集合的概念同步练习 高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

高中数学上学期人教版高一作业1.1集合的概念一．选择题（共5小题）1．设，，为实数，记集合，，，．若，分别为集合，的元素个数，则下列结论不可能的是A．且 B．且 C．且 D．且2．已知函数，且集合，则集合（a）的元素个数有A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个3．已知集合，，满足或，则称，为集合的一种分拆，并规定：当且仅当时，，与，为集合的同一种分拆，则集合，2，的不同分拆的种数是A．27 B．26 C．9 D．84．设是整数集的非空子集，如果，有，则称关于数的乘法是封闭的，若，是的两个不相交的非空子集，，且，，，有；，，，有，则下列结论恒成立的是A．，中至少有一个关于乘法是封闭的 B．，中至多有一个关于乘法是封闭的 C．，中有且只有一个关于乘法是封闭的 D．，中每一个关于乘法都是封闭的5．由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪．直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割试判断，对于任一戴德金分割，下列选项中，不可能成立的是A．没有最大元素，有一个最小元素 B．没有最大元素，也没有最小元素 C．有一个最大元素，有一个最小元素 D．有一个最大元素，没有最小元素二．填空题（共4小题）6．已知、与、是4个不同的实数，若关于的方程的解集不是无限集，则集合中元素的个数构成的集合为．7．已知是同时满足下列条件的集合：①，，②若，，则；③若且，则．下列结论中正确的是．（1）；（2）；（3）若，，则；（4）若，，则．8．规定：函数，有限集合，如果满足：当，则，且，那么称集合是函数的生成集．已知减函数，为不超过10的自然数，而且有6个元素的一个生成集，则．9．已知集合，，，，存在正数，使得对任意，都有，则的值是．三．解答题（共3小题）10．已知集合，，中的元素都是正整数，且，集合具有性质：对于任意的，，都有．（Ⅰ）判断集合，2，3，是否具有性质；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）求集合中元素个数的最大值，并说明理由．11．已知非空集合满足，1，2，，．若存在非负整数，使得当时，均有，则称集合具有性质．设具有性质的集合的个数为．（1）求（2）的值；（2）求的表达式．12．设，，，，其中，定义，，0，，，2，，．（Ⅰ）若，1，2，3，4，5，，写出所有可能的；（Ⅱ）若，1，2，3，4，5，6，，，求的最大值；（Ⅲ）若，1，2，3，4，5，6，，，求的最小值．

（进阶篇）2021-2022学年上学期高中数学人教新版高一同步分层作业1.1集合的概念参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．设，，为实数，记集合，，，．若，分别为集合，的元素个数，则下列结论不可能的是A．且 B．且 C．且 D．且【分析】本题要发现与、与的解的关系，同时考虑，以及判别式对方程的根的个数的影响，通过假设最高次含参数的方程有一个解，有两个解，逆推集合的解的情况即可．【解答】解：时有一个解，有两个解，且的解不是的解，，即，的解不是的解，又有两个解，故△，有两个不等的根，有3个解，即，故不可能成立，故选：．【点评】本题考查一元一次方程与一元二次方程的解的关系，还要考虑一元一次方程的解是否为一元二次方程的解，通过判别式判断一元二次方程方程的根的个数，属于难题．2．已知函数，且集合，则集合（a）的元素个数有A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个【分析】根据绝对值函数的几何意义，得到函数是偶函数，建立方程组即可得到结论．