北师大版选择性541542二项式定理的推导二项式系数的性质课件（36张）

§4二项式定理4.1二项式定理的推导4.2二项式系数的性质学习目标1.通过利用计数原理证明二项式定理,培养学生的逻辑推理能力.2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式,会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题,提升数学抽象、数学运算素养.3.了解杨辉三角,会用杨辉三角求二项式乘方次数较小时的各项的二项式系数,通过二项式系数的性质和“赋值法”的灵活运用,提升逻辑推理、数学运算素养.知识梳理·自主探究师生互动·合作探究知识梳理·自主探究知识探究问题:在初中,我们用多项式乘法法则得到了(a+b)2的展开式(a+b)2=(a+b)(a+b)=a×a+a×b+b×a+b×b=a2+2ab+b2.如何利用分步乘法计数原理解释上述展开过程?你能根据上述分析,写出(a+b)3的展开式吗?1.二项式定理二项展开式(n+1)通项思考:二项式定理中,项的系数与二项式系数相同吗,为什么?2.二项式系数的性质(1)在二项展开式中,与首末两端“等距离”的两项的

相等.(2)如果二项式的幂指数是偶数,

的二项式系数最大;如果二项式的幂指数是奇数,

的二项式系数相等并且最大.二项式系数中间一项中间两项(3)二项式系数的和等于

,即

.2n(4)二项展开式中,偶数项的二项式系数和

奇数项的二项式系数和,即

.等于师生互动·合作探究探究点一二项式定理①求n的值;②求含x2项的系数;③求展开式中所有的有理项.方法总结(1)运用二项式定理展开二项式,要记准展开式的结构特征,对于较复杂的二项式,化简后再展开会更简捷.(2)逆用二项式定理可将多项式化简,对于这类问题的求解,要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数.有时需要先对化简式进行恒等变形,使之符合二项展开式的结构特征,再进行化简.(3)求二项展开式的特定项的关键是抓住二项式通项.在求解时,需要把系数和字母分离出来(应注意符号),根据题目指定的字母的指数所具有的特征,列出方程或不等式.在这里首先应熟悉几个名词:①常数项,即字母的指数为零的项;②有理项;③第m项,此时k+1=m.(1)求n的值;探究点二二项式系数的性质角度1二项式系数的最大问题(1)求展开式中二项式系数最大的项;(2)求展开式中系数最大的项.方法总结求二项式系数的最大项,根据二项式系数的性质对(a+b)n中的n进行讨论.(1)当n为奇数时,中间两项的二项式系数最大;(2)当n为偶数时,中间一项的二项式系数最大.[针对训练](2021·福建三明高二期末)在①若展开式倒数三项的二项式系数之和等于46,②若展开式所有项的系数的和为512,③若展开式中第3项与第4项的系数之比为3∶7这三个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并且回答下列问题.(1)求展开式中二项式系数最大的项;[针对训练](2021·福建三明高二期末)在①若展开式倒数三项的二项式系数之和等于46,②若展开式所有项的系数的和为512,③若展开式中第3项与第4项的系数之比为3∶7这三个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并且回答下列问题.(2)求展开式中的常数项.角度2二项式系数的和与系数的和的问题(1)求展开式中二项式系数最大的项;(2)求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|的值.解:(2)由(1)知n=10,则(2x-1)10=a0+a1x1+a2x2+a3x3+…+a10x10,令x=0,得a0=1,令x=-1,则310=a0-a1+a2-a3+…+a10=1+|a1|+|a2|+|a3|+…+|a10|,所以|a1|+|a2|+|a3|+…+|a10|=310-1.方法总结求展开式的各项系数之和常用赋值法“赋值法”是求二项式各项系数常用的方法,根据题目要求,灵活赋给字母不同的值.一般地,要使展开式中项的关系变为系数的关系,令x=0可得常数项,令x=1可得所有项系数之和,令x=-1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差,而当二项展开式中含负值项时,令x=-1则可得各项系数绝对值之和.当堂检测C1.(2021·上海浦东新区一模)(x-1)10的二项展开式中第4项是(

)2.(2021·广东广州期末)已知(1+2x)n的展开式中第4项与第6项的二项式系数相等,则(1+2x)n的展开式的各项系数之和为(

)A.38 B.310 C.28 D.210ABDA.常数项是20B.第4项的二项式系数最大C.第3项是15x2D.所有项的系数的和为04.(2021·江苏沭阳高二期末)在下列三个条件中任选一个条件,补充在后面问题中的横线上,并完成解答.条件①,展开式中前三项的二项式系数之和为22;条件②,展开式中所有项的二项式系数之和减去展开式中所有项的系数之和为64;条件③,展开式中常数项为第三项.(1)展开式中二项式系数最大的项;4.(2021·江苏沭阳高二期末)在下列三个条件中任选一个条件,补充在后面问题中的横线上,并完成解答.条件①,展开式中前三项的二项式系数之和为22;条件②,展开式中所有项的二项式系数之和减去展开式中所有项的系数之和为64;条件③,展开式中常数项为第三项.(2)展开式中所有的有理项.备用例题