2021届高考数学三轮复习模拟考试卷（九）【含答案】

2021届高考数学三轮复习模拟考试卷（九）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1.（5分）已知集合A={x|f一3工一4,,0},B={y|y=2*},RiJAQB=()

A.[-1,4]B.(0,4]C.(0,1]D.[4,+00)

（分）若复数=匕义《为虚数单位）,

2.52则彳在复平面对应的点所在象限为（）

1-1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.（5分）（&-的展开式中常数项为（)

X

A.-84B.-672C.84D.672

4.（5分）有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为3

个，现在有一个这样的细菌和110个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要（）

A.4秒钟B.5秒钟C.6秒钟D.7秒钟

5.（5分）已知x,y>0,且2x+3y--=0,贝！］3x+2y的最小值是（）

A.275B.5A/2C.20D.25

6.(5分)设々=$皿2,则()

A.a2<2a<log!aB.log!a<T<a2

22

C.a2<log(a<2aD.10g)a<a2<2a

7.（5分）已知抛物线的焦点为尸，过尸的直线/与圆/+》2=5交于加，N两点,

则而'.可7的值是（）

A.-4B.-5C.4D.不确定的

8.（5分）函数g（x）的图象关于y轴对称，X£（YO,0）时，g<x）vO,g（2）=0.又

g（x）=f（x+1）,则（x+1）/（%）>0的解集为（）

A.（3,-w）B.{x\x^R,xwl}C.（l,+oo）D,或

x>3}

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中。有多项

符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的对2分，有选错的得0分。

9.（5分）已知命题p:Vx>0,lnx>0,则（

A.-p是真命题B.—<p:Vx>0,Inx,,0

C.0是真命题D.-yp:>0,Inx,,0

10.（5分）某研究机构为了实时掌握当地新增高速运行情况，在某服务区从小型汽车中抽

取了80名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速供机/〃）分成六段：[60,

65）[65,70）,[70,75）,[75,80）,[80,85）,[85,90],得到如图所示的频率分布直

方图.下列结论正确的是（）

频率

八组距

0.060-

0.050

0.040

0.020

0.010

“6065707580859（）车速出〃外）

A.这80辆小型车辆车速的众数的估计值为77.5

B.在该服务区任意抽取一辆车，估计车速超过75加7//?的概率为0.65

C.若从样本中车速在[60,70）的车辆中任意抽取2辆，则至少有一辆车的车速在[65,

70）的概率为W

D.若从样本中车速在[60,70）的车辆中任意抽取2辆，则车速都在165,70）内的概率

为2

3

11.（5分）已知函数，（尤）=2sin（0x+0）3>O,|夕|<9的一条对称轴方程为了=5，相邻

的一个对称中心为q,0）,则下列说法正确的是（）

AC九

A.3=2,°=一

函数/（©在号卷]上单调递减

将函数/（九）的图像向右平移三个单位长度，可得到一个奇函数的图像

D.若方程/*）=加/£[-^,0]有两个不相等的实根，则实数，〃的取值范围是（-2,-V3]

12.（5分）如图，在棱长为1的正方体A3CO-ABCR中，P,M分别为棱CO,CQ的

中点，。为面对角线A由上任一点，则下列说法正确的是（）

A.平面APA/内存在直线与A。1平行

o

B.平面APM截正方体A8C£）-A3C。所得截面面积为二

8

C.直线AP和。。所成角可能为60。

D.直线AP和。Q所成角可能为30。

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.（5分）已知向量已=（1,2）,方=（2,㈤,若,//（6+25）,则机=___.

14.（5分）若sin（x-二）=」，K>|sin（2x+—）=.

636

15.（5分）已知直三棱柱ABC-AgG的6个顶点都在球。的球面上，若AB=2石，

AC=2后，AB1AC,朋=8,则球的表面积为.

22

16.（5分）已知双曲线£=1的两焦点分别为耳，F2,过右焦点名的直线与双曲线

E交于A,B两点，若而=2库且AAB耳为等腰三角形，则双曲线E的离心率为.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（10分）在①q=2出，②"-々=4，③£=6这三个条件中任选一个，补充在下面问

题中，若问题中正整数％存在，求&的值；若问题中的正整数Z不存在，说明理由.

