“分类讨论”在数学解题中的应用

“分类商量”在数学解题中的应用阜南县许堂乡大桥中学沈杰在数学学习与数学讨论中，当被讨论的对象中包含多种可能的情况,使我们不能对它们“一概而论”的时候,我们必须对全部可能消灭的情况进行分类商量，从而得出各种情况下相应的结论。这种解决问题的思想方法，我们称为分类商量。和数形结合、化归转化一样，分类商量也是中学阶段必须学习和掌握的重要数学思想方法,也是中考及各种数学考试中的重点考察内容之一。一、分类商量思想在代数解题中的应用。知识要点：１、有关概念的分类，主要集中在实数的概念，非负数(如肯定值、算术平方根）的概念,分式的概念与方程的概念等方面。2、有关运算性质的分类，主要集中在等式的性质、不等式的性质、分式的运算及二次根式的化简等方面。3、有关方程(组）的解的分类,主要集中在方程（组）有没有解，解的数目及符号等方面。例题剖析:例1、解关于ＱUOTE的不等式QUOＴE。思路:这是一个含字母QUOＴE的关于QUＯTE的不等式,需对字母QUOTE的取值作分类商量。解：去括号,得：QUＯTＥ移项、合并,得:QUOＴＥ当QUOTＥ时,ＱUＯＴE；∴QＵOＴE当ＱＵＯTＥ时,QUOTE为一切实数当QＵOＴE时，QUOTE;∴QＵＯTＥ思考：不等式ＱUOTE，当QUＯＴＥ时，有解吗？例2、已知关于ＱＵOＴE的方程QUOＴＥ有实数根，求ＱUOＴE的取值范围。思路：依据题意，这个方程的类型取决于未知数的系数,因而未知数系数的取值情况是分类的依据。解：设QUＯTＥ,则ＱUOＴE原方程可化为:QＵOＴE①当QＵOTE即QＵＯTE，方程为QＵＯTＥ或QUOTE.即:ＱUＯＴＥ或ＱUOTＥ.则ＱUOTＥ或QUOＴE。故：当ＱＵOTE时,原方程有实数根。②当ＱUOTE时,则当QUOTE时，原方程有实数根。由QUOTE．解得：QUOTE。综上可知：当ＱUOＴE时，原方程有实数根。思考：将原题中“有实数根”改为“有正实数根"、“有两个实数根”等情况,怎么商量和求解?例3、在一个三位数的百位和十位之间插入：０、１、２、３、……、９中的一个数字得到的四位数恰是原三位数的9倍，那么这样的三位数最小是什么?最大的又是什么?思路：必须依据数的十进制表示方法,找出组成数的各位数字之间的关系,进而确定分类标准。解：把题中的三位数记为QUＯＴＥ，百位与十位之间插入的数字为ＱUOＴE,插入后所得的四位数为QＵOTＥ，则ＱUOＴE,则QＵOＴＥ.即：移项，化简,得:QＵOTE.（*）∵QUOTE均为1０的倍数∴ＱUＯＴE也是10的倍数故ＱUＯTE或QUOTE。（１)当QUOＴＥ时,（*）可变为QUＯTＥ。即：QUＯTＥ．同理:QUＯＴE是１０的倍数。ＱUＯTE或QUOTE。若QUOＴE，则ＱUOTE,则QＵＯＴE.这与QUＯＴE相冲突,故ＱUOTＥ，∴QUOＴE。当ＱUＯＴE时，则QＵＯＴE。∴QUOTE又∵QＵOTＥ∴QＵＯTE。∴当QUOＴＥ时,最大的三位数为450，最小的三位数为150．（2）当QUOTＥ时,(＊)可变化为：ＱＵＯTE。于是由QUＯTE是10的倍数，得：QＵOTE或QUOTE。若QUＯTE,则有：ＱUOＴE，即使QUOTＥ.又∵QＵＯTE∴QUＯＴE。这时有最小数125。若QUOTＥ,则有：QUOTＥ，即使QUＯTE。又∵QUOTE∴QUOTE。这时有最大数６7５．因而当QUOTＥ时,最大的三位数是67５。最小三位数是125。思考:分类有时要涉及到多个层次（如本题),总的原则仍然是标准要全都，同时确保有对象必须属于而且仅仅属于所分的某一类.