2021届宁夏银川一中等十七校高考数学联考试卷(理科)附答案解析

2021届宁夏银川一中等十七校高考数学联考试卷(理科)

一、单选题(本大题共12小题，共60.0分)

1.下面四个结论：①若aUB),则a€4；②若ae(AnB),则a6(4UB)；③若aeA,且

aeB,则ae(AnB)；④若4UB=4贝lb4nB=B.其中正确的个数为()

A.1B.2C.3D.4

2.设复数Z满足仙愿展=：L，则修|=()

A.当B一而C.2D.显

3.在区间［1,3］上任取一数，则这个数大于等于1.5的概率为()

A.0.25B,0.5C,0.6D,0.75

4,已知数列｛&»｝既是等差数列又是等比数列，首项由=1,则它的前2020项的和等于()

1_02020

A.fB.2021al+2021x1010d

C.2020D.0

5.圆。一3)2+0+4)2=1关于直线丫=—%+6对称的圆的方程是()

A.(x+IO)?+(y+3)2=1B.(x-10)2+(y-3)2=1

C.(x—3)2+(y+10)2=1D.(x—3)2+(y—10)2=1

6.下列命题推断错误的是()

A.命题“若x=y,则sinx=siny”的逆否命题为真命题

B.若p且q为假命题，则p,q均为假命题

C.“x=-1”是“小--6=0”的充分不必要条件

D.命题p：存在%()6R,使得以+&+1<0,则非p：任意x6R,都有/+x+120

7.若a、b、。€/?且。>/?,则一定有()

A.a-c>b-cB.(a-b)c>0C.*D.a?>於

8.已知定义域为R的函数/(久)满足：f(x+2)=号，且xe［-1,1］时，f(x)=|x|-l,则当xe

［—6,—4］时，f(x)的最小值为()

A.-8B.-4C.-7D.—：

48

9.如图是函数/1(*)=sin(a>x+(p)(3>0,0<<p<兀)的部分图象,

则f5)=()

10.体积为V的正方体，过不相邻四顶点连成一个正四面体，则该正四面体的体积是()

A，B，C/D/

11.已知双曲线，一总=l(a>0,b>0)与椭圆9+?=1有相同的焦点&、?2，点P为双曲线与椭

圆的一个交点，且满足|PFi|=2|P6|，则双曲线的渐近线方程是()

A.y=+y/2xB.y=±y/3xC.y=+xD.y=+yx

12.已知函数=嚏则/丁(°))=()

A.1B.-1C.2D.-2

二、单空题(本大题共4小题，共20.0分)

13,若0+》(2以-1)5的展开式中各项系数的和为2,则展开式中的常数项为.

14.在AABC中，若acosA=bcosB,且a?+/=必+c?,则△4BC的形状为.

15.已知an=1,告5缁=>),则S99=%+a2++&99=----

则类比以上等式，可推测a,t的值，a+t=—.

三、解答题(本大题共7小题，共82.0分)

17.己知：/(%)—cos(^^7T+2%)+cos(^y^7T—2x)+2V3sin(1+2x)(xe/?,nGZ),

(1)求函数/(x)的值域和最小正周期;

(2)写出f(x)的单调递增区间.

18.某学校高一学生有1000名学生参加一次数学小测验，随机抽取200名学生的测验成绩得如图所

示的频率分布直方图:

(1)求该学校高一学生随机抽取的200名学生的数学平均成绩或和标准差s(同一组中的数据用该组区

间的中点值做代表)；

(2)试估计该校高一学生在这一次的数学测验成绩在区间,-2s,x+2s］之内的概率是多少？测验成

绩在区间丘-2s,x+2s］之外有多少位学生？

(参考数据：V26»5.1)

19.如图①，△4BC中，AC=BC,AC1BC,。为4B中点.沿CD将△4CD折起，折起后的4点记为E(

如图②).

图①图②

(1)求证：平面ECDL平面EBD；

(2)若NEZM=60。，线段CE上是否存在一点F,使得二面角F-4B-C的余弦值为噜？若存在，求

出？的值；若不存在，说明理由.

CE

20.已知椭圆C：,+卷=l(a>b>0)经过点且离心率6=当.

(1)求椭圆。的方程；

(2)设4,B分别是椭圆C的上顶点、右顶点，点P是椭圆C在第一象限内的一点，直线4P,BP分别交

x轴，y轴于点M,N,求四边形4BMN面积的最小值.

21.己知函数g(x)=/+ax2+bx(a,beR)有极值，且函数f(x)=(%4-Q)靖的极值点是g(x)的极

值点，其中e是自然对数的底数.(极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值).

