2021年度二次函数知识点总结及中考题型总结

二次函数知识点总结及中考题型，易错题总结

（一）二次函数知识点总结

一、二次函数概念：

1.二次函数概念：普通地，形如尸加+bx+c（“，6,c是常数，"0）函数，叫做

二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数加0,而乩c可

觉得零.二次函数定义域是全体实数.

2.二次函数y=or2+〃x+c构造特性：

⑴等号左边是函数，右边是关于自变量X二次式，x最高次数是2.

⑵a,6,c是常数，a是二次项系数，人是一次项系数，c是常数项.

二、二次函数基本形式

1.二次函数基本形式：），=加性质：

a绝对值越大，抛物线开口越小。

开口方顶点坐对称

〃符号性质

向标轴

x>0时，），随x增大而增大；x<0时，

a>0向上(0,0)y轴y随x增大而减小；x=0时，y有最

小值0.

x>0时，y随尤增大而减小；x<0时，

a<0向下(0,0)y轴y随x增大而增大；x=0时，y有最

大值0.

性质：

上加下减。

开口方顶点坐对称

a符号性质

向标轴

x>0时，y随x增大而增大；x<0时，

a>0向上(0,c)y轴y随x增大而减小；x=0时，y有最

小值C.

x>0时，），随尤增大而减小；x<0时，

a<0向下(0,c)y轴），随x增大而增大；x=0时，y有最

大值C.

性质：

左加右减。

开口方顶点坐对称

。符号性质

向标轴

x>〃时,y随x增大而增大;X”时,

a>0向上(6,0)X=hy随X增大而减小；x=/7时-，y有最

小值0.

X”时,）'随X增大而减小；时,

”0向下(6,0)X=hy随X增大而增大；x=〃时-，y有最

大值0.

4.产如一犷+々性质:

。符号开口方顶点坐对称性质

向标轴

X>〃时，y随X增大而增大；X</7时，

a>0向上（力,k）X=hy随％增大而减小；时，y有最

小值”.

x>〃时，y随x增大而减小；时，

a<0向下0,k）X=hy随x增大而增大；x="时，卜有最

大值

三、二次函数图象平移

1.平移环节:

办法一：⑴将抛物线解析式转化成顶点式尸人》一娟+及，拟定其顶点坐标

（〃，k）.

⑵保持抛物线尸底形状不变，将其顶点平移处处①A）,详细平移办法如

下:

向上（k>。）【或向下（k<0）】平移|川个单位------

y=ax2------------------------------->y=ax2+k

向右（/?>0）【或£（/!<0）］

向右（〃>）【或左（左）】

向右30）【或左（力<0）】平移四个单位00

平移四个单位平移阳个单位

向上（Q0）【或下伏<0）】

平移欣价单位

U

向上（Q0）【或下（&<0）】平移|用个单位计尸公㈤.

2.平移规律

在原有函数基本上”/?值正右移，负左移；*值正上移，负下移”.

概括成八个字“左加右减，上加下减”.

办法二：

⑴y=.+bx+c,沿），轴平移:向上（下）平移加个单位，丁=/+力x+c变成

y=ax1+bx+c+m(或y=ax2+bx+c-m)

(2»=。/+"+。沿轴平移：向左(右)平移机个单位，ynad+H+c变成

y=a(x^-m)2+b(x+m)+c(或y=+b(x-m)+c)

四、二次函数尸。（即域+k与尸症+法+＜、比较

从解析式上看，y=”（xi）2+Z与产渡+"+C是两种不同表达形式，后者通过配

广〃心+立丫+也二£h=一且,kJac-b。

方可以得到前者，即.I4“，其中为4〃.

五、二次函数）'=加+法+0图象画法

五点绘图法：运用配办法将二次函数"/+乐+c化为顶点式产心一4+3拟

定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画

图.普通咱们选用五点为：顶点、与y轴交点（°国、以及（°”）关于对称轴对称

点（2〃，c）、与x轴交点a，0）,优，。）（若与X轴没有交点，则取两组关于对称

轴对称点）.

画草图时应抓住如下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴交点，与》轴

交占

六、二次函数,、'=加+版+。性质

1.当〃＞。时，抛物线开口向上，对称轴为““五，顶点坐标为「五’4aJ.

bbb

当2a时，》随x增大而减小；当2a时，》随x增大而增大；当一加时,

4ac-b2

》有最小值4a.

b（b4ac-b?、

2.当"。时，抛物线开口向下，对称轴为“二一五，顶点坐标为「五’4a当

bbh

2a时-，＞随x增大而增大；当2a时-，＞随x增大而减小；当一-2a时，》有

4成、-/

最大值4a.

