2021届高考数学三轮复习：仿真模拟卷7

数学仿真模拟卷（七）

（时间：120分钟满分：150分）

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的）

2

1.复数高（i为虚数单位）的共枕复数是（）

A.—1+iB.1—iC.1+iD.—1—i

2

C[因为亩=1—i,所以其共轨复数是1+i,故选C.]

2.已知集合P={xeN|l<A<10],Q={xGR*+x—6=0},则PDQ等于

（）

A.{1，2,3}B.{2,3}

C.{1，2}D.{2}

D[2={%GR|x2+x—6=0}={-3,2},.，.PnQ={2}.故选D.]

3.4张卡片上分别写有数字1,2,3,4,从这4张卡片中随机抽取2张，

则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（）

A.|B.3C.gD.4

C[取出的2张卡片上的数字、之和为奇数的抽取方法是一奇一偶，宣CiC=i东2

故选C.]

4.曲线y=x.lnx在点（1,0）处的切线的方程为（）

A.lx—1=0B.lx—y—1=0

C.x-y+l=0D.彳一厂1=0

D[Vy=x-lnx,x+x-~=lnx+1,带入x=1得切线的斜率女=1,

切线方程为），-0=lx（x—l）,整理得x—y—l=0.故选D.]

5.圆d+y—dnO与圆x2+y2—4x+4y—12=0的公共弦长为（）

A.y[2B.仍C.2啦D.3小

C[两圆的方程相减可得，两圆公共弦所在的直线方程为x-y+2=0,圆

X2+/-4=0的圆心到公共弦的距离为"」。哭2|二隹所以公共弦长为1=

2^22—(啦)=2&.故选C.］

JT7T

6.已知△ABC中，AB=2,B=~7,C=y,AO为BC边的中线，P为A。的

4o

中点，则成•证=()

A.0B.1C.3D.4

B［如图所示:

由正弦定理得境焉=总缶，'：AB=2,B=^,C=^,：.AC=-^-=2y/2,

sin6

：.APBC=^AC+AB)iAC-AB)=^AC2-AB2)=l.

故选B.]

7.已知奇函数/(x),且g(x)=4"(x^[0,+oo)上是增函数.若<7=^(—log25.1),

b=g(203),c=g(3),则。，4c的大小关系为()

A.a<b<cB.c<b<a

C.b<a<cD.b<c<a

C［因为/(x)是奇函数，从而g(x)=j/(x)是R上的偶函数，且在［0,+oo)

上是增函数，

08

a=g(—log25.1)=g(log25.1),2<2,又4<5.1<8,贝"2<log25.1<3,所以

8

0<20-<log25.1<3,g(20-8)<g(log25.1)<g(3),所以*a<c,故选C.]

8.点A,B,C,。在同一个球的球面上，AB=BC=AC=y[3,若四面体ABCD

体积的最大值为小，则这个球的表面积为()

289兀-°—169兀25兀

A.%B・8兀C.“D.-TT

16lolo

A［根据题意知，△ABC是一个等边三角形，其面积为斗，由正弦定理

2厂=北=2知，外接圆的半径为r=l.设小圆的圆心为Q,若四面体ABC。的体

sin3

积有最大值，由于底面积SAABC不变，高最大时体积最大，所以，OQ与面ABC

垂直时体积最大，最大值为gs“BcxOQ=小，设球心为0,半径为R,

17

则在直角△A。。中，Q42=AQ2+OQ2,g|J7?2=12+(4—H)2,・・.R=k，则这个

球的表面积为S=4兀(#)2=甯，故选A.]

二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，

有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3

分)

9.下表是某电器销售公司2019年度各类电器营业收入占比和净利润占比统

计表：

空调类冰箱类小家电类其它类

营业收入占比90.10%4.98%3.82%1.10%

净利润占比95.80%-0.48%3.82%0.86%

则下列判断中正确的是()

A.该公司2019年度冰箱类电器销售亏损

B.该公司2019年度小家电类电器营业收入和净利润相同

C.该公司2019年度净利润主要由空调类电器销售提供

D.剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2019年度空调类电器销售净利润

占比将会降低

ACD[根据表中数据知，该公司2019年度冰箱类电器销售净利润所占比为

—0.48,是亏损的，A正确；

小家电类电器营业收入所占比和净利润所占比是相同的，但收入与净利润不

一定相同，B错误；

该公司2019年度净利润空调类电器销售所占比为95.80%,是主要利润来源,

C正确；

所以剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2019年度空调类电器销售净利润

占比将会降低，D正确.故选ACD.]