(1)若Q=l,求函数/(%)在％=1处的切线方程；

(2)求b关于Q的函数关系式；

(3)当a>0时，若函数F(x)=f(x)-g(x)的最小值为M(a),证明：M(a)<-|

22.在直角坐标系xOy中，直线珀勺参数方程为匕：+震(t为参数)，以坐标原点为极点%轴正半

轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为p2-2pcos9=3.

(I)求曲线C的直角坐标方程，并说明它为何种曲线；

(11)设点「的坐标为(3,3),直线，交曲线C于两点，求|PA|+|PB|的取值范围.

23.函数f(x)=|x+a|+-b|+c,其中a>0,b>0,c>0.

(1)当a=b=c=1时，求不等式/(%)>4的解集；

(2)若f(x)的最小值为3,求证：-+-+->3.

abc

参考答案及解析

1.答案：c

解析：解：：①若a€(4uB),则a€4或a€8,故错误;

②若a6(4CB),则a€(4U8),故正确；

③若aeA,且a€B,则ae(AnB),故正确；

④若4UB=A,则4,则4C8=B.故正确；

故选：C.

根据集合交集和并集的定义，逐一分析给定四个命题的真假，可得答案.

本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了集合交集和并集的定义，难度中档.

2.答案：A

y■>"1JJLv：

解析：试题分析：噂导厩墀=3".•・缪=诵上，.•惘=故选4

考点：本题考查了复数的运算

点评：熟练掌握并运用复数的运算法则是解决此类问题的关键

3.答案：D

解析：解：在区间［1,3］上任取一数，构成的区域长度为2,

这个数大于等于1.5,则构成的区域长度为：1.5,

所以在区间［1,3］上任取一数，则这个数大于等于1.5的概率为卷=0.75.

故选：D.

根据题意先确定是几何概型中的长度类型，由“在区间［L3］上任取一数“求出构成的区域长度，再

求出这个数大于等于1.5构成的区域长度，求两长度的比值即可.

本题主要考查概率的建模和解模能力，本题是长度类型，思路是先求得试验的全部构成的长度和构

成事件的区域长度，再求比值.

4.答案：C

解析：解：｛aj既是等差数列又是等比数列，首项由=1,

则即=l(neN*)(常数数列)，前2020项的和等于2020,

故选：C.

由｛斯｝既是等差数列又是等比数列，可得｛a“｝是非零的常数列，计算可得所求和.

本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，考查运算能力，属于基础题.

5.答案：B

解析：试题分析：设点孽的坐标是您看,嬷•由四=既|播|，得后蹲于，=公姆砺，，化

简得徽驾自+承%=相•••点孽的轨迹是以(2,0)为圆心，2为半径的圆，所求面积为4叛，故选B.

考点：圆的方程

点评：解决的关键是根据圆关于直线对称时，则圆的半径不变，主要是求解圆心的对称点即可，属

于基础题。

6.答案：B

解析:

本题考查命题的真假的判断与应用，充要条件，命题的否定，四种命题的逆否关系，属于基础题.

利用原命题与逆否命题的真假关系判断A的正误；复合命题的真假判断B的正误；充要条件判断C的

正误；命题的否定判断。的正误.

解：对于4命题“若x=y,则sinx=siny”是真命题，它的逆否命题为真命题，所以A正确；

对于B,p和q中只要有命题是假命题，命题p且q就是假命题，所以B不正确；

对于C,“X=-1”是一5%一6=0”的充分不必要条件，满足充分但不必要条件，正确；

对于D,命题p：存在&6R,使得诏+&+1<。，则非P：任意x€R，都有/+%+1>0,满足

命题的否定形式，正确.

故选：8.

7.答案：A

解析：

本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

利用不等式的基本性质即可判断出结论.

解：由a>b,则a-c>b-c,而(a-b)c与0的大小关系不确定，

;与1大小关系不确定，例如取a=2,b—-1；取a=—1,b=—2.

a?与人2的大小关系不确定，例如取a=2,b=-1；取a=-1,b=-2.

故选：A.

8.答案：A

解析：解：•••/(>+2)=早，

•••/(X+4)==等,/(x+6)=^12=等，

令一5<%<-4,则一1<%+4<0

,・,%G时,/(%)=|%|-1

・•・f(x+4)=|x+4|-1

・•.—5<%<—4时，/(x)=4(|%4-4|-1)

当％=-4时，f(%)的最小值为-4

令-6<%<-5,则0Wx+6W1,/(%+6)=氏+6|-1

・,・—6<%<—5时，/(%)=8(|x+6|-1)

当％=-6时，/(%)的最小值为一8.