七、二次函数解析式表达办法

1.普通式："/+法+c（«,b,c为常数，力0）；

2

2.顶点式：y=^-h）+k（%h,&为常数，"0）；

3.两根式：丫=心-不）。-9）（力（），占，£是抛物线与x轴两交点横坐标）.

注意：任何二次函数解析式都可以化成普通式或顶点式，但并非所有二次函数

都可以写成交点式，只有抛物线与*轴有交点，即从-4℃o时，抛物线解

析式才可以用交点式表达.二次函数解析式这三种形式可以互化.

八、二次函数图象与各项系数之间关系

1.二次项系数"

二次函数产五+法+C中，”作为二次项系数，显然"0.

⑴当“＞。时，抛物线开口向上，。值越大，开口越小，反之。值越小，开

口越大；

⑵当〃＜0时，抛物线开口向下，。值越小，开口越小，反之。值越大，开

口越大.

总结起来，。决定了抛物线开口大小和方向，。正负决定开口方向，时大小

决定开口大小.

2.一次项系数，

在二次项系数〃拟定前提下，匕决定了抛物线对称轴.

⑴在。＞。前提下，

---＜0

当〃＞0时，2a,即抛物线对称轴在y轴左侧；

-±=0

当〃=。时，2a,即抛物线对称轴就是，轴；

-2＞（）

当人＜0时，2a,即抛物线对称轴在，轴右侧.

⑵在"。前提下，结论刚好与上述相反，即

-±＞0

当人＞0时，2a,即抛物线对称轴在V轴右侧；

_A=n

当〃=0时，2a一,即抛物线对称轴就是＞轴；

_2＜o

当"0时，2a,即抛物线对称轴在y轴左侧.

总结起来，在。拟定前提下，〃决定了抛物线对称轴位置.

b

X=---

时符号鉴定：对称轴2a在y轴左边则曲＞0,在）’轴右侧则必＜0,概括

说就是“左同右异”

总结：

3.常数项c

⑴当时，抛物线与y轴交点在x轴上方，即抛物线与丫轴交点纵坐标为

正；

⑵当c=o时，抛物线与卜轴交点为坐标原点，即抛物线与卜轴交点纵坐标

为。；

⑶当时，抛物线与y轴交点在x轴下方，即抛物线与丫轴交点纵坐标为

负.

总结起来，。决定了抛物线与y轴交点位置.

总之，只要都拟定，那么这条抛物线就是唯一拟定.

二次函数解析式拟定：

依照已知条件拟定二次函数解析式，普通运用待定系数法.用待定系数法求

二次函数解析式必要依照题目特点，选取恰当形式，才干使解题简便.普通来

说，有如下几种状况：

1.已知抛物线上三点坐标，普通选用普通式；

2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，普通选用顶点式；

3.已知抛物线与x轴两个交点横坐标，普通选用两根式；

4.已知抛物线上纵坐标相似两点，常选用顶点式.

九、二次函数图象对称

二次函数图象对称普通有五种状况，可以用普通式或顶点式表达

1.关于X轴对称

产加+法+C关于X轴对称后，得到解析式是产一以2一以一”

y=关于X轴对称后，得到解析式是尸

2.关于y轴对称

产加+加+C关于），轴对称后，得到解析式是尸浸-法+C；

犷+"关于）’轴对称后，得到解析式是丫=“（、+犷+&；

3.关于原点对称

产加+bx+c关于原点对称后，得到解析式是产一加+反-C；

y=a（x-犷+&关于原点对称后，得到解析式是尸一，心+犷々.

4.关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）

，八/

尸”o+法+C关于顶点对称后，得到解析式是V•=—CLX~—DX+C为；

y=a（x-4+Z关于顶点对称后，得到解析式是y=P（x-犷+&.

5.关于点（孙〃）对称

y=a（x-犷+左关于点（孙，。对称后，得到解析式是k一“（》+人-2班+2〃-左

依照对称性质，显然无论作何种对称变换，抛物线形状一定不会发生变化,

因而同永远不变.求抛物线对称抛物线表达式时，可以根据题意或以便运算原

则，选取适当形式，习惯上是先拟定原抛物线（或表达式已知抛物线）顶点坐

标及开口方向，再拟定其对称抛物线顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称

抛物线表达式.

十、二次函数与一元二次方程：

1.二次函数与一元二次方程关系（二次函数与x轴交点状况）：

一元二次方程尔+"+c=0是二次函数丫=加+法+。当函数值%°时特殊状况.

图象与x轴交点个数：

①当A=〃-4oc>0时,图象与x轴交于两点A&，0），3（%,0）（大工泡），其中为，△是

,/、AB/—止反三

一元二次方程5+区+。=°（"°）两根.这两点间距离时.

②当A=0时，图象与x轴只有一种交点；

③当△<（）时，图象与x轴没有交点.

r当时，图象落在*轴上方，无论x为任何实数，均有y>°；

2、当"。时，图象落在x轴下方，无论x为任何实数，均有y<°.

2.抛物线广渡+法+C图象与）'轴一定相交，交点坐标为（°,明

3.二次函数惯用解题办法总结：

⑴求二次函数图象与X轴交点坐标，需转化为一元二次方程；

⑵求二次函数最大（小）值需要运用配办法将二次函数由普通式转化为顶点

式;

⑶依照图象位置判断二次函数"以2+法+，中b,C符号，或由二次函数中。,

6,，符号判断图象位置，要数形结合；

(4)二次函数图象关于对称轴对称，可运用这一性质，求和已知一点对称点坐

标，或已知与x轴一种交点坐标，可由对称性求出另一种交点坐标.

⑸与二次函数关于尚有二次三项式，二次三项式小+反+"工。)自身就是所含

字母x二次函数；下面以"。时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次

方程之间内在联系：

A>0

抛物线与X轴二次三项式值可一元二次方程有两个不相等实根

有两个交点正、可零、可负

A=0

抛物线与X轴二次三项式值为一元二次方程有两个相等实数根

只有一种交非负

占

/、、、

A<0

抛物线与X轴二次三项式值恒一元二次方程无实数根.

无交点为正

二次函数图像参照:

‘刹车距离

■何时获得最大利润

十一、函数应用I最大面积是多少

（二）二次函数考查重点与常用题型

1.考查二次函数定义、性质，关于试题常出当前选取题中，如：

已知觉得X自变量二次函数k（吁2）/+“一吁2图像通过原点，则加值是

2.综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数图像，习题特点是在同

始终角坐标系内考查两个函数图像，试题类型为选取题，如：

如图，函数

y=&一1和

y=2(&w0)

x

始终角坐标

系中图象也许是图中（）

3.考查用待定系数法求二次函数解析式，关于习题浮现频率很高，习题类型有中

档解答题和选拔性综合题，如：

5

X——

已知一条抛物线通过（0,3）,（4,6）两点，对称轴为3,求这条抛物线解析式。

4.考查用配办法求抛物线顶点坐标、对称轴、二次函数极值，关于试题为解答题,

例如：已知抛物线"加+灰+c（aWO）与X轴两个交点横坐标是一1、3,与y

轴交点纵坐标是一］3

（1）拟定抛物线解析式；（2）用配办法拟定抛物线开口方向、对称轴和顶

点坐标.

5.考查代数与几何综合能力，常用作为专项压轴题。

【例题典型】由抛物线位置拟定系数符号

例1（1）二次函数旷="+法+。图像如图1,则点。在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

（2）已知二次函数y=ax2+bx+c（aWO）图象如图2所示，•则下列结论:

①a、b同号；②当x=l和x=3时,函数值相等；③4a+b=0；④当y=-2时，

值只能取0.其中对的个数是（）

D.4个

(1)⑵

方.下列结论：①a<b<0；②2a+c>O；③4a+c<O；④2a-b+l>O,其中对的结论

个数为（）

A1个B.2个C.3个D.4个

答案：D

会用待定系数法求二次函数解析式

例3.已知：关于x一元二次方程ax2+bx+c=3一种根为x=-2,且二次函数

y=ax2+bx+c对称轴是直线x=2,则抛物线顶点坐标为（）

A(2,-3)B.(2,1)C(2,3)D.(3,2)

答案：C

例4、如图(单位：m),等腰三角形ABC以2米/秒速度沿直线L向正方形移

动，直到AB与CD重叠.设x秒4。时，三角

形与正方形重叠某些面积为ym2.

(1)写出y与x关系式；—p-------—^；-----------

(2)当x=2,3.5时，y分别是多少？

(3)当重叠某些面积是正方形面积一半时，

三角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、

对称轴.

15_

例5、已知抛物线y=2x2+x-2.

(1)用配办法求它顶点坐标和对称轴.