问题：已知等差数列｛”"｝的前〃项和为S,,各项为正的等比数列｛2｝的前〃项和为（，

工=2d=2,5,=7；,且,是否存在正整数％使7；轰必^7；成立？

18.(12分)如图，在梯形A8CD中，AB//CD,AB=2,8=5,ZABC=一

3

(1)若AC=25，求梯形A8a＞的面积;

(2)若AC_LM,求tan/ABD.

19.（12分）如图，在四棱锥中，侧面S8为钝角三角形且垂直于底面A8CD,

底面为直角梯形且ZABC=90。，AB^AD=-BC,8=SZ）,点M是SA的中点.

2

（1）求证：3£>J_平面SCO;

（2）若直线SD与底面ABCD所成的角为60。，求S£）与平面MB。所成角的正弦值.

20.（12分）魔方，又叫鲁比克方块，最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺・鲁比克教

授于1974年发明的.魔方与华容道、独立钻石棋一起被国外智力专家并称为智力游戏界的

三大不可思议，而魔方受欢迎的程度更是智力游戏界的奇迹.通常意义下的魔方，即指三阶

魔方，为3x3x3的正方体结构，由26个色块组成.常规竞速玩法是将魔方打乱，然后在最

短的时间内复原.截至2020年，三阶魔方还原官方世界纪录是由中国的杜宇生在2018年

11月24日于芜湖赛打破的纪录，单次3.475秒.

（1）某魔方爱好者进行一段时间的魔方还原训练，每天魔方还原的平均速度y（秒）与训

练天数x（天）有关，经统计得到如下数据：

X（天）1234567

y（秒）99994532302421

现用），=“+。作为回归方程类型，请利用表中数据，求出该回归方程，并预测该魔方爱好

X

者经过长期训练后最终每天魔方还原的平均速度)，约为多少秒(精确到1)?参考数据(其中

7

为马必z72

£z-7xz

1=1

i=li

18450.370.55

(2)现有一个复原好的三阶魔方，白面朝上，只可以扭动最外侧的六个表面.某人按规定

将魔方随机扭动两次，每次均顺时针转动90。，记顶面白色色块的个数为X,求X的分布

列及数学期望E(X).

22

21.(12分)已知A(-2,0),8(1,0),椭圆C:=+4=l(a>6>0)经过点A且焦距为4.

a

(1)求椭圆C的方程；

(2)过桶圆C的右焦点的直线L与椭圆C交于N两点，求|两+丽|的最小值；

22.(12分)已知函数/(x)="+e-',其中e是自然对数的底数.

(1)设存在+8),使得/(/)<。(-石+3x0)成立，求正实数。的取值集合A；

(2)若aeA,比较与优的大小，并证明你的结论.

答案

1.解：集合A={X|V-3X-4,,0}=[-1,4],B={y|y=2'}=(0,+oo),

贝|」40|8=(0,4],

故选：B.

、例1+2/(1+20(1+0-1+3/13.

2.解：•/z=----=-----------------=---------=-----\--i,

\-i(1-/)(1+0222

则2=-;-手在复平面内对应的点(一，管所在象限为第三象限.

故选：C.

0O9-3r

3.解：(五一⑶的展开式的通项为乙=C；(五产(一)，=(-2)P；x亍,

XX

令9—3r=O,得r=3,所以常数项为(-2)?C；=-672.

故选：B.

4.解：1+3+3F3+…+3"-'..110,

]—3〃

...-------..110,.•.3〃..221,解得几.5.

1-3

即至少需5秒细菌将病毒全部杀死.

故选：B.

5.解：x,y>0时，且2x+3y-A}，=0,所以2x+3y=Ay,

32

即±+*=1,

所以3x+2y=(3x+2y)(2+2)=9+4+”+^..13+6x2j).V=25,

xyxyYxy

当且仅当x=y=5时取等号，

所以3x+2y的最小值是25.