【解答】解：的几何意义是：数轴上到点，，，，，的距离之和，的几何意义是数轴上点，，，，，到点的距离之和，则根据绝对值的几何意义可知，即函数是偶函数，当，时，；当，时，，若，则①，或②，，③由①得，即，解得或；由②得，解得或；由③得：，综上或或；又（1），当时，（a），当时，（a），有无数个（a）的值有无数个．故选：．【点评】本题主要考查函数值的计算，根据绝对值的几何意义判断出是偶函数，是解决本题的关键．难度较大．3．已知集合，，满足或，则称，为集合的一种分拆，并规定：当且仅当时，，与，为集合的同一种分拆，则集合，2，的不同分拆的种数是A．27 B．26 C．9 D．8【分析】根据分拆的定义，分别进行讨论即可．【解答】解：由题意可知集合的子集共有8个，集合，满足，分类讨论①若时，，此时只有一种分拆．②若是单元素集时，共有六种分拆，与，，与，2，，与，，与，2，，与，，与，2，．③若是双元素集时，共有12种，，与，，，，，，2，；，与，，，，，，2，；，与，，，，，，2，；④若，2，，则，，，，，，，，，共7种．⑤若，2，，由一种拆分．综上有．故选：．【点评】本题主要考查集合的关系的应用，根据定义通过讨论即可．4．设是整数集的非空子集，如果，有，则称关于数的乘法是封闭的，若，是的两个不相交的非空子集，，且，，，有；，，，有，则下列结论恒成立的是A．，中至少有一个关于乘法是封闭的 B．，中至多有一个关于乘法是封闭的 C．，中有且只有一个关于乘法是封闭的 D．，中每一个关于乘法都是封闭的【分析】本题从正面解比较困难，可运用排除法进行作答．考虑把整数集拆分成两个互不相交的非空子集，的并集，如为奇数集，为偶数集，或为负整数集，为非负整数集进行分析排除即可．【解答】解：若为奇数集，为偶数集，满足题意，此时与关于乘法都是封闭的，排除、；若为负整数集，为非负整数集，也满足题意，此时只有关于乘法是封闭的，排除；从而可得，中至少有一个关于乘法是封闭的，正确．故选：．【点评】此题考查学生理解新定义的能力，会判断元素与集合的关系，是一道比较难的题型．5．由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪．直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割试判断，对于任一戴德金分割，下列选项中，不可能成立的是A．没有最大元素，有一个最小元素 B．没有最大元素，也没有最小元素 C．有一个最大元素，有一个最小元素 D．有一个最大元素，没有最小元素【分析】由题意依次举例对四个命题判断，从而确定答案．【解答】解：若，；则没有最大元素，有一个最小元素0；故正确；若，；则没有最大元素，也没有最小元素；故正确；有一个最大元素，有一个最小元素不可能，故不正确；若，；有一个最大元素，没有最小元素，故正确；故选：．【点评】本题考查了学生对新定义的接受与应用能力，属难题．二．填空题（共4小题）6．已知、与、是4个不同的实数，若关于的方程的解集不是无限集，则集合中元素的个数构成的集合为．【分析】画出两个函数的图象，看图象的交点个数，进行判断．【解答】解：①假设有0个交点，，，设，，，由题意，，，，，而由三角不等式，，故矛盾，不可能有0个交点．②假设有2个交点，，，，，，明显矛盾，不可能有2个交点．其他0个交点和2个交点的情况均可化归为以上两类，故答案为：．【点评】本题主要考查函数图象、分段函数，集合，属于综合题，难度较大．7．已知是同时满足下列条件的集合：①，，②若，，则；③若且，则．下列结论中正确的是（1）（3）（4）．（1）；（2）；（3）若，，则；（4）若，，则．【分析】根据条件①②可知所以（2）错误，．由、由条件②③可推出所以（1）成立．由可知，由条件②可推出所以（3）成立．由、得，由条件③可知、可得、，由条件③得、可知，若，则、，所以、，所以、，所以所以（4）成立．【解答】解：，，．故（2）不成立．，，，，．故（1）成立．，，又，．故（3）成立．，，、，、、，，，同理，，，当时，符合，当时，也符合，故（4）成立．故答案为：（1）（3）（4）．