(2)若该抛物线与x轴两个交点为A、B,求线段AB长.

y=L^+bx+c

例6、“已知函数.2图象通过点A(c,—2),

求证：这个二次函数图象对称轴是x=3°”题目中矩形框某些是一段被墨水污染

了无法辨认文字。

(1)依照已知和结论中既有信息，你能否求出题中二次函数解析式？若能,

请写出求解过程，并画出二次函数图象；若不能，请阐明理由。

(2)请你依照已有信息，在原题中矩形框中，填加一种恰当条件，把原题

补充完整。

点评：对于第(1)小题，要依照已知和结论中既有信息求出题中二次函数解

析式，就要把本来结论“函数图象对称轴是x=3”当作已知来用，再结合条件

“图象通过点A(c,一2)”，就可以列出两个方程了，而解析式中只有两个未

知数，因此可以求出题中二次函数解析式。对于第(2)小题，只要给出条件可

以使求出二次函数解析式是第(1)小题中解析式就可以了。而从不同角度考虑

可以添加出不同条件，可以考虑再给图象上一种任意点坐标，可以给出顶点坐

标或与坐标轴一种交点坐标等。

V=—X**+C

［解答］(1)依照.2图象通过点A(c,-2),图象对称轴是x=3,

1,,6

—C+bc+c=-2,

2

L=3

c1，

得I2

b=-3,

解得1=2.

y=-x—3x+2.

因此所求二次函数解析式为.2图象如图所示。

—X~-3x+2=0勺rzrz

(2)在解析式中令y=0,得2,解得玉=3+j5,%=3-依

因此可以填“抛物线与x轴一种交点坐标是(3+6，°)”或“抛物线与x轴一

种交点坐标是◎一.，°)・

5

y=—,

令x=3代入解析式，得2

15

y——x~0—3x+2一(3,—),

因此抛物线.2顶点坐标为2

(3)

因此也可以填抛物线顶点坐标为’2等等。

函数重要关注：通过不同途径(图象、解析式等)理解函数详细特性；借助各

种现实背景理解函数；将函数视为“变化过程中变量之间关系”数学模型；渗

入函数思想；关注函数与有关知识联系。

用二次函数解决最值问题

例1某产品每件成本10元，试销阶段每件产品销售价X（元）•与产品日销售

量y（件）之间关系如下表:

X123•••

（元500

）

y221•••

（件500

）

若日销售量y是销售价x一次函数.

（1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）函数关系式；

（2）要使每日销售利润最大，每件产品销售价应定为多少元？•此时每日

销售利润是多少元？

与相似三角形综合

例：6.如图，抛物线通过A（4,0）,5（1,0）,C（0,—2）三点.

（1）求出抛物线解析式；

（2）P是抛物线上一动点，过户作轴，垂足为与否存在P点，使得以A,P,M为顶点三角

形与△OAC相似？若存在，祈求出符合条件点尸坐标；若不存在，请阐明理由；

二次函数应用题典例剖析一OL1/V"•'x

小强在一次投篮训练中，从距地面高一咨'1.55米处

。点投出一球向篮圈中心A点投去，球飞行路线为抛物

线，当球达到离地面最大高度3.55米时，球移动水平距离为2米.现以O点为

坐标原点，建立直角坐标系（如图所示），测得OA与水平方向OC夹角为30o,

A、C两点相距1.5米.

（1）求点A坐标;

（2）求篮球飞行路线所在抛物线解析

（3）判断小强这一投能否把球从0点直

投入

篮圈A点（排除篮板球），如果能，请

明理由；

如果不能，那么先后移动多少米，就能使刚才那一

投直接命中篮圈A点了.（成果可保存根号）

分析：（1）运用直角三角形边角关系得到0c长，可以拟定点A坐标.（2）

依照球到达最大高度和移动水平距离拟定抛物线顶点坐标，设出抛物线顶点式,

然后把0（0,0）代入顶点式，求出抛物线解析式.（3）把点A坐标代入抛物

线解析式，发现抛物线两边不等，阐明点A不在抛物线上，那么小强不能从O

点把球投入.把尸1.5代入抛物线求出％值，得到小强后退距离.

解：（1）在RdAOC中，

'.,ZAOC=30",AC=1.5

3

•••OC=AC'COt30°=1,5X43=-73，

3

...点顺坐标为（-73,1.5）；

（2）•••顶点瞄纵坐标：3.55155=2,

.-.B（2,2）,

二设抛物线的解析式为尸a）?+2

把点0（0，0）坐标代入得：0=a（0-2）2+2，

解得a=--»

•••抛物线的解析式为y=-g（x-2尸+2,

即y=--xz+2x；

点拨：题设结合实际情景给出了一定数与量关系，规定在分析基本上直接写

出函数关系式，并进行应用。解答核心是认真分析题意，对的写出数量关系式。

二次函数与面积

如图，已知平面直角坐标系xOy中，点A(m,6),B(n,1)为两动点,

其中0〈根＜3,连接04,OB,OALOB.

