矩阵的分解及其应用

PAGE编号2015110156研究类型理论研究分类号O24学士学位论文（设计）Bachelor’sThesis论文题目矩阵分解及其应用作者姓名张志敏学号2011111010156所在院系数学与统计学院学科专业名称数学与应用数学导师及职称袁永新教授论文答辩时间201学士学位论文（设计）诚信承诺书中文题目：矩阵分解及其应用外文题目：MatrixDecompositionsanditsApplications学生姓名张志敏学生学号2011111010156院系专业数学与应用数学学生班级1101学生承诺我承诺在学士学位论文（设计）活动中遵守学校有关规定，恪守学术规范，本人学士学位论文（设计）内容除特别注明和引用外，均为本人观点，不存在剽窃、抄袭他人学术成果，伪造、篡改实验数据的情况。如有违规行为，我愿承担一切责任，接受学校的处理。学生（签名）：年月日指导教师承诺我承诺在指导学生学士学位论文（设计）活动中遵守学校有关规定，恪守学术道德规范，经过本人核查，该生学士学位论文（设计）内容除特别注明和引用外，均为该生本人观点，不存在剽窃、抄袭他人学术成果，伪造、篡改实验数据的现象。指导教师（签名）：年月日目录1.前言 12.矩阵分解 22.1矩阵的三角分解 22.1.1矩阵的三角分解基本概念 22.1.2三角分解的应用 72.2矩阵的满秩分解 152.2.1矩阵的满秩分解基本概念 152.2.2矩阵的满秩分解及其应用 162.3矩阵的谱分解 192.3.1矩阵的谱分解的基本概念 192.3.2矩阵谱分解的应用 222.4矩阵的奇异值分解 232.4.1矩阵的奇异值分解基本概念 232.4.2矩阵的奇异值分解的应用 243．参考文献 27湖北师范学院数学与统计学院2015届学士学位论文（设计）PAGE24矩阵分解及其应用张志敏（指导教师，袁永新教授）（湖北师范学院数学与统计学院中国黄石435002）摘要：矩阵分解是指将一个矩阵表示为结构简单或具有特殊性质的若干矩阵之积或之和。在线性代数中，借助于矩阵分解时常可用来解决各种复杂的问题。矩阵分解理论在统计学，结构动力学等专业领域也有重要的作用。本文介绍了矩阵的三角分解，矩阵的满秩分解，矩阵的谱分解和矩阵的奇异值分解以及它们的应用，并给出了求解这些分解的实例。关键词:矩阵的三角分解；矩阵的满秩分解；矩阵的谱分解；矩阵的奇异值分解中国分类号：O24MatrixDecompositionsanditsApplicationsZhangZhimin（Tutor:YuanYongxin）(CollegeofMathematicsandStatistics,HubeiNormalHuangshi,Abstract:Matrixdecompositionmeansthatamatrixisexpressedasproductorsumofseveralmatriceswithsimplestructuresorwithspecialproperties.Inlinearalgebra,itcanbeusedtosolvethecomplicatedproblems.Matrixdecompositiontheoryplaysanimportantroleinstatistics,structuraldynamicsandotherprofessionalfields.Thisarticlediscussesthetriangulardecompositionofmatrices,thefullrankdecompositionofmatrices,spectraldecompositionofmatricesandthesingularvaluedecompositionofmatrices.Someexamplesareprovidedtosolvethesematrixdecompositions.Keywords:Triangulardecomposition;Fullrankdecomposition;Spectraldecomposition;Singularvaluedecomposition矩阵分解及其应用张志敏（指导教师，袁永新教授）（湖北师范学院数学与统计学院中国黄石435002）1.前言矩阵是数学研究中一类重要的工具，有着非常广泛的应用，矩阵分解对矩阵理论及计算数学的发展起了重要作用。本文介绍了矩阵的三角分解，矩阵的满秩分解，矩阵的谱分解及矩阵的奇异值分解。对于矩阵的三角分解，本文从证明矩阵的的惟一性来求解矩阵的三角分解，最后将矩阵三角分解用于求解线性方程组。对于满秩分解，本文提出了求解满秩分解的多种方法，对于方阵可以用初等行变换和初等列变换来求解满秩分解，也可以将矩阵化为标准型然后加以求解，而对于一般矩阵只能将矩阵化为标准型来求解，矩阵的满秩分解用于求解矩阵的广义逆。对于矩阵的谱分解，本文介绍了矩阵的谱分解及其性质，并介绍了矩阵多项式的谱分解问题。对于矩阵的奇异值分解，本文介绍矩阵的奇异值分解，以及运用矩阵的奇异值来求解矩阵的Moore-Penrose广义逆。2.矩阵分解2.1矩阵的三角分解2.1.1矩阵三角分解的基本概念定义2.1设,如果存在分别是下三角矩阵和上三角矩阵使得，则称可作三角分解。定义2.2设1)如果存在单位下三角矩阵，对角矩阵，单位上三角矩阵使得，则称为矩阵的分解。2)如果存在下三角矩阵，单位上三角矩阵,使得，则称此三角分解为矩阵的克劳特分解。3)如果存在上三角矩阵，单位下三角矩阵，使得，则称此三角分解为矩阵的杜利特分解。用消元法，一个方阵总可以用行初等变换化为上三角矩阵。若只用第行乘数加到第行型初等变换能把化为上三角矩阵，则有下三角型可逆矩阵，使，从而有分解。我们知道用定理得到的分解一般不是惟一的，下面讨论分解、分解的存在性和惟一性。定理2.1阶非奇异矩阵可作三角分解的充要条件是,这里为的阶顺序主子式。证明必要性：设非奇异矩阵有三角分解,将其写成分块形式这里，和分别为，和的阶顺序主子式。首先由知，，从而，；因此。充分性：对阶数作数学归纳法，当时,=（）=（1）（）（1），结论成立。设对时结论成立，即，其中和分别是下三角矩阵和上三角矩阵。若，则由=易知和可逆。现证当时结论也成立，事实上.由归纳法原理知可作三角分解。定理2.1给出了非奇异矩阵可作三角分解的充要条件,由于不满足定理2.1的条件，所以它不能作三角分解。但。上例表明对于奇异矩阵,它还能作三角分解未必要满足定理2.1的条件。定理2.2设，如果的顺序主子式则有分解。证明:设为的阶主子矩阵，将分块为：，则为可逆矩阵，且各阶主子式非0，由定理2.1知有分解，其中和均为可逆矩阵。又因为，在所设条件下，的前行线性无关，后行是前行的线性组合，即存在，取，令与分别是下三角矩阵和上三角矩阵，满足（例如取为对角阵，取），则可以得到下三角矩阵和上三角矩阵如下：注意从而，即,有分解。另外，定理2.2中是有分解的充分条件并不必要。例如，所以有分解，但。首先指出，一个方阵的三角分解不是唯一的。杜利特分解与克劳特分解就是两种不同的三角分解，其实，方阵的三角分解有无穷多，这是因为如果是行列式不为零的任意对角矩阵,有,其中也分别是下、上三角矩阵，从而也是A的一个三角分解。