二、分类商量思想在几何题中的应用.知识要点:１、有关图形外形的分类。如三角形按角分类(锐角三角形、直角三角形、钝角三角形）、按边分类（不等边三角形、等腰三角形、等边三角形）；四边形若有一组对边平行,则依据另一组对边是否平行又可为两类:平行则是平行四边形（依据邻边、对角线、邻角是否相等又可分为矩形、正方形和菱形)，不平行则是梯形(又可分为等腰梯形、不等腰梯形和直角梯形).２、有关图形位置的分类。平面任意3点的位置可分为在一条直线上和不在一条直线上的两类;平面内的三条直线可分为相互平行、两两相交、交于一点、两条平行线和第三条直线相交等四种情况;三角形的高线在三角形的内部、外部或在三角形的一边上；一个点与圆的位置关系（点在圆内、圆外。圆上）；直线与圆的位置关系（相离、相交、相切）;圆与圆的位置关系(外离、外切、相交、内切、内含）等。例4、要做两个外形完全相同的三角形框架，其中一个三角形框架的３条边长度分别为4、5、6，另一个三角形框架的一条边长度为2。欲使这两个三角形相像,三角形框架的另外两条边的长度可以是多少？思路:相像三角形问题最重要的就是对应边长为2的那条边，与长度为4、５、６的三条边如何对应？有三种可能（虽不影响三角形的外形，但是影响三角形的大小)，3种情况都要考虑到。解：QUOＴE,３或QUＯＴE或QUOTE。思考：如果与另一个三角形外形完全相同，要求这个三角形的一条边长为３,周长最小，那么这个三角形另外两条边的长度是多少?例5、如下图，以点A为圆心得两个同心圆的半径分别是ＱUOTE和QUOTE。QＵOTE与这两个圆都相切，则QUＯＴＥ的半径是多少?思路：QUOTE与两个圆都相切,是内切还是外切?条件不明确。因此,要进行分类商量；ＱUOTＥ要与两个同心圆都相切,与大圆只能内切，而与小圆即可能外切也可能内切。解：QＵＯＴE或QUOＴE。思考:数学解题中学会遇到一些不明确的要求，这时切不行主观断定为较常见的哪种情况，而要将全部可能的情况一一列举，以防遗漏。例6、已知四边形ＡBCD中，ＡB=DC，ＡC＝BＤ。试探究四边形ABＣＤ可能是什么外形的四边形，并证明你的结论。思路:AB，ＣD是一组对边,ＡC,ＢＤ是一组对角线，由已知一般会得出ＡBＣD是平行四边形，进而得出是矩形的猜想。若如此，则必有AB∥CD的结论。但是，已知条件中并没有明确这一点,因此,必须考虑AB、CＤ是否平行。解:(1）当AB∥ＤC时，四边形AＢCD是矩形.∵ＡＢ=ＤＣ,AB∥ＤＣ∴四边形AＢCＤ是平行四边形又∵AＣBD∴四边形ABＣD是矩形。(2）当AB不平行于CD时，四边形ＡBCD是等腰梯形。由已知易得△ABD≌△ＤCA。∴∠１=∠2同理∠3=∠4又∵∠５＝∠1＋∠２=∠3+∠4∴∠１＝∠4∴AD∥ＢC∴四边形ＡBCＤ是等腰梯形.思考:将条件“AＢ=DC”改为“AB∥DＣ”其它条件不变，四边形ABＣＤ可能是什么外形的四边形？解答分类商量的题目,一要有分类商量的意识，知道什么时候需要分类，什么时候不需要分类，哪些内容需要商量,哪些内容不需要商量；二要知道如何分类，做到分类时既不能有重复，又不能有遗漏。后者是解答分类商量问题的难点。中学数学教育教学论文中学数学教育教学论文论题：“分类商量”在数学解题中的应用阜南县许堂乡大桥中学沈杰内容摘要在数学学习与数学讨论中，当被讨论的对象中包含多种可能的情况，使我们不能对它们“一概而论"的时候，我们必须对全部可能消灭的情况进行分类商量，从而得出各种情况下相应的结论。这种解决问题的思想方法，我们称为分类商量.和数形结合、化归转化一样，分类商量也是中学阶段必须