2021年九年级中考数学专题复习学案-一次函数线段最值问题

/一次函数线段最值问题知识点精讲在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差）的最大值或最小值问题，称为最值问题。出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、坐标轴等。解题总思路找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。解决平面几何最值问题的常用的方法有：1．线段公理——两点之间，线段最短．“垂线段最短”求最值。线段之和的问题往往是将各条线段串联起来，再连接首尾端点，根据两点之间线段最短以及点到线的距离垂线段最短的基本依据解决。2．对称的性质——①关于一条直线对称的两个图形全等②对称轴是两个对称图形对应点连线的垂直平分线j3．三角形两边之和大于第三边（求最小值）4．三角形两边之差小于第三边（求最大值）5、“点关于线对称”、“线段的平移”。6．轴对称原型“饮马问题”，“造桥选址问题”。考的较多的还是“饮马问题”7．应用其它知识求最值（一）、已知两个定点：1、在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；（1）点A、B在直线m两侧：（2）点A、B在直线同侧A、A′是关于直线m的对称点。2、在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。（1）两个点都在直线外侧：（2）-个点在内侧，一个点在外侧（3）两个点都在内侧（4）、台球两次碰壁模型变式一：已知点A、B位于直线m．n的内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使得围成的四边形ADEB周长最短变式二：已知点A位于直线m、n的内侧，在直线m、n点P、Q点PA+PQ+QA周长最短．（二）、一个动点，一个定点：（一）动点在直线上运动：点B在直线n上运动，在直线m上找一点P，使PA+PB最小（在图中画出点P和点B）l、两点在直线两侧：2、两点在直线同侧（三）、已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧，且PQ间长度恒定，在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。（原理用平移知识解）（1）点A、B在直线m两侧：过A点作AC∥m，且AC长等于PQ长连接BC．交直线m于Q，Q向左移动PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。（2）点A、B在直线m同侧：（四）求两线段差的最大值问题（运用三角形两边之差小于第三边）1、在一条直线m上，求一点P，使PA与PB的差最大j（1）点A、B在直线m同侧：（2）点A、B在直线m异侧：过B作关于直线m的对称点B′’旌接AB′交点直线m于P，此时PB=PB′．PA-PB最大值为AB在直线，上求点P使得最大将点B对称B'，作直线AB'与l的交点即为P.=AB′三角形任意两边之差小于第三边【典型例题】【例1】已知直线y=x+b经过点，A（4.3）．与y轴交于点B（1）求B点坐标；（2）若点C是x轴上一动点，当AC+BC的值最小时，求C点坐标．（海淀期末）【解析】（1）将点A（4，3）代入解析式中，解得b=1∴B（0，1）（2）点B关于x轴的对称点B′的坐标为（0，-1），设直线AB′的解析式为y=kx+b，依题意得，解得∴直线AB'的解析式为y=x-1，与x轴的交点即为C点，坐标为（1，0）.