10.下列叙述中不正确的是（）

A.%<1”是“方程/+无+。=0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件

B.若a,b,cGR,则“a/8户，的充要条件是%>c”

C.%>1"是的充分不必要条件

D.若a,h,cWR,则“加+fec+cXF的充要条件是“。2一4女柳”

ABD[A.令/（九）=尤2+犬+0,方程_?+》+4=0有一个正根和一个负根，

贝1」/（0）<0,则有。<0,是“方程/+x+a=0有一个正根和一个负根”的必

要不充分条件，错误.

B.当/?=0时，若"a>c”成立，而ab2=o=M2,充分性不成立，错误.

C.=...““>1”是1<1"的充分不必要条件，正确；

D.当a=0,b=0,cVO时，满足〃=4。区0,但此时加十力尤+介。不成立，

故a,b,cER,则“a?+法+它0”的充要条件是*2—40区0”错误.故选ABD.]

11.已知函数/（x）=asinx—小cosx的一条对称轴为*=普，函数/（x）在区

间（XI，也）上具有单调性，且/（月）=一/（2），则下述四个结论正确的是（）

A.实数a的值为1

B.（XI,4川））和（X2,7（X2））两点关于函数f（x）图象的一条对称轴对称

C.X2-X\的最大值为71

Orr

D.归+刈的最小值为可

ACD「.”=系是函数/（x）的一条对称轴，（x）=/（苧-x）,令尤=0,

得/（。）=/用，即一小=一冬一小xg,解得”=1,.•.将。=1代入可得/㈤

=sinx-geosx=2sin（x-§,

又•••函数/（X）在区间（如，X2）上具有单调性，，X2—XI的最大值为彳=兀，

且/（XI）=—/（X2），二（XI，./（XI））和（X2，X^2））两点关于（“妻,0）对称，

7171.2兀

Xl-^+X2-^尤1+X2-g~2

•二-----2-=2—攵兀(2£Z),Xi+x2=2kn+"^(^eZ),当攵=0时,

恒+刈的最小值为胃..•.A,C,D项正确，B项错误.综上可知，故选ACD.]

12.如图，等边三角形ABC的中线AF与中位线。E相交于G,已知△4EO

是△ADE绕。E旋转过程中的一个图形，下列命题中，正确的是()

A.动点4在平面ABC上的射影在线段AR上

B.恒有平面AGF_L平面BCEO

C.三棱锥4-EH)的体积有最大值

D.旋转过程中二面角A'-DE-C的平面角始终为NA，GF

ABCD[\'A'D=A'E,△ABC是正三角形，：.A'G±DE,GF±DE,DEI.

平面A'GF,

因为DEu平面BCED,所以平面平面BCEO,.'.A，在平面ABC上的

射影在线段AF上，故A正确；由A知，平面4GF,OEu平面3CEO,

...恒有平面4GHL平面BCED,故B正确；

三棱锥A\FE。的底面积是定值，体积由高即A到底面的距离决定，故当平

面4DE，平面8CED时,三棱锥4一正。的体积有最大值，故C正确;平面4。口1

平面CDE=0E,且4GLOE,GFLDE,则二面角A\DE-C的平面角为N4GF,

故D正确；故选ABCD.]

三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)

13.若双曲线/一*=1的焦点到渐近线的距离为2啦，则实数k的值为

K

8[由双曲线X2—亍=1得其中一个焦点为«k+1,0),其中一条渐近线方

程为所以焦点到直线的距离为^^^"=2/，所以％=81

14.若(ax—y)(x+2y)4的展开式中fy3的系数为8,则a—.

I［(分-y)(x+2y)4的展开式中含x2/的项为(a-Clx-(2y)3+(­y)-Cir(2y)2=

(32a—24)fy3,根据题意可得32a—24=8,解得a=L］

15.已知数列｛a”｝的通项公式a”=一层+io”—21,前几项和为S,若〃>瓶,

则S—S”的最大值是.

