2021届高考数学（理）二轮总复习学案：层级一 12个基础考点组合

一层一级二一SI_瑞腔林理•牖自主籁

“个基掰考点自查自脸4W幽II.十甲洲a

考点一集合

।练真题।

1.(2019•全国卷I)已知集合M={x|-4<xV2},N={x*—x—6V0},则MCN

=()

A.{x[—4<x<3}B.{x|-4<x<-2}

C.{x|-2<x<2}D.{x[2<x<3}

解析：选C，：M=(x\-4<x<2},N={^-%-6<0}={^|-2<x<3},

：.MHN={x\-2<x<2}.故选C.

2.(2019•全国卷U)设集合A={XF—5X+6>0},B={X|X-1<0},则AQB

=()

A.(—8,1)B.(-2,1)

C.(-3,-1)D.(3,+°°)

解析：选A根据题意，A={x*—5x+6>0}={Mx>3或xV2},B={x|x-1

V0}={小VI},

则ACB={x|xVl}=(-8,1),故选A.

3.(2018.全国卷I)已知集合4={耳？一x—2>0},则[RA=()

A.{x\~l<x<2}

B.{x|-1WXW2}

C.{x|x<—1}U{x\x>2}

D.{x|x^-1}U{x\x^2]

2

解析：选B•.,%一大一2〉0,.•.(X—2)(X+1)〉0,，X>2或X<—1,即4={可尤>2

或x<—1}.在数轴上表示出集合A,如图所示.

__,__,__cz.

-1012X

由图可得[RA={X[-1WXW2}.故选B.

4.(2018•全国卷II)已知集合&={(%，四出十y2忘3,xez,yeZ},则A中元

素的个数为（）

A.9B.8

C.5D.4

解析：选A将满足f+y2W3的整数无，y全部列举出来，即(一1,—1),(—

1,0),(-1,1),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,-1),(1,0),(1,1),共有9个.故选A.

5.(2017・全国卷I)已知集合4={川x<1},8=33*<1},则()

A.AnB={x|x<0}B.AUB=R

C.AUB={x|x>l}D.A08=0

解析：选A集合A={x|x<l},8={小<0},.*.ACB={4r<0},AUB=

{x|x<l}.故选A.

明考情

集合作为高考必考内容，多年来命题较稳定，多以选择题形式在前3题的位

置进行考查，难度较小.命题的热点依然会集中在集合的运算方面，常与简单的

一元二次不等式结合命题.

I练典题I

1.(2019•惠州市第一次调研)已知集合M={x[/=1},N={x|ox=l},若N=M,

则实数。的取值集合为()

A.{1}B.{-1,1}

C.{1,0}D.{-1,1,0)

解析：选D依题意知，M={X\X2=1}=(-1,1},当。=0时，N=。,满足

NUM;当aWO时，因为NNM,所以}=-1或(=1,即a=—1或a=1.故选D.

2.(2019•河北衡水联考)已知集合A={x|—七+2018x。。},B={xGN|y=lg(3

—x)},则集合A的子集个数是()

A.4B.7

C.8D.16

解析:选CA=[0,2018],B={xGN|x<3},...An8={0,1,2),故集合ACS

的子集个数是8.故选C.

3.(一题多解)(2019•湘东六校联考)若集合A={x|-l«O},B={x|log2(l-

x)WO},则AUB=()

A.{x|—&V1}B.{x|—IVxWl}

C.{0}D.3—IWxWl}

解析：选A解法一：因为B={x|log2（l-x）^0}={x|0<11}={x|0^x

<1},所以AUB={M-lWxVl},故选A.

解法二：因为14A且1物，所以1阵（AUB）,故排除选项B、D;又一1WA,所

以一1G（AUB）,故排除选项C.故选A.