故选：D.

6.解：V67=sin2,—<2<—<a<\,

2492

5ii

log।a<log।——=—,且一</<1,2">1,

22222

logIQ<<2",

故选：D.

7.解：抛物线V=_4x的焦点厂的坐标为(_i,o),

设直线/方程为x=4y-l,M(X],y),N(X2,y2),

所以x,=物-1,x2=ky2-\,

卜+)5n(/+])y2_2外_4=0n%+y,=_^_,yy,=

[x=©-l'-k2+\-6公+i

MF=(x,+1,%),NF=(x2+1,%)，

2

MF-=(%+l)(x2+1)+y%=⑥।⑪2+X%=*+l)-^j=-4.

故选：A.

8.解：因为函数g(x)的图象关于y轴对称，

所以g(x)为偶函数，则g(-2)=g(2)=0,

当X€(-8,0]时，g'(x)<0,故g(x)为单调减函数，

所以当X€(0,+oo)时，g'(x)>0,故g(x)为单调增函数，

故当x<-2或x>2时，g(x)>0,

当-2<x<2时，g(x)<0,

因为g(x)=/(x+D，则/(x)=g(x-l)，

故不等式(x+1)/(x)>0即为(x+l)g(x-1)>0,

在I“天卜+1>°jx+l<0

x-l(-2或x-l)2[-2<x-1<2

解得x>3或xe0,

所以(x+l)/(x)>0的解集为(3,+oo).

故选：A.

9.解：全称量词命题的否定是存在量词命题，

命题p:Wx>0,lnx>0,是全称命题，它的否定是：3x>0,I咚0,所以8错误，。正

确；

当x>l时，/nr>0；当0<x<l时，lnx<0.所以A正确；C错误；

故选：AD.

10.解：对于A：由图可知，众数的估计值为最高矩形的中点对应的值至图=77.5,故A

2

正确，

对于B：车速超过75A〃//2的(0.06+0.05+002)x5=0.65,故8正确，

对于C：从样本中车速在［60,70)的车辆有(0.01+0.02)x5x80=12辆，

车速在［60,65)的车辆有0.01x5x80=4辆，车速在［65,70)的车辆有8辆,

中任意抽取2辆，车速都在［60,65)的概率为§=

11

则至少有一辆车的车速在［65,70)的概率为1_\=号，故C正确,

对于。：车速都在［65,70)内的概率为*=郎，故。错误.

故选：ABC.

11.解：函数/(x)=2sin(s+°)3>0,|>|<卞的一条对称轴方程为x=相邻的一个

对称中心为(方，0),

则周期7=4x(工—2)=%=生，解得0=2,

312①

又sin(2x—+^?)=±1,\(p\<—,

解得夕=色，可得A不正确.

TT

/(%)=2sin(2x+―).

由可得：(2x+至e年，苧，可得函数〃x)在弓,自上单调递减，因此5正

确.

将函数/(x)的图像向右平移三个单位长度，可得到y=f(x-C)=2sin2x,为一个奇函数，

66

因此C正确.

由0］,可得2x+q)£|-夸，y］,可得y=sin(2x+$在］£［一］,一卷］上单调

递减，在(-卷，0］上单调递增.

若方程/(x)=〃?/€［-宗0］有两个不相等的实根，则实数-2<以，-73,因此机的取值范围

是(-2,—y/3］■因此。正确.

故选：BCD.

12.解：A选项：直线AA//平面A8C£),平面A88C平面APM=直线AP,

直线AP与直线AR不平行，于是A错；

8选项：平面A/W截正方体为平面4PM隹，该四边形为等腰梯形，

5=1(也+应)x述=2,于是3正确；

2248

C,。选项：当点。在A时两直线的夹角最小，当。在8处时两直线的夹角最大,

cosOe［吟,半］,所以可得cos6(Te［嚓,乎］,于是C正确，

cos3(re［噜,乎］,故。错误.