・・・当％E[—6,—4]时，/(%)的最小值为-8.

故选A.

由/(x+2)=早，求出f(x+4)=早，/(x+6)=等，令-54XW-4,则一1WX+4W0,求

出/(x+4)、f(x)和最小值；令-6WXW-5,则0WX+6W1,求出/Q+6)、/Q)和最小值，从

而确定最小值.

本题考查函数的解析式的求法，注意对x的赋值，将未知的范围转化到已知的范围，充分运用条件即

可，同时考查绝对值函数的最值，属于中档题.

9.答案:A

解析：解：由函数的图象可知，函数的周期为：T=2x(y-^)=47r,可得3=弟=}

x时，函数取得最大值，所以sin©+8)=1,由五点法作图，可得

可得函数的解析式为：/(%)=sin(|x+

则/(兀)=sin6+》=?.

故选：A.

求出函数的解析式，然后求解函数值即可.

本题考查三角函数的解析式的求法，三角函数值的求法，考查计算能力.

10.答案：B

解析：解：如图所示，设正方体的棱长为a,

则匕i-BDQ=曝方体48CD-A81cMi一三棱锥人-480

32

=a-4x-3ax-2a

=-1a63

3

_v_

-3，

如图所不，设正方体的棱长为a，则匕1-BDCI=J正方体4BCD-4181cl-4V三棱锥4[_ABD，即可得出.

本题考查了正方体与三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

11.答案：B

解析：解：椭圆?1的焦点&(一2,0),F2(2,0)，

即有a?+炉=%

点P为双曲线与椭圆的一个交点，设为第一象限，且满足|P6|=2|PF?|,

设|PFJ=m,IPF2I=m，可得m+n=6,

m—n=2a,m=2n,解得a=l,b=遮,

双曲线的方程为/一近=1,

3

则渐近线方程为y=±V3x,

故选：B.

求得椭圆的焦点，可得a2+/?2=4,设|PF/=m,IPF2I="，运用椭圆和双曲线的定义，解得m,

n,可得a,b,即可得到双曲线的方程和渐近线方程.

本题考查双曲线的方程和性质，注意运用椭圆和双曲线的定义，考查运算能力，属于中档题.

12.答案：A

解析：解：根据题意，函数

则/XO)=3-0=3,则=/'(3)=log33=1,

故选：A.

根据题意，先求出/(0)的值，进而计算可得答案.

本题考查分段函数的求值，涉及函数解析式的应用，属于基础题.

13.答案：10

解析：解：••・(x+：)(2ax-l)5的展开式中各项系数的和为(1+1)(2。-1)5=2,

••a=1,

•••(2x-1)5的通项为25—C产r(_l)r,

当r=4时为10x,

(x+：)(2x-I)'的展开式中的常数项为10万•：=10,

故答案为：10.

根据展开式中各项系数的和12求得a的值，再把二项式展开，求得该展开式中常数项.

本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项

的系数，属于中档题.

14.答案：等边三角形或直角三角形

解析：解：由acosA=bcosB,结合正弦定理可得，2sinAcosA=2sinBcosB,

即sin2A=sin2B,

又k,B为三角形两内角，24=2B或24+2B=兀，

A=B或4+B=p

又a?+b2=ab+c2,c2=a2+b2-ab=a2+b2—2abcosC,

则cosC=I，Ce(O,TT),C=p

ABC的形状为等边三角形或直角三角形.

故答案为：等边三角形或直角三角形.

把acosA=bcosB由正弦定理化边为角，可得4=B或4+B=/；由a?+b2=ab+c?结合余弦定理

可得C=会从而可得△ABC的形状.

本题考查三角形的解法，考查三角形形状的判断，考查正弦定理及余弦定理的应用，是基础题.

15.答案：费

.............H一、<,』

a

解析：试题分析：因为即=7*第咏，所以碉於:中=下喀嬴诵药，n+ai00-n=

所以，S99=%+。2+…+。99®

S99=。99+。98+…+di（2）

31

①+②得2s99=99x下版»故S99

考点：本题主要考查数列的“倒序求和法”。

点评：中档题，本题解答技巧性较强，但考查的数列求和方法却是等差数列求和公式的推导方法。

由此可见，解题过程中，应根据的特征，灵活选用方法。

16.答案：35.

解析：试题分析：照此规律：a=6,t=a2-l=35.

考点：推理证明.

17.答案：解：/(x)=cos(2n7r+^+2%)+cos(2n;r--2%)+2V3sin(^+2x)=2cos(^+2x)+

2V3sin(^+2x)=4cos2x,

(1)函数/(x)的值域为［一4,4］,

函数/(无)的最小正周期T=^=n,

(2)11•2kn—n<2x<2kn,(keZ),

Afcyr—^<x<kn,

•••f(x)的单调递增区间为他兀一］k网(keZ).