4.（2019•安徽五校二检）设集合A={x|-lVxVl},B={y|y=x2,x^A},则

An（CRB）=（）

A.{x|0«l}B.{x|-l<x<0}

C.{x|O<x<l}D.{x|-l<x<l}

解析：选B8={)|y=f,x£A}={y|OWyVl},所以[R8={y|yV0或},

则AA([RB)={卫一IVxVO},故选B.

5.(创新题)对于非空数集A={a”z,。3,…，a“}(〃6N*),其所有元素的算

术平均数记为E(A),即E(A)='"+"2+；+…若非空数集8满足下列两个条

件:①B=A；②E(3)=E(A).则称3为A的一个“保均值子集”.据此，集合{1,2,3,4,5}

的“保均值子集”有()

A.4个B.5个

C.6个D.7个

解析：选D因为集合{123,4,5}中所有元素的算术平均数E(A)=

1+2+3+4+5=3^所以由新定义可知，只需找到其非空子集B满足E(B)=3即

可.据此分析易知,集合{1,2,3,4,5},{1,2,4,5},{1,3,5},{2,3,4},{1,5},{2,4},

{3}都符合要求.故集合{1,2,3,4,5}的“保均值子集”有7个.故选D.

•1悟方法

解集合运算问题应注意如下三点：(1)看元素构成，即看集合中元素是数还是

有序数对，是函数的自变量还是函数值等；(2)对集合进行化简，通过化简可以使

问题变得简单明了；(3)注意数形结合思想的应用，集合运算常用的数形结合形式

有数轴、坐标系和Venn图.

»记结论

1.含有〃个元素的集合有2"个子集，有2"—1个非空子集，有2"—1个真子

集，有2"—2个非空真子集.

2.集合的运算性质及重要结论

⑴AUA=A,AU0=A,AUB=BUA.

(2)ACA=A,AA0=0,AOB=BOA.

(3)40([公)=0,AU([uA)=U.

(4)AC18=A0A£3,AUB=A^BQA.

考点二复数

I缥真题I

1.(2019•全国卷I)设复数z满足|z—i|=l,z在复平面内对应的点为(x,y),

则()

A.(x+l)2+y2=lB.(x-l)2+/=l

C.f+Cy-l)2=lD./+&+1)2=1

解析：选C由已知条件，可得z=x+yi.

/Jx+yi—i|=1,.,.f+(y—1)2=1.故选C.

3_j

2.(2019•全国卷I)设z=Mp则|Z|=()

A.2B.小

C.D.1

...3—i(3—i)(l—2i)1—7i

解析：选CVz=i+2i=(l+2i)(l-2i)=5J

，忆尸、/^+0^=也•故选C-

3.(2019•全国卷IH)若z(l+i)=2i,则z=()

A.-1-iB.-1+i

C.1-iD.1+i

解析：选D由z(l+i)—2i,仔z—j.—(]+j)(]_0—2—1(—i)—+

i.故选D.

4.(2018・全国卷I)设2=累+2L则[z|=()

A.0B.g

C.1D.6

1—i(1—i)2—2i

解析：选CVz=—+2i=^-^-^+2i=—+2i=i,

.'.|z|=l.故选C.

5.(2017.全国卷I)设有下面四个命题：

pi：若复数z满足;©R,则zGR；

p：若复数z满足Z2£R,则zdR：

P3:若复数Zl,Z2满足Z1Z2WR,则Z1=Z2；

.4：若复数zWR,则zWR.

其中的真命题为()

A."I,〃3B.pi,P4

C.pi,P3D.pi,P4

解析：选B设复数z=a+砥a,OCR),对于“：

.,./?=0,.,.zGR,.,.pi是真命题；对于p2：•.,z2=(a+bi)2=a2-/?2+2a/?iGR,a/?

=0,.,.a=0或h=0,；.p2不是真命题；对于“3：设zi=x+yi(x,y£R),Z2=c

+di(c,t/GR),则ziz2=(x+yi)(c+di)=cx—办+(公+cy)iGR,.".dx-\-cy=Q,取

zi=1+2i,Z2=-1+2i.,.,ziWz2,...p3不是真命题；对于p4：*.,z=o+/?iGR,'.b

=0,.*.7=a-M=aeR,，p4是真命题.故选B.