故选：BC

13.解：@+26=(1,2)+2(2,^)=(5,2+2/n),

,ra/l(ci+2b),

.,.2+2m—2x5=0»解得〃？=4.

故答案为：4.

14.解：^rsin(x--)=--,

63

则sin(2x+?)=sin［2(x-^)+^］=cos［2(x-y］=l-2sin2(x-^)=^.

故答案为：

9

15.解：由题意画出几何体的图形如图,

题意得知直三棱柱的6个顶点都在球O的球面上，则三棱柱为球O的内接直

三棱柱(如图所示)；由勾股定理可知

BC=J(2(>+(2病2=$,

可得球O的半径R=08=1依+82=5,

2

由公式S=4mR2有球的表面积S=4^x52=100万.

故答案为：100〃.

16.解：当A8=A6时，设|月8|=6，\AF2|=2W,则|耳3|=2〃+6，|A4|=2a+2机，

•.1A3RAK.\3m=2a+2m,即勿二小，得|耳闻=26，|RA|=3相，

tn2+4c2-4m24m2+4c2-9m2八

由cosN耳£8+cosNf；凡A=0,得--------------------+----------------------=0，

4ctnScm

22

cc11,曰c底

「.-7=­7=—,fee=-=——；

ni24/4a212a3

当A3=B6时，设|64|=m，\AF21=2/H,贝力43|=2々+机，\AF1|=2a+2mf

AB\=\BF,\,:.3m=2a+m,得。=机，则|43|=36，|4A|=4m,

a2+4c之-9a24a2+4c2-16a2八

由coscosZFFB+cosZFFA=0,得------------------+----------------------=0,

l2l24ac4ac

D得，£_叵

a3

故答案为：亭或筌

17.解：选①％=2%,

•.•｛“,｝是等差数列，其前〃项和为S“，设其公差为d.

r.a,=E=1,则an=al+(n—l)d=1+(〃-l)d，

・j4=24，1+3<7=2(1+d)i得d=l,

a„=n,S„=1M(M+1)；

・••等比数列｛々｝的前〃项和为T„,设其公比为g,

,/7]=25,=2,S3=T2,:.b｛=Tt=2,T2=bt+h2=S3=6,得4=4,

:.q=J=2,则"=60i=2",T„=h'^~qn)=T+'-2,

4i-q

4融S/7；=26-2歌/+1)2,-2=62歌(A+1)126,

可得Z=8,9,10,

存在正整数％使4张必反Th,4=8,9,10；

选②&心=4,

•.•各项为正的等比数列｛"｝的前〃项和为7；,设其公比为<7,bn>0,q>0.

•.•工=2sl=2,bt=2,则2=如"一=2(7"，

•.•&-4=4,：.2q2-2q=4,解得q=2或<?=-1(舍去负的)

,'+|

b„=2",Tn="Q"q")=2-2；

i-q

•.•｛《,｝是等差数列，前〃项和为S“，设其公差为

4=S1=1,an=a,+(n—l)d=1+(〃-l)d,

,jS3=*,r.S3=4+a,+4=3+3d=4+4=6,得d=1,

SL/S+D，

则7；麴2sA(o62领Jl(Z+l)126,kwN*=k=8,9,10,

存在整数上使4强必S*7；,k=8,9,10；

选③7；=6,

•.•各项为正的等比数列屹“｝的前一项和为7；,,设其公比为4,b„>0,q>0.

•.-71=25,=2,:.b,=2,则2=2/1,

2

T3=2+2q+2q=6,:.q=\^q=-2(舍去负的)，

2=2,Tn=nb、=2n；

•.•｛4｝是等差数列，前葭项和为S“，设其公差为

4=S]=1,/.an=4+(n-l)d=\+(n-\)d,

S3=T2t/.4+勺+%=3+3d=4+4=4,得d=；,

a”=—(77+2),S=-n(n+5)，

36n

T^Sk7；ol喷ig左伏+5)12=3喷*/+5)36,

•.•//)=-A+5),AwN*是单调递增的，且/(3)=24,f(4)=36,;"=4.