解析：(1)先利用正弦的两角和公式对函数解析式进行化简整理，进而根据三角函数的性质和周期公

式求得函数的值域及最小正周期.

(2)根据余弦函数的性质求得函数的单调增区间.

本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象和性质.考查了学生对三角函数图象的理

解和基本公式的记忆.

18.答案：解：(1)数学成绩的样本平均数为：

%=80x0.006x10+90x0.026x10+100x0.038x10+110x0.022x10+120x0.008x

10=100,

数学成绩的样本方差为：

S2=(80-100)2x0.06+(90-100)2x0.26+(100-100)2x0.38+(110-100)2x0.22

+(120-100)2X0.08

=(-20)2X0.06+(-10)2X0.26+102X0.22+202x0.08=104.

所以估计这批产品质量指标值的样本平均数1=100,

样本标准差s=V104=2V26x10.2.

(2)由(1)知a-2s,x+2s)=(79.6,120.4),

则(79.6-75)x0.006+(125-120.4)x0.008=0.06441-0.0644=0.9356,

所以1000x0.0644«64(人)

所以估计该学校在这一次的数学测验中成绩在区间G-2s,1+2s］之内的概率为0.9356,

全校测验成绩在区间,-2s,x+2s］之外约有64人.

解析：(1)由频率分布直方图能求出数学成绩的样本平均数和数学成绩的样本方差，由此能估计这批

产品质量指标值的样本平均数和样本标准差.

(2)由6-2s,x+2s)=(79.6,120.4),得到(79.6-75)x0.006+(125-120.4)X0.008=

0.06441-0.0644=0.9356,由此能估计该学校在这一次的数学测验中成绩在区间自-2s,x+2s］之

内的概率为0.9356,全校测验成绩在区间［x—2s,x+2s］之外约有64人.

本题考查平均数、标准差的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是

基础题.

19.答案：(1)证明：由已知可得：CD人BD,CD1DE,又DBCDE=D,

CD_L平面EBO,而CDu平面ECD,

••・平面ECO_L平面EBO.(4分)

(2)解：以。为原点，射线。C,DB为非负x、y轴建立空间直角坐标系(如图)，

若设AC=CD=a,则可：D(0,0,0),C(—a,0,0),B(0,ya,0).

又由40=乎a/E/M=60。，可得E(0,-当a,华a),

为了计算方便，取a=2VL于是。(0,0,0),C(2,0,0),B(0,2,0),£(0,-l,V3),

若线段CE上存在点尸满足题意，设方=ACE(0<A<1).

由不=4谓，而一方？=4(反一方?)，而=(1-/t)DC+AD£.

故F(2-21,-A.V3A).

设(无,y,z)为平面4BF的法向量，则由「,嚣二;，

得?二+8M=°，取五=(同0,2"2),(8分)

显然沆=(0,0,1)为平面4BC的法向量，

由己知|cos例曲=再焉标=卷后,

得3M+2"l=0,故;1=2=一1舍去)，二线段CE上存在一点F,且时，满足题意.(12分

)

解析：(1)通过CD1BD,CD1CE证明CD_L平面EBD,然后证明平面ECD1平面EBD.

(2)以。为原点，射线0C,为非负x、y轴建立空间直角坐标系，求出平面4BF的法向量，平面ABC

的法向量，利用空间向量的数量积求解4,推出结果.

本题考查直线与平面垂直而得判断定理的应用，平面与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面

角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题.

20.答案：解：⑴•••椭圆C：W+《=l(a>b>0)经过点M(2,l),且离心率6=今

fCy/3

e=-=一

a2

「・<2+=］，解得Q=2A/2,b=V2，

a2b2

<a2=62+c2

椭圆c的方程为史+”=1.

82

(2)设A,8分别是椭圆C的上顶点、右顶点,则4(0,夜)，B(2/,0),

设P(x0,y。)，

则AP：、=生出无+/，可得M(--^=,0),

XQyo-v2

BP：'=当(>一2a)，可得N(。,—普)，

由卷+§=1,即就+4据=8,

1-2V2y1-

\AN\'\BM\=(V2+-------^0=)(2夜+

xQ—2V2

2

_2(x0+2yo-2V2)

"(x0-2V2)(y0-V2)

_2描+4羽+8+4肛笑0-4v2和-8%更加

,_x_=8,

^o3o^2o2\/2yo+4

则四边形ABMN的面积=S^OMN-SAOAB

1

=-(|OM|­\ON\-\OA\•|OB|)

=；[(|。4+\AN\)(\OB\+\BM\)-\OA\-\OB\]

ILL

=-(V2|5M|+2A/2|XW|+8)

V2

=—(BM\+2\AN\)+4

>4+y-2yj2\AN\•\BM\=4+472.