(1)求证：mn=-6；

(2)当SAAOS=10时，抛物线通过A,3两点且以y轴为对称轴，求抛物

线相应二次函数关系式；

(3)在(2)条件下，设直线AB交y轴于点R过点/作直线/交抛物

线于P,。两点，问与否存在直线/,使S"OF：SAQOF=1：3?若存在，求出直

线/相应函数关系式；若不存在，请阐明理由.

分析：（1）作BCLc轴于。点，AD_Lx轴于。点，诃

运用线段比求出相〃.

（2）由（1）得0A=〃必。推出-OB»OA=\0,依

相〃值.然后可得A,3坐标以及抛物线解析式.

（3）假设存在直线/交抛物线于尸、。两点，使竺=L作

PQ3

轴于M点，QN，y轴于N点，设P坐标为（t,一户+10）,

证明△推出"直，继而可解出点P、。坐标.

（三）二次函数错例分析

在解决与二次函数关于问题时，往往由于审题不清、考虑不周而错解，为协

助人们纠正错误，对的灵活地应用二次函数图像及性质，解决关于二次函数问题,

现将常用因素所导致错误剖析如下：

例1:如果函数尸（03*以+2+丘+1是二次函数，那么％值一定是_____.

错解：依照二次函数定义，得：

产-3%+2=2,

解得k=0或63；

二.当60或仁3时，这个函数是二次函数.

正解：依照二次函数定义，得：

S-3%+2=2,

解得上。或63；

又,.•2—3和，

：.审.

当上。时，这个函数是二次函数.

点拨：二次函数二次项系数不为0是个易错点。

例2、求二次函数y=2_?+4x顶点坐标

错解：y=2x2+4x=y=2(x+2)2-8,因此顶点坐标(一2,8)

y=2(x2+2x)-2(x2+2x+1-1)=2(x+1)2-2

正解:

得顶点坐标(一1,-2)

点拨:同窗们应记住配方到片”(%+无)2+机形式时x+h=O得顶点横坐标x=f,

顶点纵坐标就是mo该同窗配方错误，在提取公因数2时候一次项没提出来，

同步按该同窗配方成果一8这个整体才代表上面配方成果中mo

例3：二次函数y=ax2+hx+c图象如图所示，且P=\a—b+c\+\2a+h\,

Q=\a+h+c\+\2a-h\,则P、。大小关系为P,f

错解：p>q(j\

正解：依照图象懂得：4i'

当户一1时，yVO,

,,.a—h+c<0；

当x=\时，y>0,

a+h+c>Q；

•.•对称轴在％=1右边，

_>1>两边同乘以一2a(—2。>0)得

2a

.,.2a+h>0；

'：a<0,h>0,

••2a—/?<0；

P=\a-h+c\+\2a+h\=——a+b——c+2a+h=a+2h——c,

Q=\a+b+c\+\2a—h\=a+h+c—2a+h=—a+2h+c,

,图像过原点•*.c=0P—Q=a+2b—c-(—a+2b+c)=2(a—c')=2a<0

:・P<Q.

点拨：错解形式太多，无法所有写出。这里应注意：。决定二次函数开口方

向，由图象开口向下判断出aVO,由对称轴在x=l右侧、得出-二>1,两边同

2a

乘以一2a得：

2a+b>0,当x=-1时图象在x轴下方，得出j<0,即a-b+c<Q.当x=l

时图象在x轴上方，得出y>0,即a+b+c>0,然后把P,。化简运用作差法比

较大小.

例4：如图是二次函数y=ox2+Z?%+c图象一某些，图象过点A(—3,0),对

称轴为户一1.给出两个结论：h2>4ac；5a<b.它们对的个数是

错解：〃>4QC对的，5。<人看不出，因此不对的。它仅；IV

正解：•••图象与入轴显然应有两个交点

b2~4ac>0,

h2>4ac,对的；

把％=1,户一3代入解析式得a+Z?+c=O,9a—3h+c=0,两边相加整顿得

5a—b=—c<0,即5a<b.

因而给出两个结论都对的。

点拨：窍门就在当结论浮现b2—4ac形式时，只考虑二次函数图像与x轴交

点个数；当浮现2a和b形式时只考虑符号或者值是多少，当浮现本题

或3a<2c形式时，应想到由几种等式加减或其他变形而来，需要很高创造

性，这是试券中填空、选取题中把关题。

例5：已知：二次函数产%2—4%—Q,下列说法错误是（）

A、当％<1时，y随％增大而减小

B、若图象与％轴有交点，则把4

C、当a=3时，不等式工2—4%+aVO解集是1V%V3

。、若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点（1,—2）,

则a=—3

错解：选C

正解：解：二次函数为产/一4%—“，对称轴为X=2,图象开口向上.则：

A、当％VI时，，y随％增大而减小，故选项对的；

B、若图象与％轴有交点，即△=16+4仑0则仑一4,故选项错误；

C、当。=3时一，不等式/-4%+。<0解集是1V%V3,故选项对的；

。、将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后所得函数解析式是

y=（x+3）2—4（x+3）—<7+1.