存在唯一的正整数％=4使7；强必^Tb.

18.解：(1)设BC=x,在AABC中，由余弦定理可得28=1+4-2x-2・(-g),整理可得:

X2+2X-24=0,解得X=4,

所以BC=4,贝IJSMHC='X2X4X巫=26，

zviov22

因为8=码，所以凡8=双竺=58，

所以S梯形ASCO=S&I8C+^AACD=7/；

(2)设ZA8D=c,则N8OC=c,ABAC=--a,ZDBC=--a.ZBCA=a--,

236

2BC

在A/WC中，由正弦定理可得--一

sin(a-£)sin(y-a)

在ABC。中，由正弦定理可得一。——=匹

sin(\-a)即々

c•*61.、

2sin(-^-a)2-(—cosa+-sina)

两式相除可得——；，展开可得一j=----------z--------sina

cosa

5sin(a-—)sin(--a)5•(―sina--cosa)

62v22

所以可得5\/5sin2a-7sinacosa-275cos*a=0,

即5Gtan2a-7tana-26=0,

ATjzg2\/3_1Xy/3

解得tana=------或tana=-------,

35

又因为aw(乙，-),

62

所以tana=哀3,即tanZABD=冬8.

33

19.(1)证明：取3c的中点石，连接0E,

设AB=a,则AD=a,BC=2a,BE=-BC=a,

2

vZABC=90°,ADI/BE,AD=BE,

.,・四边形AB瓦)是正方形，

:.BD=41a,DE1,BC,DE=CE=a,

CD=\[2a,

:.BD2+CD2=BC2,故BDLCD,

.•平面SCD_L平面ABCD,平面SCDC平面ABCD=CD,BDu平面ABCD,BD工CD,

.•.801.平面SCO.

(2)解：过S作SN_LCD,交CD延长线于N,

・・•平面SCD_L平面ABC。，平面SCDC平面ABCD=CD,SNu平面SCD,SN工CD,

.•・5^^3_平面筋8,

「.NSOV为直线S£＞与底面ABC。所成的角，故NSDV=60。，

・：SD=CD=。，皿=%，SN=%,

以。为原点，以DB,DC,及平面ABC£＞的过点。的垂线为坐标轴建立空间直角坐标系

D-xyz,如图所示,

A/2

则B(亚a,0,0),D(0,0,0),A(—a,--a,0),5(0,----Cl，

222

是SA的中点，(也a,--a,

42

/.DS=(0)--——ci,,DB=(42a,0,0),DM=(—a,-—a,

242

n-DB=0

设平面加8。的法向量为万=(x,y,z),则.,即04+£z=0

n-DM=0——ax-

424

令z=2可得元=(0,G，2),

.•.cos<«,丽>=上三富鼠=@,

\ii\\DS\V7xV2a14

SD与平面MBD所成角的正弦值为|cos＜万，DS＞\=^-.

xy

hjj(«\由日而上4如—99+99+45+32+30+24+21

20.解：(1)由题悬灯知：y=--------------------------=50,

7

7

£z,y,-7万

184.5-7x0.37x50_

济号--------------------------------------=1iVnVn,

0.55

,=!

八_11ifI

所以3=尸一历=50—100x0.37=13,因此y关于元的回归方程为：y=13+—,

x

所以最终每天魔方还原的平均速度y约为13秒;

(2)由题意可知：X的可能取值为3,4,6,9,

尸—3)=念＜”嗡1

A；A；J

P(X=6)=A|(l+AJ+A2A1_*,p(x=9)=

6x66^6-9

所以X的分布列为:

X3469

p25

9999

数学期望为E(X)=3x4+4x2+6x3+9xl=竺.

99999

21.解：(1)根据题意，椭圆C:4+]=l(a>b>0),其焦点在x轴上,

a~h

焦距为4,则c=2,则焦点的坐标为耳(-2,0),5(2,0),

椭圆C经过点A,则2〃=|耳川+1工川=7^+46+2=4上,则有。=20,

222

则b=a—c=2f

故椭圆的方程为旦+《=1;