当且仅当|BM|=4,|4N|=2,上式取得等号，

则四边形力BMN的面积的最小值为4+4V2.

解析：本题考查椭圆方程的求法，注意运用离心率公式和点满足椭圆方程，考查四边形的面积的最

值求法，注意运用化简变形、转化和基本不等式，考查方程思想和运算能力，属于中档题.

(1)运用椭圆的离心率公式和M满足椭圆方程，解方程可得a,b,即可得到所求椭圆方程；

(2)求得4B的坐标，设P(x(),yo),求得直线AP,BP的方程，可得M,N的坐标，计算|AN|•|BM|=8,

四边形4BMN的面积=SAOMN-SAO4B=T(|OM|“ON|-|O4|-|OB|),化简整理，结合基本不等式

即可得到所求最小值.

21.答案：解:(l)a=l时,/(x)=)=(x+l)ex

/'(%)=(%+2)ex

1(1)=3e,f(l)=2e

函数f(久)在％=1处的切线方程：y-2e=3e(x-1).

即y=3ex—e

x

(2),・•函数/(x)=(x+a)ef

・•・/'(%)=ex(x+a+1),

令f'(x)=0,解得％=-a-1,

)函数g(%)=x34-ax2+bx{a,bG/?),

・•・gKx)=3x2+2ax+b,

・・・函数g(x)=%3+ax2+bx(a,b6R)有极值,且函数/(%)=(%+a)e”的极值点是g(%)的极值点,

・•・/(—Q—1)=3(—a—l)2+2a(—a—1)+b=0,

解得b=-a2—4a—3.

证明：(3)F(X)=/(%)—g(x)=(%+a)ex—%3—ax2—/?%=(%+a)ex—%3—ax2+(a2+4a+

3)x,

F'(x)=(%+Q+l)ex-3x2-2ax4-a2+4a+3

=(%+a+l)ex—(%+a+1)(3%—a—3)

=(x+Q+l)(ex-3%+Q+3),

令h(x)=e"-3x+Q+3,则九'(%)=ex—3,

令八'(X)=0,得％=ln3,

九(仇3)为九(%)最小值，且九(加3)=6-3"3+Q,

va>0,:./i(Zn3)>0,

:.h(x)>0,

对于F'(x)=(%+a+l)/i(x)=0,有唯一解％=—a—1,

当％£(—8,一。一1)时，Fz(x)<0,

当％W(—a—L+8)时，Fz(x)>0,

・・・尸(一。一1)为尸(%)最〃、值，

M(Q)=F(—a-1)=-e-a-1—(a+l)2•(a+2),

当a>0时、：.M(a)是减函数，

17

M(a)<M(0)=一：-2<一5

7

解析：(1)利用导数的几何意义求解.

(2)推导出f'(x)=+a+1),令/'(%)=0,得％=求出g'(x)=3/+2ax+b,从而

g'(-a-1)=3(-a-l)2+2a(-a-1)4-b=0,由此能求出b关于a的函数关系式.

(3)F(x)=/(%)—g(%)=(x+a)e"—%3—ax2+(a2+4Q+3)x,推导出F'(x)=(x+Q+l)ex—

3x2—2ax+a?+4Q+3=(%+Q+1)(/—3x4-a4-3),令/i(x)=e*—3x+a+3,则九'(%)=

ex-3,令九'(%)=0,得％=)3,九(伍3)=6-3m3+Q为h(%)最小值，推导出F(-a—1)为FQ)最

7

小值，M(a)=F(-a-1)=-e-a-1-(a+l)2-(a+2),由此能证明M(a)<一,.

本题考查导数几何意义、不等式的证明，考查函数性质、导数性质等基础知识，考查运算求解能力，

考查函数与方程思想，是中档题.

22.答案:解：(1);曲线(?的极坐标方程为。2-2。恒5。=3.

.•.曲线C的直角坐标方程为产+y2-2x=3,即(X-1)2+y2=4,

曲线C是一个以(1,0)为圆心，2为半径的圆.

(n)♦.•直线/的参数方程为｛；：I+篙：(t为参数)，

・•・直线2过定点P(3,3),

・・・直线］与曲线C相交，由题意知其倾斜角a为锐角，

把｛；~|::代入("一l)?+y2=*得/+(4cosa+6sina)t+9=0,

由4>0,