函数过点（1,—2）,代入解析式得到：16—4x4—Q+1=—2,解得用一3.故

选项对的.

故选B.

点拨：判断C项对的核心点在理解二次函数

y=j^—4x+3,与一元二次方程x2—4x+3=0关系，x2—4x+3=0根为XI=1,X2=3.满

足函数y=x2—4x+3<0x是图像在(1,0),(3,0)之间x轴下方某些，因此x2—4x+3

V0解集是1VXV3对的。

例6：对于二次函数yuaf+Zzx+c("0),咱们把使函数值等于。实数x叫

做这个函数零点，则二次函数—如+加一2(机为实数)零点个数是()

A、1B、2C、0D、不能拟定

错解：D

正解：由题意可知：函数零点也就是二次函数产O?+云+C与％轴交点

△=(-m)2—4x1x(m-2)=m2—4m+8=(m-2)2+4

V(m—2)2一定为非负数

二.(m—2)之+4>0

.,.二次函数y=%2—"吠+/加一2(m为实数)零点个数是2.

故选B.

点拨：判断二次函数产x2-mx+m-2零点个数，也就是判断二次函数产必

—mx+m-2与x轴交点个数；依照△与0关系即可作出判断.

例7：抛物线广(-4%—5与％轴交于点A、3,点P在抛物线上，若

面积为27,则满足条件点P有()yy=x2-4x-5

A、1个仄2个C、3个Q、4个

解：,抛物线产/—4x—5与％轴交于点A、8两点.

0三r2~4x~5，

1,%2=5,

.,.AB=5—(—1)=6,

面积为27,

•••点P纵坐标绝对值为2x27+6=9,

①当纵坐标为9时，

•X2—4%—5=9,

•X2—4%—14=0,

△>0,

，在抛物线上有2个点；

②当纵坐标为一9时，

x1~4x-5=一9,

△=0,

•••在抛物线上有1个点；

•••满足条件点尸有3个，故选C.

点拨：用到知识点为，x轴上点纵坐标为0;△>0,与抛物线有2个交点;

△=0,与抛物线有1个交点，△<(),与抛物线没有交点.要注意：若ABLB面

积为27o则点尸纵坐标绝对值为9,有同窗粗心写成点尸纵坐标为9浮现错误。

例8：某公司经销一种绿茶，每公斤成本为50元.市场调查发现，在一段

时间内，销售量卬(公斤)随销售单价%(元/公斤)变化而变化，详细关系式为:

w=-2x+240.设这种绿茶在这段时间内销售利润为)(元)，解答下列问题：

(1)求y与x关系式；

(2)当％取何值时，y值最大？

(3)如果物价部门规定这种绿茶销售单价不得高于90元/公斤，公司想要

在这段时间内获得2250元销售利润，销售单价应定为多少元？

错解(1)由于y=x-w=x-(―2x+240)=—2^2+240x,

因此y与％关系式为：y=—2JC2+240X.

(2)由于尸一2/+240%=—2。-60)2+7200,

因此当％=60时，y值最大.

(3)当y=2250时，可得方程一2(%—60)2+7200=2250.

解这个方程，得为=60+15而，X2=60—15而.

因此当销售单价为60+15日元，或60—15日元时，可获得销售利润2250

元.

剖析题目中明确阐明销售利润为y元，而销售单价x元/公斤中具有成本

为50元/公斤，因此本题在求销售利润时，错误地以为销售单价就是纯利润单价,

此外，求得销售单价有一种最高限价，走出这个最高限价应舍去.

正解(1)由于y=(%—50>w=(%—50)•(―2%+240)=-2/+340x—1,

因此y与％关系式为：y——2^2+340x—1.

(2)由于y=—2炉+340x-1=—2(%—85)2+2450,

因此当％=85时，y值最大.

(3)当y=2250时，可得方程一2(%—85)2+2450=2250.

解这个方程，得初=75,%2=95.

依照题意，忿=95不合题意应舍去.

因此当销售单价为75元时，可获得销售利润2250元.

点拨运用二次函数求解实际问题时，除了要能对的求解外，还要注意使

求得成果符合实际意义.