明考情

高考对复数的考查重点是其代数形式的四则运算(特别是乘、除法)，也涉及复

数的概念及几何意义等知识，题目多出现在第1〜3题的位置，难度较低，纯属送

分题目.

■典题I

1—2i

1.(一题多解)(2019•合肥市高三调研测试)已知复数z=-(i为虚数单位)，

则团=()

A.|B.|

4

c.5D.i

7…l-2i（l-2i）（2+i）4-3i43.,,、，

解析：选D解法-：z=2T=（2-i）（2+i）=5=厂=，所以|z|=

Y（若可:1.故选D.

解法二：根据复数的模的运算性质言=昌，可得团=?^=兴=1.故选D.

a-i

2.（2019•江淮十校联考）已知。是实数，币是纯虚数，则。=（）

A.1B.-1

C.啦D.一近

ci-i

解析：选A设后=万（匕是实数且AW0）,则a—i=（l+i）"=—Z?+/?i,所以

a=~b,

3.（2019•广东百校联考）已知i是虚数单位，若复数z=i（小+i）,则z的共趣

复数为（）

A.1iB.-1—i

C.一/+iD.一小一i

解析:选B因为z=i（小+i）=—l+Si,所以z的共轲复数为一1一小i.故

选B.

4.在复平面内与复数2=系所对应的点关于实轴对称的点为A,则点A对应

的复数为（）

A.1+iB.1-i

C.-1-iD.-1+i

解析：选B因为2=含=（]；（三?.=@一0=]+「所以点A的坐标为（1,

-1）,其对应的复数为1-i.故选B.

5.(创新题)已知复数zi=-l+2i,Z2=l—i,Z3=3—4i,它们在复平面上对应

的点分别为A,B,C,若应=2次+/访(九〃WR),则2+〃的值是

解析：由题意得定=(3,-4),以=(一1,2),OB=(1,-1),由域7=2醇+

-*n/1+〃=3,

FiOB,得(3,—4)=2(—1,2)+〃(1,—1)=(—2+//,24—〃)，所以J」.解

12/1—//=-4,

A=-l,

得第—2所以2+〃=L

答案：1

»悟方法

在复数的代数形式的四则运算中，力口、减、乘运算按多项式运算法则进行，

把含有虚数单位i的项看作一类同类项，不含i的项看作另一类同类项；除法运算

则需要分母实数化，解题中注意要把i的嘉化成最简形成.

»记结论'

1.复数运算中的常用结论

_1+i1-i

(l)(l±i)2=±2i,-~~:=i,H=—i.

、八1—i1+i

a+b\

(2)-j-=b—a\.

4n4n+l

(3)i=l,i=i,j4，，+2=_],i4"+3=_j,j4„+i4n+1_|_i^+2+j4n+3=0(/7GZ).

2.求复数的模时，直接根据复数的模的公式口十万尸后防和性质r?i=izi,

|Z|2=IZF=Z・Z,|Z「Z2|=|Z1|-|Z2|,言=j^j进行计算.

考点三常用逻辑用语

I练真题I

1.(2019•全国卷H)设a,4为两个平面，则a〃4的充要条件是()

A.a内有无数条直线与厂平行

B.a内有两条相交直线与夕平行

C.a,夕平行于同一条直线

D.a,6垂直于同一平面

解析：选B若a〃4则a内有无数条直线与夕平行，反之则不成立；若a,

用平行于同一条直线，则a与4可以平行也可以相交；若a,夕垂直于同一个平面，

则a与4可以平行也可以相交，故A、C、D中条件均不是a〃夕的充要条件；根

据平面与平面平行的判定定理知，若一个平面内有两条相交直线与另一个平面平

行，则两平面平行，反之也成立，因此B中条件是a〃£的充要条件.故选B.