【例2】已知点，A（1.2）和B（3，5），试分别求出满足下列条件的点的坐标：（1）在x轴上找一点C，使得AC+BC的值最小；（2）在y轴上找一点C，使得AC+BC的值最小；（3）在直线y=x上找一点C，使得AC+BC的值最小；（4）在x轴、y=x上各找一点M、N，使得AM+MN+NB的值最小【解析】（1）作A关于x轴的对称点A′，易知坐标（1，一2）∵B（3，5）∴解得即，∴C（，0）（2）作B关于x轴的对称点B′，易知坐标（-3.5）∵A（1，2）∴解得即，∴C（0，）（3）作A关于y=x的对称点A′，易知坐标（2，1）∵B（3，5）∴解得即，∴C（，）（4）作A关于y轴的对称点A′，易知坐标（一1.2）作B关于y=x的对称点B′．易知坐标（5，3）∴解得即，∴C（，）∴M（0，）N（，）【例3】如图，∠AOB的边OB与x轴正半轴重合，点P是OA上的一动点，点N（6，0）是OB上的一定点，点M是ON的中点，∠AOB=30。，要使PM+PN最小，则点P的坐标为____．【答案】（3，）【解析】【分析】作N关于OA的对称点N′，连接N'M交OA于P，则此时，PM+PN最小，由作图得到ON=ON'，∠N'ON=2∠AON=60°，求得△NON是等边三角形，根据等边三角形的性质得到N'M⊥ON，解直角三角形即可得到结论．【详解】作N关于OA的对称点N′，连接N'M交OA于P，则此时，PM+PN最小∵OA垂直平分NN′，∴ON=ON′，∠N'ON=2∠AON-600，∴△MON是等边三角形，∵点M是ON的中点，∴N′M⊥ON，∵点N（6，0），∴ON=6，∵点M是ON的中点，∴OM=3，∴PM=，∴P（3，）．故答案为：（3，）本题考查了轴对称一最短路线问题，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，关键是确定P的位置．【例4】在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（2，0），（3，），（1，），点D、E的坐标分别为（m．m），（n，n）（m、n为非负数），则CE+DE+DB的最小值是.【答案】4【解析】试题分析：连接AC，作B关于直线Oc的对称点E′，连接AE′，交OC于D，交OB于E，此时CE+DE+BD的值最小，点D、E的坐标分别为（m,m），（n，n）（m、n为非负数）点D在直线OC上，点E在直线OB上点A、B、C的坐标分别为（2，0），（3，），（1，），∴四边形OCBA是菱形∴AC⊥OB，AO=OC即A和C关于OB对称，∴CE=AE，∴DE+CE=DE+AE=AD∵B和E′关于OC对称，∴DE′=DB．∴CE+DE+DB=AD+DE′=AE过C作CN上OA于N，∵C（1，），∴ON=1，CN=，由勾股定理得：OC=2即AB=BC=OA=OC=2．∴∠CON=60°，∴∠CBA=∠COA=60°，∵四边形COAB是菱形，∴BC//OA，∴∠DCB=∠COA=60°．∵B和E′关于OC对称，∴∠BFC=90°．∴∠E'BC=90°-60°=30°，∴∠E′BA=60°+30°=90°．CF=BC=1，由勾股定理得：BF=E′F，在Rt△EBA中，由勾股定理得：AE′=4，即CE+DE+DB的最小值是4．故答案是：4【例5】，如图，已知A（3，1），B（1，0），PQ是直线y=x上的一条动线段且PQ=（Q在P的下方）当AP+PQ+QB取最小值时，点Q坐标为____．【分析】作点B关于直线y＝x的对称点B'（0，1），过点A作直线MN，并沿MN向下平移2单位后得A'（2，0），连接A'B'交直线y＝x于点Q，求出直线A'B'解析式，与y＝x组成方程组，可求Q点坐标．【详解】解：作点B关于直线y＝x的对称点B'（0，1），过点A作直线MN，并沿MN向下平移2单位后得A'（2，0）连接A'B'交直线y＝x于点Q如图理由如下：∵AA'＝PQ=2，AA'∥PQ∴四边形APQA'是平行四边形．∴AP＝A'Q．∵AP+PQ+QB＝B'Q+A'Q+PQ且PQ=2∴当A'Q+B'Q值最小时，AP+PQ+QB值最小．