例9：无论％为什么值，函数y=ax2+hx+c(存0)值恒不不大于0条件是()

A、40,△>03、a>0,△<0C>a<0,△VO。、a<0,△<0

错解：选C

正解：欲保证x取一切实数时，函数值y恒为正，则必要保证抛物线开口

向上，且与％轴无交点；则且△<().

故选B.

点拨：当x取一切实数时，函数值y恒为正条件：抛物线开口向上，且与

X轴无交点；

当X取一切实数时，函数值y恒为负条件：抛物线开口向下，且与X轴无

交点.

例10：下列命题:

①若a+Z?+c=0,则〃-4QCK）；

②若b>a+c,则一元二次方程。炉+公+c=0有两个不相等实数根；

③若b=2a+3c,则一元二次方程ax2+bx+c有两个不相等实数根；

④若b2-4ac>0,则二次函数图象与坐标轴公共点个数是2或3.

其中对的是（）

A、只有①②③3、只有①③④C、只有①④。、只有②③④

错解：选C

正解：①加一4ac=（一。一<?）2—4ac=（a—c）2>0»对的；

②中由。〉a+c不能推出结论，错误；

@b2—4ac=4a2+9c2+12ac—4ac=4（a+c）2+5c2,由于。和，故（a+c）2与

/不会同步为0,因此从一4仍>0,对的；

④二次函数与y轴必有一种交点，而这个交点有也许跟图象与％轴交点重

叠，故对的.

故选3.

点拨：①②③小题运用移项与变形）2—4加与0大小关系解决；解决第④

小题时不要疏忽二次函数y=ax2+bx+c与y轴交点状况.

V

例11.如图，抛物线y=f+1与双曲线y=7X交点A横坐标是1,则关于工

X

不等式5k+9+1<0解集是

A.%>1B.%<-1C.0<%<1D,-1<%<0

V

错解：•.•抛物线厂炉+1与双曲线产令交点A横坐标是1,

A,

...关于x不等式k%?+1<0解集是％>1.

X

VV

正解：V—+x2+1<0<—（X24-1）

XX

...所求不等式解就是：y=X•与”=一(r+1)

像上取值范畴。

\,抛物线y=x2+1与双曲线y=£交点A横坐标

X

二.抛物线广一(^+1)与双曲线产&交点8横坐标是一1,(如右图所示)

X

...关于x不等式&+%2+1<0解集是一1V%<O.故选。

点评：本题重要考查了二次函数与不等式.解答此题时，用数形结合依照

图象解不等式。

难点在于要找产f+1关于X轴对称图像,2=—(X2+1)是个难点。

例12：关于二次函数y=o?+云+c图象有下列命题：

①当c=O时一，函数图象通过原点；

②当C>0,且函数图象开口向下时，方程^^+勿什―。必有两个不相等实

③函数图象最高点纵坐标是色叱

④当匕=0时，函数图象关于y轴对称.

其中对的命题个数是（)

A、1个3、2个C、3个。、4个

错解：选C

正解：（1）C是二次函数产分2+Ox+c与y轴交点，因此当C=0时，函数图

象通过原点；

（2）c＞0时，二次函数产分与y轴交点在y轴正半轴，又由于函

数图象开口向下，画草图可知方程如2+云+c=0必有两个不相等实根；

（3）当。＜0时,，函数图象最高点纵坐标是竺上；当。＞0时，函数图

4a

象最低点纵坐标是处生；

4a

（4）当b=0时，二次函数y=ax2+bx+c变为y=ax2+c,又由于y=ax2+c图象

与产以2图象相似，因此当。=o时，函数图象关于了轴对称.

四个都对的，故选

点拨:注意，二次函数产a/+bx+c最值：当«＜0时，函数最大值是驯二生；

-4。

当。＞0时，函数最小值是竺三

数学广角

工人王师傅有一块铁皮，拱形边沿呈抛物线状，MN=4dm,抛物线顶点处

到边MN距离是4曲/,要在铁皮上截下一矩形A8CQ,使矩形顶点3、C落在边

MN上,A、。落在抛物线上，王师傅想截下矩形铁皮周长等于8办外你能否帮

她实现？

析解：由“抛物线”联想到二次函数。如图4,以MN所在直线为％轴，点

M为原点建立直角坐标系。设抛物线顶点为尸，则/

(0,0),N(4,0),P(2,4)o用待定系数法求

得抛物线解析式为y=f2+4x。

设A点坐标为(％,y),则AZ)=8C=2x—4,

AB=CD=yo

于是l=2AB+2AD=2y+2(2x-4)