x+y»6,

2.(2019•全国卷DI)记不等式组.'、八表示的平面区域为D命题p：王心

2x—y^0

y)eD,2x+y^9；命题q：V(x,y)ef>,2x+yW12.下面给出了四个命题

①pVq②(一®pA(—><?)@(—>p)A(—><7)

这四个命题中，所有真命题的编号是()

A.①③B.①②

C.②③D.③④

解析：选A解法一：画出可行域如图中阴影部分所

示.目标函数z=2x+y是一条平行移动的直线，且z的几何

意义是直线z=2x+y的纵截距.显然，直线过点A(2,4)时，

Zmin=2X2+4=8,即z=2x+yN8.，2x+yG[8,+°°).由

此得命题p:3(x,y)G£),2x+y29正确：命题q:V(x,y)

SO,2x+)W12不正确..•.①③真，②④假.故选A.

尤+y26,

解法二：取尤=4,y=5,满足不等式组彳'、且满足2x+y29,不满

[2x—y^0,

足2x+yW12,故p真，4假.

...①③真，②④假.故选A.

3.(2014•全国卷II)函数/(x)在尤=xo处导数存在.若p：/(xo)=O；q：x=xo

是1x)的极值点，则()

A.〃是夕的充分必要条件

B.〃是q的充分条件，但不是4的必要条件

C.〃是q的必要条件，但不是q的充分条件

D.〃既不是q的充分条件，也不是q的必要条件

解析：选C设兀¥)=^,/(0)=0,但是«x)是单调增函数，在x=0处不存在

极值，故若p则q是一个假命题，由极值的定义可得若q则p是一个真命题.故

选C.

4.（2015・全国卷I）设命题p：3ZM）GN,ni>2no,则—v?为（）

A.V/?GN,n2>2"B.3noeN,〃3W2〃o

C./W2"D.3zioN,〃3=2〃o

解析：选C命题p是一个特称命题，其否定是全称命题，故选C.

明考情

高考对常用逻辑用语考查的频率较低，且命题点分散，其中含有量词的命题

的否定、充分必要条件的判断需要关注，多结合函数、平面向量、三角函数、不

等式、数列等内容命题.

I练典题I

1.（2019•云南省曲靖市一中质量监测）命题“若小〃20,则用20且〃20”的

逆否命题是（）

A.若加〃<0,则加20旦“20

B.若〃z〃20,则，"V0或〃V0

C.若m2。且〃20,则mn^O

D.若m<0或n<0>则mn<0

解析:选D由题意知，命题“若〃?〃》（），则机20且〃20”的逆否命题是“若

m<0或n<0,则mn<0，>,故选D.

2.（一题多解）若A：k）g2aVl,B-.关于x的一元二次方程/+（。+l）x+。一2

=0的一根大于零，另一根小于零，则A是8的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解析：选A由log2a〈l,得0VaV2;而方程2=0的一根

大于零，另一根小于零的充要条件是4））<0,即。一2<0,解得a<2.

解法一：（定义法）因为0<a<2=a<2,a<2»0<a<2,所以0<a<2是«<2的充分

不必要条件，即A是3的充分不必要条件.

解法二：（集合法）满足条件A的参数a的取值集合为M={a[0<a<2},满足条

件8的参数a的取值集合为N={a|a<2},显然MN,所以A是8的充分不必要

条件.

3.（一题多解）已知命题0：当x,y£R时，以+、|=国+仪|成立的充要条件是

孙NO；pit函数丁=2*+2一*在R上为减函数,则命题qi：piV〃，0：pi/\〃2,93：

（「〃l）Vp2和衣：piA（"«P2）中，真命题是（）

A.qi,农B.饮,农

C.qi,q4D.（72，,4

解析：选C解法一:对于pi:（充分性）若孙20,则x,y至少有一个为。或

同号,所以|x+y|=|x|+|y|一定成立;（必要性）若|x+y|=|x|+|y|,两边平方，得x2

+2xy+y2=x1+2\xy\+y1,所以xy=|町所以孙20.故pi为真命题.

