新高考2023届高考数学二轮复习专题突破精练第43讲解析几何中的几何问题转化为代数问题教师版

第43讲解析几何中的几何问题转化为代数问题一．解答题（共21小题）1．（2021•金牛区校级期末）已知动圆过定点，且在轴上截得的弦的长为8．（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹的方程；（Ⅱ）已知点，设不垂直于轴的直线与轨迹交于不同的两点，，若轴是的角平分线，证明直线过定点．【解答】解：（Ⅰ）设动圆圆心，则即：，即动圆圆心的轨迹方程为：，（Ⅱ）设两点，，，设不垂直于轴的直线：，则有：，所以：，，因为轴是的角平分线，所以：即：即：，则：，所以：所以直线过定点．2．（2021•雅安模拟）已知椭圆过点，且离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）过的直线交椭圆于，两点，判断点与以线段为直径的圆的位置关系，并说明理由．【解答】解：（1）椭圆过点，且离心率为，则，．则椭圆的方程；（2）方法一：当的斜率为0时，显然，与以线段为直径的圆的外面，当的斜率不为0时，设的方程为：，点，，，，中点为，．由，得，所以，，从而，所以，，故，所以，故，在以为直径的圆外．解法二：当的斜率为0时，显然，与以线段为直径的圆的外面，当的斜率不为0时，设的方程为：，设点，，，，则，，，，由，得，，，，，，又，不共线，所以为锐角，故点，在以为直径的圆外．3．（2021•全国月考）如图，已知椭圆过点，离心率．（1）求椭圆的方程；（2）如图，直线平行于为原点），且与椭圆交于两点、，与直线交于点介于、两点之间）．当面积最大时，求的方程；求证：．【解答】解：（1）由，即为，可得，由在椭圆上，可得，解得，，则椭圆方程为；（2）由题设条件可得，可设直线的方程为，联立椭圆方程，可得，△，即，设，，，，可得，，所以弦长，到直线的距离，所以，当且仅当取得等号，由介于，之间，可得，这时直线的方程为；证明：因为，同理可得，所以，所以直线，关于直线对称，即为的角平分线，所以由角平分线的性质可得，即为．4．（2021•福清市一模）已知椭圆过点，且离心率为．（1）求的方程；（2）已知直线不经过点，且斜率为，若与交于两个不同点，，且直线．的倾斜角分别为，，试判断是否为定值，若是，求出该定值；否则，请说明理由．【解答】解：（1）离心率为，，，，由，得，故椭圆的方程为；（2）设直线，，，，，由，消去得，，由△，故，，，，根据题意，与的斜率存在，所以，，设直线，的斜率分别为，，，故，由，故．5．（2021春•田家庵区校级期中）已知椭圆过点，离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）若直线不经过点且与相交于、两点，且．证明：直线过定点．【解答】解：（1）根据题意得：，又，即有，点在椭圆上，可得，解得，，故椭圆的方程为；（2）证明：当直线的斜率存在时，设直线方程为，，，，，联立直线方程与椭圆方程，消去，得，△，，，，，由，可得，，化为，可得，化为，可得，直线不过，，则，直线的方程为，即，直线过定点，．6．（2021•河北区一模）已知椭圆过点，且离心率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若过原点的直线与椭圆交于，两点，且在直线上存在点，使得为等边三角形，求直线的方程．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：椭圆的离心率为．即，由椭圆过点，代入可知：，解得：，则，椭圆的方程；（Ⅱ）显然，直线的斜率存在，设，，则，，（1）当，直线的垂直平分线为轴，轴与直线的交点为，，由丨丨，丨丨，，则为等边三角形，此时直线的方程为，当时，设直线的方程为，则，整理得：，解得：丨丨，则丨丨，则的垂直平分线为，则，解得：，则，，丨丨，为等边三角形，则丨丨丨丨，，解得：（舍去），，直线的方程为，综上可知：直线的方程为或．7．（2021春•锡山区校级期中）设椭圆的右焦点为，右顶点为，已知，其中为原点，为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）设过点的直线与椭圆交于不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点，若，且，求直线的斜率的取值范围．【解答】解：（1）设，由得，，可得，又，可得，，椭圆方程为：；设直线的方程为，，，，由方程组得，，解得，或，由题意可知，进而得，由（1）知，，设，则，，由题意得，，解得，直线的方程为，与直线的方程联立，可得点的横坐标，在中，由，得，得，，解得，或，故直线的斜率的取值范围为：．8．