【点评】考查元素与集合的关系、分式运算、整式运算、运算能力和逻辑推理能力．8．规定：函数，有限集合，如果满足：当，则，且，那么称集合是函数的生成集．已知减函数，为不超过10的自然数，而且有6个元素的一个生成集，则10．【分析】利用生成集的定义和函数的单调性进行判断求解．【解答】解：因为，所以在上是单调递减的，故，设中最小值为，最大值为，则，由，解得，所以，因为函数定义域为，中至少有6个元素，，所以，，则一定有6个正因数，在，中有6个正因数的整数只有12，所以，此时，，4，5，6，8，，所以，故答案为：10．【点评】本题考查了数学中的新定义问题，考查了学生的创新知识以及函数的单调性，还考查了学生的推理能力和计算能力，属于难题．9．已知集合，，，，存在正数，使得对任意，都有，则的值是1或．【分析】时，当时，；当时，；当时，，当时，，从而，解得；当时，当，时，则，．当，，当时，，当时，，即，当时，，当时，，从而，解得．当时，无解．【解答】解：当时，当，时，则，，当，时，则，，即当时，；当时，，即；当时，，当时，，即，，解得．当时，当，时，则，．当，，则，，即当时，，当时，，即，即当时，，当时，，即，，解得．当时，同理可得无解．综上，的值为1或．故答案为：1或．【点评】本题考查实数值的求法，考查元素与集合的关系、分类讨论思想等基础知识，考查运算求解能力，是难题．三．解答题（共3小题）10．已知集合，，中的元素都是正整数，且，集合具有性质：对于任意的，，都有．（Ⅰ）判断集合，2，3，是否具有性质；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）求集合中元素个数的最大值，并说明理由．【分析】（Ⅰ）利用性质对任意的，，，，都有，代入可判断（Ⅱ）依题意有：，2，，又，因此：，2，，由此能够证明：．（Ⅲ）由，可得由，因此，同理，可得，．由此能够推导出集合中元素个数的最大值．【解答】解：由于，，，，，集合，2，3，具有性质；（Ⅱ）依题意有：，2，，又，因此：，2，可得：，，2，所以有：，即．得证；（Ⅲ）由，，可得，因此，同理，可得，．又，可得，那么：，，2，也均成立．当时，取，则，可知．又当时，，所以．因此集合中元素个数的最大值为9．【点评】本题考查数列的性质的综合运用，解题时要认真审题，注意公式的合理运用，合理地进行等价转化和变形．属于难题．11．已知非空集合满足，1，2，，．若存在非负整数，使得当时，均有，则称集合具有性质．设具有性质的集合的个数为．（1）求（2）的值；（2）求的表达式．【分析】（1）当时，，，，，，，1，具有性质，求出对应的，即可得出．（2）可知当时，具有性质的集合的个数为，当时，，其中表达也具有性质的集合的个数，计算关于的表达式，此时应有，即，故对分奇偶讨论，利用集合具有性质即可得出．【解答】解：（1）当时，，，，，，，1，具有性质，对应的分别为0，1，2，1，1，故（2）．（2）可知当时，具有性质的集合的个数为，则当时，，其中表达也具有性质的集合的个数，下面计算关于的表达式，此时应有，即，故对分奇偶讨论，①当为偶数时，为奇数，故应该有，则对每一个，和必然属于集合，且和，，和共有组数，每一组数中的两个数必然同时属于或不属于集合，故对每一个，对应的具有性质的集合的个数为，所以，②当为奇数时，为偶数，故应该有，同理，综上，可得又（2），由累加法解得即．【点评】本题考查了集合的运算性质、元素与集合之间的关系、组合数的计算公式、新定义，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．12．设，，，，其中，定义，，0，，，2，，．（Ⅰ）若，1，2，3，4，5，，写出所有可能的；（Ⅱ）若，1，2，3，4，5，6，，，求的最大值；（Ⅲ）若，1，2，3，4，5，6，，，求的最小值．【分析】（Ⅰ）若，1，2，3，4，5，，则均为1时，可得中各元素和为6，进而得到答案；（Ⅱ）若，1，2，3，4，5，6，，，则均为1时，可得中各元素取尽可能小的正整数时，取最大值；（