对于〃2：尸2'如2-如2=（2”一知12,当xW（0,+8）时,2号,又ln2>0,

所以y〉o,所以函数单调递增：

同理，当—8,0）时，函数单调递减，故〃2是假命题.

由此可知，qi真，夕2假，夕3假，夕4真.

解法二：pi是真命题，同解法一.对于P2：由于固=2'+2r》2y2工2七=2（等

号在x=0时取得），故函数在R上有最小值2,故这个函数一定不是单调函数，p2

是假命题，由此可知，qi真，夕2假，夕3假，真.

4.（2019・湖北部分重点中学高三测试）已知p-.mxoeR,3xo<rd,那么一>〃为（）

A.VxeRaxvr3B.mx（）CR,3xo>看

C.VXGRJ'NX3D.

解析：选C因为特称命题的否定为全称命题，所以一1〃：WXGR,3K2X3,故

选C.

（1悟方法

充分条件与必要条件的判断方法

1.定义法

直接判断“若P，则，“若q,则p”的真假.

2.集合法

当所要判断的命题与方程的根、不等式的解集有关，或所描述的对象可以用

集合表示时，可以借助集合间的包含关系进行充分条件与必要条件的判断.

3.等价转化法

适用于“不易直接正面判断”的情况，可先将命题转化为另一个等价的又易

于判断真假的命题，再去判断.

»明易误

否命题与命题的否定

否命题命题的否定

否命题既否定其条件，又否定

命题的否定只是否定命题的结论，即“若

其结论，即“若p,则的否

区P，则夕”的否定是“若p,则f”

命题是“若「P，则

别

否命题与原命题的真假无必然命题的否定与原命题的真假总是相对立

联系的，即一真一假

考点四算法

1练真题1

1.（2019•全国卷I）如图是求I的程序框图，图中空白框中应填入（）

2H-F

2+1

A=2+

A'A=2+AB.A

CA=1+2AD，A=i+2A

解析：选A对于选项A,A=^~.

/IZ1

当k=1时，A=r,

2+2

当人=2时，A=---'一,满足所求，故A正确;

经验证选项B、C、D均不符合题意.故选A.

2.（2019•全国卷m）执行如图所示的程序框图，如果输入的£为0.01,则输出

的值等于（）

A.2—^4

B.

C.2—^6D.2-/

X=l,5=0,5=04-1=1,X=1,X<E

解析：选C执行程序框图，e=0.01,

不成工;

=1+；,X=；,》<£不成立;

S=l+/+；,X=|,X<£不成立;

s=l+g+鸿，尸T7,X<£不成立;

1111

--I

s2-48XX<£不成立;

1632,

S=l+g+[+(+*X=*，x<£不成立;

1.1,1,1,1,1,1x=W，%<£成立，

5=1+2+4+8+16+32+64*

此时输出s=2—玄.故选C.

3.（2018.全国卷II）为计算S=l—J+，；+…+右一击，设计了如图所示的

NDQyyiuu

程序框图，则在空白框中应填入（）

A.z=z+lB.z=z+2

C.i=i+3D.z=z+4

解析：选B把各循环变量在各次循环中的值用表格表示如下.

循环次数①②③・・・S）

0+1+3+5。+;+*+…+表

N0+T0+1+3・・・

0+；0+率+工・・・

T0+2+4u十2十4十60+2+4+6+***+100

।21T+A5+…+或

1-2+3-4

・・・

S1-2L2+3—4

1

+,11

5-6100

因为N=N+；,由上表知i是1―3—5—…—99,所以i=i+2.故选B.