（2021•南昌县校级二模）设椭圆的右焦点为，右顶点为，已知，其中为原点，为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）设过点的直线与椭圆交于不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点，若，且，求直线的斜率的取值范围．【解答】解：（1）设，由，即，可得，又，所以，因此（4分）所以椭圆的方程为．（5分）（2）设直线的斜率为，则直线的方程为．设，，由方程组，整理得．解得，或，由题意得，从而．（7分）由（1）知，，设，有，．由，得，解得．因此直线的方程为．（9分）设，，由方程组消去，解得．（10分）在中，，即，化简得，即，解得，或．（11分）所以，直线的斜率的取值范围为．（12分）9．（2021•烟台期末）已知抛物线的焦点也是椭圆的一个焦点，与的公共弦的长为．（1）求椭圆的方程；（2）经过点作斜率为的直线与曲线交于，两点，是坐标原点，是否存在实数，使在以为直径的圆外？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由知其焦点的坐标为．因为也是椭圆的一个焦点，所以．①又与的公共弦的长为，与都关于轴对称，且的方程为，由此易知与的公共点的坐标为，，所以．②联立①，②得，．故的方程为．（2）由题意直线的斜率存在，设直线的方程为，联立方程，整理得．设，，，，于是有，．因为，．所以．可知恒在为直径的圆内．不存在实数，使在以为直径的圆外．10．（2021•芗城区校级期末）已知抛物线的焦点也是椭圆的一个焦点，椭圆的离心率为，过点的直线与相交于，两点，与相交于，两点，且同向．（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）若，求直线的斜率．【解答】解：（Ⅰ）抛物线的焦点也是椭圆的焦点，所以椭圆中，，，所以椭圆（3分）（Ⅱ）因为同向且，所以．设，，，，，，，，当直线的斜率不存在时，不符合题意，设直线的方程为则即（5分）联立得：，所以（7分）联立得：所以（10分）所以，解得：（12分）11．（2015•湖南）已知抛物线的焦点也是椭圆的一个焦点．与的公共弦长为．（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）过点的直线与相交于、两点，与相交于、两点，且与同向．（1）若，求直线的斜率；（2）设在点处的切线与轴的交点为，证明：直线绕点旋转时，总是钝角三角形．【解答】解：（Ⅰ）抛物线的焦点的坐标为，因为也是椭圆的一个焦点，，①，又与的公共弦长为，与的都关于轴对称，且的方程为，由此易知与的公共点的坐标为，，所以，②，联立①②得，，故的方程为．（Ⅱ）设，，，，，，，，（1）因为与同向，且，所以，从而，即，于是，③设直线的斜率为，则的方程为，由，得，而，是这个方程的两根，所以，，④由，得，而，是这个方程的两根，所以，，⑤将④⑤代入③，得，即，所以，解得．（2）由得，所以在点处的切线方程为，即，令，得，，，所以，，而，，于是，因此是锐角，从而是钝角，故直线绕点旋转时，总是钝角三角形．12．（2021•越城区校级学业考试）如图，已知抛物线和抛物线的焦点分别为和，是抛物线上一点，过且与相切的直线交于，两点，是线段的中点．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若点在以线段为直径的圆上，求直线的方程．注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则该直线与抛物线相切，称该公共点为切点．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，抛物线和抛物线的焦点分别为，所以．（Ⅱ）设直线的方程为：，联立方程组消去，得，因为直线为相切，所以△，得．且的坐标为．联立方程组消去，得，设，，，，，，则，所以．因为点在以线段为直径的圆上，所以，．，，，即，解得，经检验满足题意，故直线的方程是．13．（2021春•武陵区校级月考）如图，已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于、两点，点在抛物线上，使得的重心在轴上，直线交轴于点，且在点右侧．记，的面积为，．（1）若直线的斜率为，求以线段为直径的圆的面积；（2）求的最小值及此时点的坐标．【解答】解：（1）由题意可得，解得，所以抛物线的方程为，由已知设直线的方程为，与抛物线联立可得，，所以，则线段，则以线段为直径的圆的半径为8，故圆的面积为；（2）设，，，，，，重心，，令，，则，由直线过点，故直线的方程为，代入，可得，所以，即，所以，又由于，，重心在轴上，故，所以，，所以直线的方程为，可得，，由于点在焦点的右侧，故，故，令，则，所以，当且仅当，即时，取得最小值，此时．14．（2021•全国Ⅰ卷模拟）已知椭圆的离心率为，过左焦点且与轴垂直的弦长为．（1）求椭圆的方程；（2）已知，为椭圆上两点，为坐标原点，斜率为的直线经过点，若，关于对称，且，求的方程．