根据两点之间线段最短，即A'，Q，B'三点共线时A'Q+B'Q值最小．∵B'（0，1），A'（2，0），∴直线A'B'的解析式∴．即，∴Q点坐标（，）．故答案是：（，）．本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，最短路径问题，找到当AP+PQ+QB最小时，Q点坐标是本题关键．6.阅读下列一段文字,然后回答下列问题.已知在平面内两点(,)､(,),其两点间的距离,同时,当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时,两点间距离公式可简化为或.(1)已知A(2,4)､B(﹣3,﹣8),试求A､B两点间的距离；(2)已知A､B在平行于y轴的直线上,点A的纵坐标为4,点B的纵坐标为﹣1,试求A､B两点间的距离;(3)已知一个三角形各顶点坐标为D(1,6)､E(﹣2,2)､F(4,2),你能判定此三角形的形状吗?说明理由;(4)在(3)的条件下,平面直角坐标中,在x轴上找一点P,使PD+PF的长度最短,求出点P的坐标以及PD+PF的最短长度.解:(1)∵A(2,4)､B(﹣3,﹣8),∴；(2)∵A､B在平行于y轴的直线上,点A的纵坐标为4,点B的纵坐标为﹣1,∴AB=5；(3)△DEF为等腰三角形,理由:∵D(1,6)､E(﹣2,2)､F(4,2),∴DE=5,DF=5,EF=6,即DE=DF,∴△DEF为等腰三角形.(4)做出F关于x轴的对称点,连接,与x轴交于点P,此时DP+PF最短,设直线解析式为y=kx+b,将D(1,6),(4,﹣2)代入得:,解得:,∴直线解析式为,令y=0,得:,即P(,0),∵PF=P,∴PD+PF=DP+P=D=,则PD+PF的长度最短时点P的坐标为(,0),此时PD+PF的最短长度为.此题属于一次函数综合题,待定系数法求一次函数解析式,以及一次函数与x轴的交点,弄清题中材料中的距离公式是解本题的关键.相似题1.平面直角坐标系xOy中,已知A(-1,0),B(3,0),C(0,-1)三点,D(1,m)是一点,当△ACD的周长最小时,则△ABD的面积为()A.B.C.D.解:由题可得,点C关于直线x=1的对称点E的坐标为(2,﹣1),设直线AE的解析式为y=kx+b,则,解得,∴,将D(1,m)代入,得m=,即点D的坐标为(1,),∴当△ACD的周长最小时,△ABD的面积=×AB×=.故选:C.本题属于最短路线问题,主要考查了轴对称性质的运用以及待定系数法的运用,解决问题的关键是运用两点之间线段最短这一基本事实.2.如图,在平面直角坐标系中,Rt△OAB的直角顶点A在x轴的正半轴上,顶点B的坐标为(3,),点C的坐标为(1,0),且∠B=60°,点P为斜边OB上的一个动点,则PA+PC的最小值为__________.解:如图作点A关于直线OB的对称点,连接,,交OB于,连接,此时的值最小,最小值为线段的长.在Rt△OAB中,∵OA=3,AB=,∴tan∠BOA=,∴∠BOA=30°,∵=60°,,∴△是等边三角形,∴(,),∵C(3,0),∴=,∴PA+PC的最小值为,本题考查轴对称﹣最短问题、坐标与图形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考填空题中的压轴题．3.在平面直角坐标系中,点P(2,0),Q(2,4),在y轴有一点M,若PM+QM最小,则M的坐标为_________.解:如图:作出点P关于y轴的对称点N,连接NQ交y轴于点M..由轴对称的性质可知:MP=MN,∴,∴当M､Q､N在一条直线上时,有最小值.设直线QN所在直线的解析式为y=kx+b,将点Q(2,4)､N(﹣2,0)代入得:,解得:k=1,b=2.∴直线QN的解析式为.将x=0代入得y=2,∴点M的坐标为(0,2)本题主要考查的是轴对称﹣路径最短问题、待定系数法求函数的解析式、一次函数与y轴的交点，明确M、Q、N在一条直线上时，MP+MQ有最小值是解题的关键4.