因的任意性，所以三角分解不唯一。这就是的分解式不唯一性问题，需规范化三角分解。定理2.3（分解）设为阶方阵，则可以唯一地分解为的充分必要条件是的前个顺序主子式。其中,分别是单位下、上三角矩阵，是对角矩阵，,。证明：充分性对的阶数进行归纳证明所以定理对成立，设定理对成立，即，则对，将分块为其中，。设，比较两边，则有，（2.1），（2.2）,（2.3）,（2.4）由归纳假设，（2.1）式成立，由，非奇异，非奇异，从而由（2.2）式和（2.3）式可唯一确定和。又从（2.4）式可唯一求得，所以分解是存在而且唯一的。又由归纳证明过程，的阶顺序主子式所以。必要性：设有唯一的分解：把他们写成矩阵分块型比较两边便有式（2.1）-（2.4）成立。比如则有式（2.1）有于是，即为奇异阵，则式（2.2）的解不唯一，与的分解的唯一性相矛盾，因此。应该知道定理2.3的证明已给出了计算的分解的递归过程，取的一阶主子式，做分解。用式（2.1）~式（2.4）确定从而从而然后重复使用式（2.1）-（2.4）得到的顺序主子式的分解。,时即完成了的分解。推论2.1设是阶方阵,则可唯一进行杜利特分解的充分必要条件是的前个顺序主子式,,其中为单位上三角矩阵,即有并且若为非奇异矩阵,则充要条件可换为:的各阶顺序主子式全不为零,即:,。证明：由定理2.2知为阶方阵,则可唯一的进行分解的充分必要条件是的前个顺序主子式，其中,分别是单位下、上三角矩阵，是对角矩阵,,.又因为是对角阵，是单位上三角矩阵，则仍然为上三角矩阵所以推论得证。推论2.2阶方阵可唯一地进行克劳特分解的充要条件为,。若为奇异矩阵,则,若为非奇异矩阵,则充要条件也可换为,。证明：由定理2.2知为阶方阵,则可唯一的进行分解的充分必要条件是的前个顺序主子式，其中,分别是单位下、上三角矩阵，是对角矩阵，,。又因为是对角阵，是单位上三角矩阵，则仍然为上三角矩阵所以推论得证。2.1.2三角分解的应用从消元法知，当系数为三角矩阵时，线性方程组的求解很容易，因此，对一般的矩阵，它的三角分解的一个很自然的应用就是用于求解线性方程组。设的分解为,则都是系数矩阵为三角矩阵，先用自上往下的回代法求解的，再求解，即可得到原方程组的解。例2.1求三阶方阵的分解与分解。解：方法（一）第三种初等变换法（消元法）因此则故再利用初等列变换则，则方法（二）解：因为矩阵的顺序主子式 ,,。所以矩阵有惟一的分解。由式2.1~2.4可得，,,,，由题设可以得,,代入式（2.1）~(2.4)。，。，。最后求得矩阵的分解是，则，故。例2.2，求线性方程的解。解：由上题知求得矩阵的分解为，由，则的形式为，自上往下用回代法可得又的具体形式为自下而上的回代法可得这样就求得线性方程组的解向量为例2.3已知范德蒙矩阵,求的三角分解。解：由于范德蒙矩阵满足定理2.1的条件,于是有唯一的三角分解：，结合范德蒙矩阵的特点，先对范德蒙矩阵进行一系列初等行变换。用阶矩阵左乘范德蒙矩阵得，记则一般地,记,。左上角是阶单位矩阵。依次相乘有从而,其中,。(2.5)再对进行一系列初等列变换。记有一般地,记所以,.(2.6)于是其中由式(2.5)给出且为下三角矩阵；而由式(2.6)给出,为稀疏上三角矩阵。2.2矩阵的满秩分解2.2.1矩阵的满秩分解基本概念定义2.3若矩阵的行(列)向量线性无关,则称为行(列)满秩矩阵。定义2.4设是秩为的矩阵,若存在列满秩矩阵和行满秩矩阵,使得，则称为矩阵的满秩分解。定义2.5设是的矩阵，满足1)的前行中每一行至少含有一个非零元素,且每行第一个非零元素是1,而后行元素均为0；2)设中的第行的第一个非零元素1位于第列，有；3)的第，，，列构成阶单位矩阵的前列。