4.（2017.全国卷II）执行下面的程序框图，如果输入的。=-1,则输出的5=

()

I结束）

A.2B.3

C.4D.5

解析：选B运行程序框图，a=~\,S=0,K=\,KW6成立；S=0+(—1)X1

=-l,a=\,K=2,KW6成立；5=-l+lX2=l,a=~\,K=3,KW6成立；

S=l+(—1)X3=—2,a=l,K=4,KW6成立；S=—2+1X4=2,a=—\,K

=5,KW6成立；S=2+(-l)X5=-3,a=\,K=6,KW6成立；5=-3+lX6

=3,a=~l,K=1,KW6不成立，输出S=3.故选B.

5.（2017.全国卷I）下面程序框图是为了求出满足3"—2">1000的最小偶数〃,

那么在◊和口两个空白框中，可以分别填入（）

A.A>1000?和n=n+\

B.A>[000?和〃=〃+2

C.AW1000?和〃=〃+1

D.AW1000?和n=n+2

解析：选D程序框图中A=3"—2",此程序框图为当型循环结构，故判断框

中应填入AW1000?,由于初始值〃=0,要求满足4=3"—2">1000的最小偶数，

故执行框中应填入〃=〃+2,故选D.

明考情

高考对算法的考查，每年平均有一道小题，一般出现在第6〜9题的位置上，

难度中等偏下，均考查程序框图，热点是循环结构和条件结构，有时综合性较强,

其背景涉及数列、函数、数学文化等知识.

I缘典题I

1.（2019,安徽示范高中高三测试）执行如图所示的程序框图，输出的s值为

）

|开始）

k=\^=Q

A.—10B.12

C.2D.10

解析：选C开始，k=\,5=0;第一次循环：s=—l,k=2;第二次循环：

5=—1+2=1,k=3;第三次循环：s=l—3=—2,攵=4：第四次循环：s=-2+

4=2,k=5,满足条件Q4,退出循环.输出s=2,故选C.

2.（一题多解X2019•唐山市高三摸底）已知程序框图如图所示，则该程序框图

的功能是（）

A.求----F*的值

B.求----1■春的值

C.求］-----色的值

D.求1—g+:—劣-f-------•的值

解析：选C解法一：执行程序框图，S=1,a=—l,〃=3;S=1—I，a=l,

〃=5;5=1—1+|,a=~\,〃=7;…；S=1—1+1—----a=\,n=21>19

满足条件，退出循环，输出£故该程序框图的功能是求s=i—…一'的

值，故选C.

解法二：根据。正负相间取值，不难排除选项A、B,根据循环的次数，排除

选项D,故选C.

3.（2019•江西红色七校第一次联考）执行如图所示的程序框图，如果输出的s

=4,那么判断框内应填入的条件是（）

0gt优输出$

A.ZW14?B.kW15?

C.26?D.ZW17?

解析：选B执行程序框图，第一次循环，s=log23,%=3;第二次循环，s

=2,左=4;第三次循环，s=log25,k=5;第四次循环，5=log26,左=6;…；第

十四次循环，s=4,左=16,此时结束循环.结合选项，判断框内应填入的条件只

能是ZW15?,故选B.

4.（创新题）（2019•长春市高三第一次质量监测）我国古代数学著作《九章算术》

有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取

一，余米一斗五升（注：一斗为十升）.问，米几何？”如图是解决该问题的程序框

图，执行该程序框图，若输出的S=15（单位：升），则输入的2的值为（)

A.45B.60

C.75D.100

解析：选B依题意知，n=\,S=A,满足条件"<4,执行循环体，n=2,S

k

kbk2k

=^—2=2；满足条件n<4,执行循环体，〃=3,S=］一满足条件n<4,执

k

k3Zk

行循环体，〃=4,S=2—4=4，此时不满足条件〃<4,退出循环，输出的S=疝由

k

题意可得，4=15,解得人=60,故选B.