如图,点A的坐标为(﹣3,0),点B在直线上运动,连接AB,则线段AB的长的最小值为_________.解:当AB⊥直线y=﹣x时,线段AB最短.此时△OAB为等腰直角三角形,∵OA=3,∴AB=.本题考查一次函数问题，关键是根据：垂线段最短以及等腰三角形的底边上的高与中线互相重合．5.如图,矩形OABC中,D为对角线AC,OB的交点,直线AC的解析式为,点P是y轴上一动点,当△PBD的周长最小时,线段OP的长为______________.解:作点D关于y轴的对称点,连接交y轴于点P,则点P即为所求.∵直线AC的解析式为,∴点A(﹣2,0),点C(0,4),∴点B(﹣2,4),∴由中点公式,点D的坐标为(﹣1,2),∴点的坐标为(1,2),设过点B和点的直线解析式为,则,解得,,∴直线B解析式为,当x=0时,y=,即点P的坐标为(0,),∴OP=.本题考查一次函数的性质、矩形的性质、最短路线问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答6.阅读理解:如图①,图形l外一点P与图形l上各点连接的所有线段中,若线段PA最短,则线段PA的长度称为点P到图形l的距离.图①图②图③备图例如:图②中,线段的长度是点到线段AB的距离;线段的长度是点到线段AB的距离.解决问题:如图③,平面直角坐标系xOy中,点A､B的坐标分别为(8,4),(12,7),点P从原点O出发,以每秒1个单位长度的速度向x轴正方向运动了t秒.(1)当t=4时,求点P到线段AB的距离;(2)t为何值时,点P到线段AB的距离为5?(3)t满足什么条件时,点P到线段AB的距离不超过6?(直接写出此小题的结果)解:(1)如图1,作AC⊥x轴于点C,则AC=4､OC=8,当t=4时,OP=4,∴PC=4,∴点P到线段AB的距离PA=;图1(2)如图2,过点B作BD∥x轴,交y轴于点D,①当点P位于AC左侧时,∵AC=4､A=5,∴,∴=5,即t=5;②当点P位于AC右侧时,过点A作⊥AB,交x轴于点,过点B作BE⊥CA延长线于A.∵BE=AC=4,∠ABE=∠AC,∴Rt△AC≌Rt△BEA,∴C=AE=3,∴O=11,即t=11;(3)如图3,①当点P位于AC左侧,且=6时,则,∴;②当点P位于AC右侧,且时(此时⊥AB),过点作⊥于点N,则四边形ANM是矩形,∴∠AN=90°,∠AC=∠=90°,A=MN=5,∴△AC∽△,且=1,∴,即,∴,∴.∴当时,点P到线段AB的距离不超过6.本题主要考查一次函数的综合问题，理解题意掌握点到线段的距离概念及分类讨论思想的运用、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键．7.探究:小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现,对于平面直角坐标系内任意两点(,)､(,),可通过构造直角三角形利用图1得到结论:他还利用图2证明了线段的中点P(x,y)的坐标公式:,.图1图2(1)请你帮小明写出中点坐标公式的证明过程;运用:(2)①已知点M(2,﹣1),N(﹣3,5),则线段MN长度为__________________;②直接写出以点A(2,2),B(﹣2,0),C(3,﹣1),D为顶点的平行四边形顶点D的坐标:___________;拓展:(3)如图3,点P(2,n)在函数的图象OL与x轴正半轴夹角的平分线上,请在OL､x轴上分别找出点E､F,使△PEF的周长最小,简要叙述作图方法,并求出周长的最小值.图3解:(1)∵(,)､(,),P(x,y)∴,即,∴∵PQ为梯形的中位线,∴,即即线段的中点P的坐标公式为,;(2)①∵M(2,﹣1),N(﹣3,5),∴.