｛a,J中的项，

所以c*=3"T,dk=log,ck=2k-\,

11111、

-----=-------------=—(z------------),

44+1(2D(2Z+1)22k-\2k+\

所以.=—(1——+---------)=—(1------)=---.

*23352k-\2k+\22k+\2Z+1

19.(1)证明：•.•平面88_L平面且平面88C平面至£>=%>,

8Cu平面8cZ),BCYBD,

平面4犯，而4)u平面4犯，

:.BCA.AD,又AD_LAB,且ABpIBCuB,

.•.AO_L平面ABC;

⑵解：vAD=2AB,:.ZAOB=f^P,

则A4O8为等边三角形，取OB中点E,连接4E,则

又平面BCD_L平面ABD,且平面8CQC平面=皮)，

A£u平面43。，AEA.BD,则AEJ•平面38,

在平面BCD中，过E作EF_LC£>,垂足为尸，连接AF,

由三垂线定理可得，CDYAF,

则447方为二面角A-CD-B的平面角.

.BD=2BC=2,AE=—,ED=~,CD=>/5,

22

2厂

由RtADBCsRgDFE,得空=乌，即EF=虻段=，lx=述

EFBCCDV510

在RtAAEF中，WAF=-JAE2+EF2=,-+—=—,

V4205

20.解：（1）由题意可知，甲、乙两校共答对两道题的可能有：甲校I道乙校1道；甲校2

道乙校0道,

所求概率P=+著一|)34______________（5分）

（2）设甲校正确作答的题数为X,则X的取值分别为1,2,3.

ClC21r2C'3C3C°1

P(x=l)=」^=-,P(x=2)=」^=一，P(X=3)=-^-=-.............(7

Cl5d5C；5

分）

则X的分布列为:

X123

PJ_3J_

555

131

・•.E(X)=lx-+2x-+3x-=2,

£>(X)=(1-2)2X1+(2-2)2X|+(3-2)2X1=|.

设乙校正确作答的题数为y,则y取值分别为0,1,2,3.

i2j?214

P(y=o)=万，p(r=i)=c>-x(-)2=-,P(r=2)=c；x(-)2x-=-

9Q

p(y=3)=($3$

327

则y的分布列为：

Y0123

P1248

2799T7

.■.£(y)=0x^4-lx|+2x^+3x^=2.(或•.,y~8((3,g),.-.£,(7)=3x|=2),

i24Q221

D(F)=(0-2)2X—+(l-2)2x-+(2-2)2x-+(3-2)2x—=-(或。(F)=3x彳x)

279927333

由E(x)=E(y),ax)<o(y)可得，甲校获得第一环节胜利可能性更大......__________

(12分)

解：⑴由题意可得/5£4又

解得a=l,b=>/3fc=2,

2

则双曲线的方程为V-二=1;

3

(2)设直线/的方程为y=与双曲线的方程3/一丁=3联立,

可得(3-r)/+2"-4=0,

设A,3的横坐标分别是王，x2(x(<0,x2>0),

2k4

可得%+%2=-------fXiXy=T

3-k23-k2

4公11_2有14一公

则x-Xj=J(X]+w)2-4%w=

2(3-/)2+342—-3-a

由y=区一1与y=-6工，联立，可得/=1

由y=履-1与y=Gx,联立，可得无=1

则…一餐="

£D也-33-标

所以,=I力回_4%D=]=—，解得k=±V2，

S?|ABI尤2-%4-k22

所以直线/的方程为y=±缶-1.

22.解：(I)/(幻的定义域为(0,+oo),

1-ax14-(a-l)x+1(-ax-l)(x-l)

j(x)=——cvc+a-i=-----------------------=-------------------,

xxx

(1)当a.O时，一分一IvO,由r(x)>0,得％>1,由r(x)<0,得Ovxvl,

/(x)的单调减区间为(0,1),单调增区间为(1,+oo)；

(2)当一Ivav0时，一,由f\x)>0，得Ovxvl或%由f\x)<0,W1<x<--»

a-aa

；J(x)的单调减区间为(1,_3,单调增区间为(0,1)和(-1，+00)：

aa

(