10［数列｛小｝的通项公式小=一/+10〃-21=一(〃一3)(〃一7),

当3<»<7时a„>0,当n<2或论8时a„<0,Sn最大值为S6或

S”最小值为S2或8,S〃一S”的最大值为S6—53=。4+纺+。6=3+4+3=10］

1—|x+l|,—2,0］

16.已知函数/(%)=，，则/(3)=

2f(x—2)，xW(0,+co)

若方程f(x)=x+a在区间［-2,4］有三个不等实根，实数a的取值范围为

.(本题第一空2分，第二空3分)

1一|x+l|,2,0］

4｛l｝U(-2,0)［由/(x)=/八工\’则/(3)=2f

3x-2),xe(0，+8)

(3—2)=2/(l)=2x2/(I-2)=4/(—l)=4x(l—0)=4；

作出函数/(x)在区间［-2,4］上的图象，如图所示，

设y=x+a,由图象可知要使方程/。)=无+。在区间［-2,4］有3个不等实

根，

则直线y=x+a应位于/1与/2之间或直线h的位置，所以实数a的取值范围

为一2<a<0或a=1.］

四、解答题(本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演

算步骤)

17.(本小题满分10分)已知△ABC内接于单位圆，且(l+tanA)(l+tanB)=

2.

(1)求角C；

(2)求△ABC面积的最大值.

［解］(l)V(l+tanA)(H-tan5)=2,

tanA+tanB=1—tanA-tanB,

/一ztanA+tanB/八、3兀

AtanC=-tan(A+B)=-1_tan^anB=-l,VCG(O,^).,-,C=T，

(2)4ABC的外接圆为单位圆，其半径H=l,由正弦定理可得c=2RsinC

=也，由余弦定理可得/=/+〃一2a"cosC,代入数据可得2=层+》2+也

ab>2ab+yl2ab=(2+yl2)ab,当且仅当a=Z?时"="成立，:.ab^；巾‘•'.△ABC

的面积S=%Ain%&乎=咛^

△ABC面积的最大值为与L

18.(本小题满分12分)已知等差数列｛z｝的前〃项和为S,｛a｝是各项均为

正数的等比数列，0=儿，,历=8,4一3加=4,是否存在正整数匕

使得数列焉的前后项和叫!?若存在，求出人的最小值；若不存在，说明理

由.

从①§4=20,②S3=203,③3a3—。4=82这三个条件中任选一个，补充到上

面问题中并作答.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

［解］设等差数列｛&“｝的公差为d,等比数列｛加｝的公比为夕(9>0),则从=*

q

力3=8q,于是?一3x8q=4,

q

19

即6才+夕一2=0,解得4=］,q=一§(舍去).

若选①：则。1=从=2,S4=4ai+2d=20,解得d=2,所以Sa=2〃+

x2=/+〃，*=疝而=；_市，于是/产而+而+…+瓦=(l_5)+(r~N

令1一士〉得，解得心15,因为左为正整数，所以k的最小值为16.

左十116

3x2

若选②：则。1=历=2,341+方力=231+24，解得ai=d=2.

下同①.

4

若选③：则。1=人4=2,3(ai+2(/)—(ai+3J)=8,解得.于是S,=2〃+

〃（〃一1）42,,4

-^―x-=-„2+-n

131311

&；=2X^+2)=4(»-^+2),

于是八二永1一$+《5)+…+(吉一^f)+(9出)]4I+；一^7

9311

--^T令

女++

8-J&2

注意到Z为正整数，解得后7,所以女的最小值为7.

19.(本小题满分12分)如图，四棱锥P—A8CO中，底面ABCD为菱形，PA±

底面ABC。，AC=2y［2,PA=2,E是PC上的一点，PE=2EC.

(1)证明：PC_L平面BED；

(2)设二面角A-PB-C为90。，求PD与平面PBC所成角的大小.

［解］(1)证明：以A为坐标原点，建立如图所示的空间直

角坐标系A一孙z,设。(啦，b,0),则C(2/，0,0),

x

p(o,0,2),《竽，0,1],B(y[2,~b,0),PC=(2yj2,0,一2),BE=

停,b,3,魂二惇,~b,目,‘PCBE=^-^=0,PCDE=0,：.PC±BE,

PCLDE,BECDE=E,

.,.PC_L平面BED.