②∵A(2,2),B(﹣2,0),C(3,﹣1),∴当AB为平行四边形的对角线时,其对称中心坐标为(0,1),设D(x,y),则,解得,∴此时D点坐标为(﹣3,3),当AC为对角线时,同理可求得D点坐标为(7,1),当BC为对角线时,同理可求得D点坐标为(﹣1,﹣3),综上可知D点坐标为(﹣3,3)或(7,1)或(﹣1,﹣3),(3)如图,设P关于直线OL的对称点为M,关于x轴的对称点为N,连接PM交直线OL于点P,连接PN交x轴于点S,连接MN交直线OL于点E,交x轴于点F,又对称性可知EP=EM,FP=FN,∴PE+PF+EF=ME+EF+NF=MN,∴此时△PEF的周长即为MN的长,为最小值,设R(x,),由题意可知OR=OS=2,PR=PS=n,∴,解得x=(舍去)或x=,∴R(,),∴,解得n=1,∴P(2,1),∴N(2,﹣1),设M(x,y),则,,解得,,∴M(,),∴即△PEF的周长的最小值为.本题为一次函数的综合应用，涉及中位线定理、中点坐标公式、两点间距离公式、轴对称的性质、角平分线的性质、平行四边形的性质等知识．在（1）中求得OQ和PQ的长是解题的关键，在（2）中注意中点坐标公式的应用，在（3）中确定出E、F的位置，求得P点的坐标是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，计算量较大，难度较大．7.探究：小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意两点，，可通过构造直角三角形利用图1得到结论：，他还利用图2证明了线段的中点P的坐标公式：，.（1）请你帮小明写出中点坐标公式的证明过程；运用：（2）①已知点M（2，－1）、N（－3，5），则线段MN的长度为____________；②直接写出以点A（2，2）、B （－2，0）、C（3，－1），D为顶点的平行四边形顶点D的坐标___________；拓展：（3）如图3，点P（2，n）在函数（x≥0）的图象OL与x轴正半轴夹角的平分线上，请在OL、x轴上分别找出点E、F，使△PEF的周长最小，简要叙述作图方法，并求出周长的最小值.【答案】（1）答案见解析；（2）①；②（－3，3）或（7，1）或（－1，－3）；（3）【解析】试题分析：（1）用、的坐标分别表示出OQ和PQ的长即可证得结论；（2）①直接利用两点间距离公式可求得MN的长；②分AB、AC、BC为对角线，可求得其中心的坐标，再利用中点坐标公式可求得D点坐标；（3）设P关于直线OL的对称点为M，关于x轴的对称点为N，连接PM交直线OL于点R，连接PN交x轴于点S，则可知OR=OS=2，利用两点间距离坐标公式可求得R的坐标，再由PR=PS=n，可求得n的值，可求得P点坐标，利用中点坐标公式可求得M点坐标，由对称性可求得N点坐标，连接MN交直线OL于点E，交x轴于点S，此时EP=EM，FP=FN，此时满足△PEF的周长最小，利用两点间距离公式可求得其周长的最小值.试题解析：（1）∵，∴∴∴∵PQ为梯形的中位线∴即线段的中点P（x，y）的坐标公式为，（2）①∵M（2，－1），N（－3，5）∴②∵A（2，2）、B（－2，0）、C（3，－1）∴当AB为平行四边形的对角线时，其对称中心坐标为（0，1）设D（x，y），则x+3=0，y+（－1）=2∴此时D点坐标为（－3，3）当AC为对角线时，同理可求得D点坐标为（7，1）；当BC为对角线时，同理可求得D点坐标为（－1，－3）综上可知，D点坐标为（－3，3）或（7，1）或（－1，－3）（3）如图，设P关于直线OL的对称点为M，关于x轴的对称点为N，连接PM交直线OL于点R，连接PN交x轴于点S，连接MN交直线OL于点E，交x轴于点F又对称性可知EP=EM，FP=FN∴PE+PF+EF=ME+EF+NF=MN∴此时△PEF的周长即为MN的长，为最小设R（x，），由题意可知OR=OS=2，PR=PS=n∴，解得：（舍去）或∴R（，）∴，解得：n=1∴P（2，1），∴N（2，－1）设M（x，y），则，，解得：，∴M（，）∴即△PEF的周长的最小值为8.恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世.注明的恩施大峡谷（A）和世界级自然保护区星斗山（B）位于笔直的沪渝高速公路X同侧，AB=50km，A、B到直线x的距离分别为10km和40km，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P，向A、B两景区运送游客.小民设计了两种方方案，图（1）是方案一的示意图（AP与直线X垂直，垂足为P），P到A、B的距离之和，图（2）是方案二的示意图（点A关于直线X的对称点是，连接交直线x于点P），P到A、B的距离之和.（1）求、，并比较它们的大小；（2）请你说明的值为最小； （3）拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，B到直线Y的距离为30km，请你在X旁和Y旁各修建一服务区P、Q，使P、A、B、Q组成的四边形的周长最小，并求出这个最小值.【答案】（1）＞；（2）【解析】试题分析：（1）根据勾股定理分别求得、的值，比较即可；（2）在公路上任找一点,，连接MA、MB、，由对称可知MA=，∴MB+MA=MB+＞，∴=为最小；（3）过A作关于X轴的对称点，过B作关于Y轴的对称点，连接，交X轴于点P，交Y轴于点Q，求出的值即可.试题解析：（1）图（1）中过B作BC⊥AP，垂足为C则PC=40，又AP=10，∴AC=30在Rt△ABC中，AB=50，AC=30，∴BC=40，∴∴在图（2）中，过B作BC⊥，垂足为C则=50，又BC=40，∴由轴对称可知：PA=∴∴＞（2）如图，在公路上任找一点M，连接MA、MB、由轴对称可知MA=∴MB+MA=MB+＞∴为最小（3）过A作关于X轴的对称点交X轴于点P过B作关于Y轴的对称点交Y轴于点Q，连接则P、Q即为所求∴所求四边形的周长为50+课后追踪1.①若要求货站到A、B两个开发区的距离相等，那么货站应建在哪里？②若要求货站到A、B两个开发区的距离和最小，那么货站应建在哪里？如图（2）建立平面直角坐标系，若已知A（0，2）、B（4，3），请求出相应的P点坐标.【解析】（1）要使货站到A、B两个开发区的距离相等，可连接AB，线段AB的中垂线与MN的交点即为货站的位置，AB的垂直平分线与MN的交点上.（2）由于两点之间线段最短，所以过点A作关于MN对称，连接，与MN的交点即为货站的位置，作A点关于MN的对称点，连接交MN于点P，P为所求点，P（1.6，0）.2.如图，在平面直角坐标系中，直线y=－2x+4分别与x轴、y轴交于A（a，0）、B（0，b）两点.（1）填空：a=____________，b=_______________；（2）点P是直线AB上的点，P到x轴、y轴的距离分别为、.①当+=3时，求点P的坐标；②若在线段AB上存在无数个点P，使+k=4（k为常数），求k的值；（3）在第一象限内存在点C，使得△ABC是等腰直角三角形，直接写出所有点C的坐标.【答案】（1）2，4；（2）①点P的坐标为（1，2）或（，）；②a=2；（3）点C的坐标为（4，6）、（6，2）和（3，3）【解析】试题分析：（1）对于一次函数解析式，令x=0，y=0，即可求出a、b的值；（2）①设P（m，－2m+4），则+=|m|+|－2m+4|，分m＜0，0≤m≤2，m＞2三种情况进行讨论即可.②设P（m，－2m+4），则=|－2m+4|，=|m|.根据P在线段AB上，得到0≤m≤2，得到=－2m+4，=m；根据+k=4，列出方程－2m+4+km=4，即（k－2）m=0，有无数个点，即可求出k的值；（3）分三种情况进行讨论.试题解析：（1）对于一次函数y=－2x+4，令x=0，得到y=4；令y=0，得到x=2∴a=2，b=4（2）①由P在y=－2x+4上，可设P（m，－2m+4）