22

=2(-X+4X)+2(2X-4)=-2X+12X-8O且％取值范畴是0a<4(*2)。

若/=8,则-2X?+12X_8=8,即X2-6X+8=O。解得、=2,X2=4Q

而0<x<4(。2)。故/值不也许取8,即截下矩形周长不也许等于8力以

因此我不能帮她实现。

二次函数相应练习试题

一、选取题

1.二次函数丁=厂一4》-7顶点坐标是()

A.(2,-ll)B.(-2,7)C.(2,11)D.(2,

-3)

2.把抛物线丁二-2/向上平移1个单位，得到抛物线是()

A.y=-2(x+l)2B.y=-2(x-l)2Qy=-2x2+1D.y=-^x2-l

3.函数,34

同始终角坐标系中图象也许是图中（）

4.已知二次函数尸加+加+。（"0）图象如图所示，则下列结论：①V

C二I卞"X

a,b同号;②当％=1和％=3时,函数值相等;③4。+人=°④当丁=一2时，x-i|^/

值只能取0.其中对的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

5.已知二次函数尸"2+加+。（»°）顶点坐标（-1,-3.2）及某些图y|/

象（如图），由图象可知关于%一元二次方程加+云+。=。两个根分；个少汽

别是％=1.3和W=（）

A.-1.3B.-2.3C.-0.3

D.-3.3

6.已知二次函数）'=M+加+C图象如图所示，则点（g"c）在7]°一

（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

2x-x2=-

7.方程-“正根个数为（）

A.0个B.1个C.2个.3个

8.已知抛物线过点A（2,0）,B（-l,0）,与旷轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线解析式

为

Ay=x1-x-2By=-f+x+2

Qy=%2—%—2或y=—x2+x+2Dy=­f—x—2y=x"+%+2

二、填空题

9.二次函数y=/+公+3对称轴是x=2,贝内=o

10.已知抛物线y=-2（x+3）2+5,如果y随x增大而减小，那么x取值范畴是

11.一种函数具备下列性质：①图象过点（一1,2）,②当XV0时，函数值，随

自变量》增大而增大；满足上述两条性质函数解析式是（只写

一种即可）。

12.抛物线y=2（x-2）2-6顶点为C,已知直线尸一乙+3过点C,则这条直线与两

坐标轴所围成三角形面积为。

13.二次函数y=2d—4X-1图象是由丁=2炉+加+。图象向左平移1个单位，再向下

平移2个单位得到，则b=,c=o

14.如图，一桥拱呈抛物线状，桥最大高度是16米，跨度是40米，在线段AB

上离中心M处5米地方，桥高度是（五取3.14）.

三、解答题：

_5

15.已知二次函数图象对称轴是x+3=0,图象通过（1「6）,且与>轴交点为（0「万）.

⑴求这个二次函数解析式；

⑵当x为什么值时，这个函数函数值为0?火乙片

第15撅图

（3）当x在什么范畴内变化时，这个函数函数值>随x增大而增大?

h—Vrl----gt~

16.某种爆竹点燃后，其上升高度h(米)和时间t(秒)符合关系式2、

(0<tW2),其中重力加速度g以10米/秒2计算.这种爆竹点燃后以v0=20米/

秒初速度上升，

(1)这种爆竹在地面上点燃后，通过多少时间离地15米？

(2)在爆竹点燃后L5秒至1.8秒这段时间内，判断爆竹是上升，或是下

降，并阐明理由.

17.如图，抛物线y=c通过直线y=3与坐标轴

两个交点A、B,此抛物线与x轴另一种交点为C,抛

物线顶点为D.

(1)求此抛物线解析式；

(2)点P为抛物线上一种动点，求使SAAPC：SMCD=5:

4点P坐标。

18.红星建材店为某工厂代销一种建筑材料(这里代销是指厂家先免费提供货

源，待货品售出后再进行结算，未售出由厂家负责解决).当每吨售价为260元

时.，月销售量为45吨.该建材店为提高经营利润,准备采用降价方式进行促销.经

市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增长7.5吨.综合

考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其他费用100元.设每吨

材料售价为x（元），该经销店月利润为y（元）.

（1）当每吨售价是240元时，计算此时月销售量；

（2）求出y与x函数关系式（不规定写出x取值范畴）；

（3）该建材店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？

（4）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大."你以为对吗？请阐明理由.

练习试题答案

一，选取题、

1.A2.C3.A4.B5.D6.B7.C8.C

二、填空题、

9.匕=一410.工＜-311.如y=-2x2+4,y=2x+4等（答案不唯一）

12.113.-8714.15

三、解答题

15.（1）设抛物线解析式为、=浸+版+。,由题意可得

2a

<a+h+c=-6

5

5z

c=——a=--,b=-3,c