(2)AP=(0,0,2),AB=(y[2,~b,0),设平面PAB的法向量为m=

mAP=2z=0

(x,y,z),贝ijj,

m-AB=y/2x—by=0

取m=(h,yj2,0),设平面PBC的法向量为n=(p，q，r),则

nPC=2y[2p-2r=0

■加4Jc'

nBE='^~p+bq+^r=Q

取〃=（1，一半，啦）’;平面布8,平面PBC,/.mn=b-l=0,故b

=啦，

/.n=（L—LA/2）,DP=^—\[2,—y[2,2）,

.,^7^、n,DP1

.♦cos\DP,n）=—:----7=7，

I«I|D>|2

「兀]1

设P。与平面PBC所成角为仇夕w[o,引，则sine=],二。：3。。，

：.PD与平面PBC所成角的大小为30°.

20.（本小题满分12分）某土特产超市对90位游客购买情况进行统计，得到

如下人数分布表.

购头金额

[0,15)[15,30)[30,45)[45,60)[60,75)[75,90]

（元）

人数101520152010

（1）根据以上数据完成2x2列联表，并判断是否有95%的把握认为购买金额

是否少于60元与性别有关.

不少于60元少于60元合计

男40

女18

合计

(2)为吸引游客，该超市推出一种优惠方案，购买金额不少于60元可抽奖3

次，每次中奖概率为p(每次抽奖互不影响，且〃的值等于人数分布表中购买金额

不少于60元的频率)，中奖1次减5元，中奖2次减10元，中奖3次减15元.若

游客甲计划购买80元的土特产，请列出实际付款数X(元)的分布列并求其数学期

望.

附：参考公式和数据：

〃(ad-bc)2

〃=a+b+c+d.

(a+/?)(c+t/)(«+c)(/?+J)

附表:

ko2.0722.7063.8416.6357.879

0.1500.1000.0500.0100.005

［解］(1)2x2列联表如下:

不少于60元少于60元合计

男124052

女182038

合计306090

90x(12x20—40x18)2=事

人―30x60x52x38—247〉"讨'

因此有95%的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.

(2)X可能取值为65,70,75,80,且〃=啮型=/.

32

P(X=65)=C'g)=2J,P(X=7O)=C3(g[x|=1,

23

P(X=75)=C4X；X6)=1,P(X=80)=C(|)=探

所以X的分布列为:

X65707580

1248

P(X)279927

I248

E(X)=65x近+70xg+75x§+80x近=75.

r2v2、八

21.体小题满分12分)已知椭圆C：3+*=1(。»>°)的离心率为竽，其右

顶点为4下顶点为8,定点。(0,2),△ABC的面积为3,过点。作与y轴不

重合的直线/交椭圆。于P,Q两点，直线BP,8。分别与x轴交于M,N两点.

(1)求椭圆C的方程；

(2)试探究M,N的横坐标的乘积是否为定值，说明理由.

［解］(1)由已知A,B的坐标分别是A(a，0),B(0,~h),由于△ABC的面

积为3,，g(2+b)a=3,又由e=坐得a=2A,解得/?=1或/?=-3(舍去)，

v2

=2,8=1,二椭圆方程为4+^=1.

(2)设直线PQ的方程为>=日+2,P,Q的坐标分别为尸(xi，V),2(x2,”),

则直线8P的方程为y="4—l,令y=0,得点M的横坐标XM=一上，

直线3。的方程为y=*x—1,令y=0,得点N的横坐标刈=由，

.________—2________________X1X2____________________X1X2__________

..XMXN(yi+Ds+l)(依|+3)(依2+3)lcX\X2+3k.(x\+%2)+9*

把直线>=自+2代入椭圆3+尸=1得(l+4d)f+16"+12=0,由根与系

12

加王至殂12,16k•1+4后

数天余待X1X2-]+43，XI十X2——]+43'•・XMXN—]24248女？一

1+4R—1+4女2+9

123-483+9+363=§'是正值

22.(本小题满分12分)已知函数/(x)=lnx+tu2—(2a+i)x+m+l).

(1)若a=T