【解答】解：（1）设，则，令，则，从而，即，又因为，即，解得，，故椭圆的方程为．（2）设直线的方程为，当时，不符合题意．当时，设直线，联立直线方程和椭圆方程，整理得，，即①．设，，，，则，，，．的中点在直线上，则，整理得②．②式代入①式整理得，解得或．因为，即整理得③．将②式代入③得，，且满足或，所以，故直线的方程为，或．15．（2021•涪城区校级模拟）已知抛物线的焦点为，为上异于原点的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点，且有，当点的横坐标为3时，为正三角形．（1）求的方程（2）若直线平行，且和有且只有一个公共点，证明直线恒过定点求的面积最小值．【解答】解：（1）当点的横坐标为3时，过点作轴于，，，，．为正三角形，．又，，．的方程为．当在焦点的左侧时，又，为正三角形，，解得，的方程为．此时点在轴负半轴，不成立，舍．的方程为．（2）证明：设，，，，，．由直线可设直线方程为，联立方程，消去得①由和有且只有一个公共点得△，，这时方程①的解为，代入得，，．点的坐标可化为，，直线方程为，即，直线过定点；直线的方程为，即．联立方程，消去得，，，点的坐标为，，点到直线的距离为：，的面积，当且仅当时等号成立，的面积最小值为16．16．（2009•台州二模）已知椭圆的离心率为，椭圆上的点到焦点的最小距离为1．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线与椭圆交于，两点，且为坐标原点），于点．试求点的轨迹方程．【解答】解：（Ⅰ）由题意知：，，，解得，．故椭圆的方程为．（Ⅱ）设，，，，（1）若轴，可设，，因，则，．由，得，即．若轴，可设，同理可得．（2）当直线的斜率存在且不为0时，设，由，消去得：．则．．由，知．故，即（记为①．由，可知直线的方程为．联立方程组，得（记为②．将②代入①，化简得．综合（1）、（2），可知点的轨迹方程为．17．（2021•吉林模拟）已知椭圆，直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为．（1）若，点在椭圆上，、分别为椭圆的两个焦点，求的范围；（2）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；（3）若过点，射线与椭圆交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时直线斜率；若不能，说明理由．【解答】解：（1），椭圆，两个焦点，设，，，，，的范围是，（4分）（2）设，的坐标分别为，，，，则两式相减，得，，即，故；（8分）（3）直线过点，直线不过原点且与椭圆有两个交点的充要条件是且．设，，设直线，即，由（2）的结论可知，代入椭圆方程得，，（10分）由与，联立得．（12分）若四边形为平行四边形，那么也是的中点，所以，即，整理得解得，．所以当时，四边形为平行四边形．（16分）18．（2021春•浙江月考）如图，已知抛物线，过点作斜率为的直线交抛物线于，两点，其中点在第一象限，过点作抛物线的切线与轴相交于点，直线交抛物线另一点为，线段交轴于点．记，的面积分别为，．（Ⅰ）若，求；（Ⅱ）求的最小值．【解答】解：（Ⅰ）直线的方程为，代入抛物线方程，得．设，，，，则，，，（Ⅱ）设直线的方程为，代入抛物线方程得，．设，，，，点的坐标为．设切线的方程为，代入抛物线方程，得，△，得，令，得，所以点的坐标为，．设直线的方程为，代入抛物线方程得，，，，，所以点的坐标为，，直线的方程为，即，令，得，所以点的坐标为，．，，由，知，，令，则，，，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为．19．（2017•遂宁模拟）已知抛物线的焦点为．若过点且斜率为1的直线与抛物线相交于，两点，又的面积为．（1）求抛物线的方程；（2）若点是抛物线上的动点，点，在轴上，圆内切于，求的面积的最小值．【解答】解：（1）由题意得，则过点且斜率为1的直线方程为．联立方程，消去得：，设，，，，则，．，，又，故得．所以抛物线的方程为．（2）设，，，，不妨设，直线的方程为，化简得，又圆心到直线的距离为1，故，即，故，不难发现．同理有，，是关于的一元二次方程的两个实数根，则，，因为点，是抛物线上的点，所以，则，又，所以．，当且仅当时取等号，此时．的面积的最小值为8．20．（2021•浙江模拟）如图，已知点，分别是椭圆的左、右顶点，点是椭圆与抛物线的交点，直线，分别与抛物线交于，两点，不同于．（Ⅰ）求证：直线垂直轴；（Ⅱ）设坐标原点为，分别记，的面积为，，当为钝角时，求的最大值．【解答】解：（Ⅰ）证明：根据题意可得，，设，，，，，，则直线为，联立，消去得，所以，所以，，直线的方程为，同理可得联立直线与抛物线的方程，得，所以，，所以，所以直线垂直于轴．（Ⅱ）设，是抛物线于椭圆