2024届一轮复习人教A版 第5章平面向量复数解答题模板构建2高考中的解三角形问题 学案

解答题模板构建2高考中的解三角形问题(2021·新高考全国Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2＝ac，点D在边AC上，BD·sin∠ABC＝asinC.(1)证明：BD＝b；(2)若AD＝2DC，求cos∠ABC.[规范解答](1)证明：由BDsin∠ABC＝asinC及正弦定理，得BD＝asinCsin∠ABC＝ac⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分(2)解：由cos∠BDA＋cos∠BDC＝0及余弦定理，得b2整理，得113b2－2a2－c2＝0.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯又b2＝ac，所以113ac－2a2－c2所以ca2－113·ca＋2＝0，解得ca＝3或c所以cos∠ABC＝a2+c2-b2当ca＝3时，cos∠ABC＝1+9-32×当ca＝23时，cos∠ABC＝1+49-所以cos∠ABC＝712.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第一步：利用正弦定理对条件式进行边角互化得结论．第二步：由余弦定理将已知条件转化为边的关系并整理得ca第三步：利用余弦定理求cos∠ABC并将ca第四步：将ca第五步：检查易错易混，规范解题步骤得出结论．类型一三角函数与解三角形的综合应用1．已知函数f(x)＝23sinx·cosx＋2sin2x－1.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f(A)＝2，C＝π4，c＝2，求△ABC解：(1)因为f(x)＝23sinxcosx＋2sin2x－1＝3sin2x－cos2x＝2sin2x-令2kπ－π2≤2x－π6≤2kπ＋π2，k解得kπ－π6≤x≤kπ＋π3，k∈所以函数f(x)的单调递增区间为kπ-π6，(2)因为f(A)＝2sin2A-所以sin2A-因为A∈(0，π)，2A－π6∈-所以2A－π6＝π2，解得A＝因为C＝π4，c＝2，所以由正弦定理asinA可得a＝c·sinAsinC所以由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，可得6＝b2＋4－2×b×2×12，解得b＝1＋3所以S△ABC＝12absinC＝12×6×(1＋3)×2．已知f(x)＝3(cos2x－sin2x)－2cosx·sin(π－x)，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期及单调递增区间；(2)已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f(A)＝－3，a＝3，求BC边上的高的最大值．解：(1)由f(x)＝3(cos2x－sin2x)－2cosxsin(π－x)，化简可得：f(x)＝3cos2x－2sinxcosx，即f(x)＝3cos2x－sin2x＝－2sin2x-所以f(x)的最小正周期T＝2π由2kπ＋π2≤2x－π3≤2kπ＋32π，k得kπ＋512π≤x≤kπ＋1112π，k∈所以f(x)的单调递增区间是kπ+512π(2)由f(A)＝－3，得sin2A-π3因为A∈0，所以2A－π3∈-所以2A－π3＝π所以A＝π3由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bccosA，则9＝b2＋c2－bc≥bc，即bc≤9(当且仅当b＝c取等号)．设BC边上的高为h，则12ah＝12bcsinA，即3h＝32bc，故h＝所以h≤332，即h的最大值为类型二解三角形问题在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知acosB-π6＝b(1)求角B的大小；(2)设a＝2，c＝3，求sin(2A－B)的值．解：(1)在△ABC中，由正弦定理asinA＝bsinB，可得bsinA＝asinB．又由bsinA＝得asinB＝acosB-π6，即sinB即sinB＝cosBcosπ6＋sinBsinπ6，可得tanB＝又因为B∈(0，π)，所以B＝π3(2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝π3有b2＝a2＋c2－2accosB＝7，故b＝7.由bsinA＝acosB-π6，可得sinA故co