>悟方法

判断程序框图的输入、输出值的步骤

先通读一遍程序框困，把握程序框困中的基

读程序

本量和基本运算，确定初始值、框图的流向、

框图

循环体结束的条件等

根据框图的流向确定累力口（乘）变量以及计

数变量的基本算式，逐步代入进行运算

对于循环结构，检验所给的数值是否满足循

环体结束的条件，若不满足条件则继续循

I验条件I—

环，否则输出运算结果；对于条件结构，应根

据条件选择某一分支进行求解

I得结果I—I一确定该程序框图的输出结果I

»明易误

直到型循环与当型循环的区别

直到型循环是“先循环，后判断，条件满足时终止循环”；当型循环是“先

判断，后循环，条件满足时执行循环”.两者的判断框内的条件表述在解决同一

问题时是不同的.

考点五平面向量的线性运算

I练真题I

1.（2018.全国卷I）在△ABC中，为8C边上的中线，E为的中点，则

EB=（）

A.^AB—^ACB.^AB—^AC

c.D.

解析：选A作出示意图如图所示.

EB=ED+DB=^AD+^CB

=^X^（AB+AC）+^（AB—Ac）

=彳油—W庆.故选A.

2.（2015.全国卷I）已知点A（0,l）,8（3,2）,向量比=（—4,一3）,则向量比=

A.(-7,-4)B.(7,4)

C.(-1,4)D.(1,4)

解析：选A设C(x,y),VA(O,1),AC=(-4,-3),

x-0=-4,(x=_4,_

：.\解得4/.C(-4,-2).又8(3,2),/.BC=(-7,

[y-\=-3,[y=~2,

-4),故选A.

3.(2018•全国卷川)已知向量a=(l,2),b=Q,-2),c=(l,A).若。〃(2。+

b),则4=.

解析：2a+Z>=(4,2),因为c〃(2a+6),所以42=2,解得

答案:

明考情

平面向量是高考必考内容，每年每卷均有一个小题（选择题或填空题），一般出

现在第3〜7题或第13〜15题的位置上，难度较低.主要考查平面的线性运算，

坐标运算是其考查的热点.

I练典题I

1.（2019•全国五省优创名校高三联考）如图，在△ABC中，BC=3BD,AE=^

AD,则前=()

A.^AB+^AC

C.^A^—^AC

D.—QAB+XAC

解析：选B由於=3彷，得病=痴+［病.因为靠=痴，所以施=轴+

JJJ7

|AC,所以无=能一辰?=抛一痂?.

2.（一题多解X2019•安徽安庆二模）如图，在△ABC中，点。是边3c上任意一

点,M是线段AD的中点，若存在实数％和〃，使得前=施+，则％+〃=（）

C.2D.-2

解析：选B解法一：（直接法）因为点。在边3C上，

所以存在ZGR,使得防=林=/（危一油）（OWW1）.

因为M是线段AO的中点，

所以而=；（丽+匝=g（—麴+而一蔺）=一/+1丽+最危.

又诙=%拔+〃而，所以幺=—；（f+l）,〃=J,

所以2+〃=-g.故选B.

解法二：（特殊点法）由题意知，。为边BC上任意一点，不妨令点。与点8重

合，则点M就是线段A3的中点.

显然此时诙=g丽=一;油+0元.

又肱〃后1,且油与公不共线，所以a=—g,〃=0,故％+«=一；.故

选B.

3.（2019•辽宁丹东模拟）设平面向量a,b不共线，若协=@+5b,BC=-2a

+8b,前=3（。一/＞）,则（）

A.A,B,。三点共线B.A,B,C三点共线

C.B,C,。三点共线D.A,C,。三点共线

解析：选A\'AB=a+5b,BC=~2a+8b,CD=3（a-6）,：.AD=AB+BC+

CD=（a+5b）+（-2a+8b）+3（a~b）=2（a+5b）=2AB,；.疝与筋共线，即A,B,

。三点共线，故选A.