则称为的标准型。定理2.3设为任一秩为的矩阵,则必有满秩分解,其中为列满秩阵，为行满秩阵。证明：因为的秩为,所以存在阶可逆矩阵和阶可逆矩阵,使得 若令，则为列满秩矩阵，为行满秩矩阵，且有，结论成立。定理2.4任何非零矩阵都存在满秩分解。证明：设，则可通过初等变换将化为阶梯形矩阵，即，且。于是存在有限个阶初等矩阵的乘积，使得或者。于是。将作相应的分块，，，则有。其中为列满秩矩阵，为行满秩矩阵。由于初等行变换有三种变换：1、调换两行；2、某一行乘以一个非零常数；3、某一行乘以一个非零常数加到另一行。实际上只用第三种初等变换方法就可以将其化为阶梯。.值得指出的是的满秩分解式并不是唯一的。现对任一阶可逆方阵，总有成立，且分别为列满秩矩阵与行满秩矩阵。因而上式也是的一个满秩分解式。2.2.2矩阵的满秩分解及其应用定义2.6设，若存在矩阵，使得（1）（2）（3）（4） 则称为的Moore-Penrose广义逆或加号广义逆，简称为的逆,的任意逆记为。定理2.5若矩阵存在广义逆，则的逆是唯一的。证明：设都是的逆，则与均满足逆的定义中四个条件，于是故。下面证明对任意，都有存在，并提供实际计算的一个有效方法。定理2.6任意矩阵都存在广义逆，设，的一个满秩分解为，则证明：因又知与都可逆。令,直接验证知满足广义逆定义中四个条件，即：,故是的广义阵。因的广义逆唯一，故。例2.2求矩阵的满秩分解。解:（方法一）解得,,所以,。（方法二）用行初等变换化为标准型则可知,的前两列线性无关，取出的前两列构成。因此。例2.5已知求的满秩分解。解：由此可知，的标准型中分别在第1,2列把它取为矩阵则,的简化阶梯形中非零行.例2.6求上题矩阵的M-P的逆。解：首先求得的满秩分解为故2.3矩阵的谱分解2.3.1矩阵的谱分解的基本概念定义2.7对方阵设为矩阵的个特征值，的互异的特征值集合称为矩阵的谱。定义2.8如果矩阵的每个特征值的几何重数等于它的代数重数，则称为单纯矩阵。定理2.7（可对角化矩阵的谱分解）设，的谱为则可对角化的充分必要条件是有如下分解式其中方阵，满足如下条件：（1）；（2）；（3）。证明：必要性则可相似于对角形时，则有可逆矩阵，使（2.7）首先分解对角矩阵令则满足以下性质代入式（2.7），则有。令，则具有以下性质：（1）（2.8）（2）（3）（2.9）（2.10）（2.10）式就是一个可对角化矩阵的谱分解，即可对角化矩阵可分解为个方阵的加权和。充分性：，则由（3）（2.11）又对由（2）和（1），从而即时，它为关于特征值的特征向量。由（2.12）式说明可分解为特征子空间的直和。从而则可相似于对角形。2.3.2矩阵谱分解的应用定理设矩阵，为互异的特征值，则为单纯矩阵的充分必要条件是：存在，使（1），（2），（3）。定理设矩阵，为的互异的特征值，则为单纯矩阵的充分必要条件是：存在，使（1） ，（2），（3）。例2.7设矩阵，求矩阵多项式的谱分解。解：当时带入求得。当时带入求得。由于每个特征值的几何重数等于代数重数，则矩阵为单纯矩阵则有2个互异的的特征值，，取得2.4矩阵的奇异值分解2.4.1矩阵的奇异值分解基本概念定义2.9对于，矩阵的特征值为，称正数为矩阵的奇异值，简称的奇异值。定理2.10设矩阵是矩阵的奇异值，则存在酉矩阵，，分块矩阵使其中证明：已知，设的个特征值按大小排列为对于正规矩阵，存在酉矩阵，使，将按列分块为，它的个列向量是对应于特的标准正交的特征向量。为了得到酉矩阵，首先考查中的向量组，所以是中的正交向量组又所以令则得到中标准正交向量组把它扩充为的标准正