4.（一题多解）（2019•河南模拟）在AABC中，ZA=1,。为平面内一点，且|S1

\=\OB\=\OC\,M为劣弧下不上一动点，且而则p+q的取值范围

为________

解析：解法一：因为|倒|=|为|=|为，所以。为△ABC外接圆的圆心，且N

8OC=竽2兀.以O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设圆的半径为

1,则5（1,0）,《一上由，设M（cos6,sine）（0W6W第，则为=（1,0）,OC=

cos9=p-

由而=p为+得<解得

sin9鼻

p=cos8+审sine,

<2所以p+q=cosO+yfSsine=2sin（9+5）,由0W9W专，

4=种仇

知太e+在芝所以当e+专=3，即e=/时，2+彳取得最大值，最大值为2；当

。+专弋或。+蓑=普，即。=0或。=空时，p+q取得最小值，最小值为1.故p+q

的取值范围是[1,2].

解法二：因为|/|=|彷|=|浣|,所以。为AABC外接圆的圆心，且N30C=

岸不妨设圆的半径为1,PP]|OM|=|（9B|=|OC|=1,由而=p访+4庆两边平方，

得|两2=用彷『+/1历2+2p]为u虎|cosNBOC,即1=p2+q2+2pqX（一；），

即1=p2+/—pq=s+q）2—3p%又由条件知〃三0,夕20,所以0WpqW（"；'）2=：

\p+q)2^\,

(p+q)2,所以，।、23,,.I,所以lW(p+q)2W4,所以lWp+4W2.

(p+q)一加+/々I,

答案：[1,2]

•1悟方法

平面向量线性运算的两个技巧

(1)对于平面向量的线性运算问题，要尽可能转化到三角形或平行四边形中，

灵活运用三角形法则、平行四边形法则，紧密结合图形的几何性质进行运算.

(2)在证明两向量平行时，若已知两向量的坐标形式，常利用坐标运算来判断；

若两向量不是以坐标形式呈现的，常利用共线向量定理(当6•0时，存在唯

一实数人使得@=劝)来判断.

>记结论

向量共线的四个结论

⑴若a与分不共线且入a=/ib,则A=/z=O.

(2)直线的向量式参数方程，A,P,B三点共线。舁=(1一。为+Qb(O为平

面内任一点，reR).

(3)所=力协+〃庆(九〃为实数)，若A,B,。三点共线，则义+〃=1.

(4)若a=(xi,>1),5=(X2,”)，则a//b<^>x\y2=X2y\,当且仅当时，a〃

=工

考点六平面向量的数量积

I练真题I

1.(2019•全国卷I)已知非零向量a,方满足同=2|回，且(。一阶_1_4则a与万

的夹角为()

兀兀

A-6B-3

-2兀-5兀

C.丁D.不

解析：选B由(a—8)_L5,可得(a—6)0=0,

J.ab=b~.

..abb2I

V\a\=2\b\,/.cos〈za,bx)=而7而=，j评=，•

TT

•.,OW〈a,b〉WTI,・\Q与〃的夹角为g.故选B.

2.(2019•全国卷H)已知屈=(2,3),AC=(3,/),|BC|=1,则福•病=()

A.-3B.—2

C.2D.3

解析：选C'：BC=AC-AB=(3,0-(2,3)=(1,t~3),V|BC|=1,

.,.^/l2+(r-3)2=l,：.t=3,.,.BC=(l,0),

二屈疣=2X1+3X0=2.故选C.

3.(2019•全国卷H)已知向量a=(2,3),b=(3,2),则|a—臼=()

A.JIB.2

C.5啦D.50

解析：选AVa-Z>=(2,3)-(3,2)=(-1,1),

ip+故选A.

4.(2018•全国卷II)已知向量a,b满足|a|=Lab=~\,则a・(2a—b)=()

A.4B.3

C.2D.0

解析：选Ba(2a—b)=2a2—ab=:2\a^—ab.

V|a|=l,ab=~\,，原式=2