高中数学求函数解析式经典精讲精练

求函数解析式常用的方法待定系数法它适用于所求函数类型〔如一次函数，二次函数，正、反例函数等〕及函数的*些特征求其解析式的题目。其方法：所求函数类型，可预先设出所求函数的解析式，再根据题意列出方程组求出系数。例1：是二次函数，假设且试求的表达式。解析：设(a0)，由得c=0，由得，，整理得得小结：我们只要明确所求函数解析式的类型，便可设出其函数解析式，设法求出其系数即可得到结果。类似的f(*)为一次函数时，可设f(*)=a*+b(a≠0)；f(*)为反比例函数时，可设f(*)=(k≠0)；f(*)为二次函数时，根据条件可设①一般式：f(*)=a*2+b*+c(a≠0)②顶点式：f(*)=a(*-h)2+k(a≠0)③双根式：f(*)=a(*-*1)(*-*2)(a≠0)例1设是一次函数，且，求解：设，则〔二〕换元法用来处理不知道所求函数的类型，且函数的变量易于用另一个变量表示的问题。它主要适用于复合函数的解析式，但使用换元法时要注意新元定义域的变化，最后结果要注明所求函数的定义域。例2：求的解析式。解析：如果把视为，那左边就是一个关于的函数,只要在等式中，用表示,将右边化为的表达式，问题即可解决。令小结：①f[g(*)]是关于*的函数，即f[g(*)]=F(*)，求f(*)的解析式，通常令g(*)=t，由此能解出*=(t)，将*=(t)代入f[g(*)]=F(*)中，求得f(t)的解析式，再用*替换t，便得f(*)的解析式。注意：换元后要确定新元t的取值*围。(三)配凑法复合函数的表达式，要求的解析式时，假设表达式右边易配成的运算形式，则可用配凑法，使用配凑法时，要注意定义域的变化。例3：求的解析式。分析：可配凑成可用配凑法，解：由，令，则，即，当然，上例也可直接使用换元法，令，则得，即，由此可知，求函数解析式时，可以用配凑法来解决的，有些也可直接用换元法来求解。例4：求.解析：由，令，由即得即：实质上，配凑法和换元法一样，最后结果要注明定义域。例2，求的解析式解：，(四)消元法，此方法的实质是解函数方程组。条件中，有假设干复合函数与原函数混合运算，则要充分利用变量代换，然后联立方程组消去其余局部。例5：设满足求的解析式。分析：要求可消去,为此，可根据题中的条件再找一个关于与的等式，通过解方程组到达消元的目的。解析：①，显然，,将换成得②由消去，得例6设为偶函数，为奇函数，又试求的解析式解，又=1\*GB3①，用替换得：，即=2\*GB3②，解=1\*GB3①=2\*GB3②联立的方程组，得，小结：消元法适用于自变量的对称规律。互为倒数，如f(*)、；互为相反数，如f(*)、f(-*)，通过对称代换构造一个对称方程组，解方程组即得f(*)的解析式。〔五〕赋值法其方法：将适当变量取特殊值，使问题具体化、简单化，依据构造特点，从而找出一般规律，求出解析式。例5：求。解析：令则令则小结：①所给函数方程含有2个变量时，可对这2个变量交替用特殊值代入，或使这2个变量相等代入，再用条件，可求出未知的函数，至于取什么特殊值，根据题目特征而定。②通过取*些特殊值代入题设中等式，可使问题具体化、简单化，从而顺利地找出规律，求出函数的解析式。六、代入法：求函数关于*点或者*条直线的对称函数时，一般用代入法。例4：函数的图象关于点对称，求的解析式解：设为上任一点，且为关于点的对称点则，解得：，点在上，，把代入得：，整理得，递推法：假设题中所给条件含有*种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式。例8设是定义在上的函数，满足，对任意的自然数都有，求解，不妨令，得：，又=1\*GB3①分别令=1\*GB3①式中的得：，将上述各式相加得：，五、待定系数法例5.二次函数的二次项系数为a，且不等式的解集为〔1，3〕，方程有两个相等的实根，求的解析式。解：因为解集为〔1，3〕，设，所以①，由方程，得②，因为方程②有两个相等的实根，所以，即解得，又，将①得。六、函数性质法利用函数的性质如奇偶性、单调性、周期性等求函数解析式的方法。例6.函数是R上的奇函数，当的解析式。解析：因为是R上的奇函数，所以，当，，所以七、反函数法利用反函数的定义求反函数的解析式的方法。例7.函数，求它的反函数。解：因为，反函数为八、“即时定义〞法给出一个“即时定义〞函数，根据这个定义求函数解析式的方法。例8.对定义域分别是的函数，规定：函数假设，写出函数的解析式。解：九、建模法例9.用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成〔如图1〕，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？解：设容器高为*cm，容器的容积为。求的导数，得，当，则为增函数；当，则为减函数；因此，在定义域〔0，24〕内，函数只有当时取得最大值，其最大值为函数专题之解析式问题解法二：三【配凑法〔整体代换法〕】假设的表达式，欲求的表达式，用换元法有困难时，〔如不存在反函数〕可把看成一个整体，把右边变为由组成的式子，再换元求出的式子。【例题】f(*-1)=-4*，解方程f(*+1)=0解1：f(*-1)==-2(*-1)-3，∴f(*)=-2*-3f(*+1)=-2(*+1)-3=-4，∴-4=0，*=±2解2：f(*-1)=-4*，∴f(*+1)=f[〔*+2)-1]=-4(*+2)=-4，∴-4=0，*=±2解3：令*-1=t+1，则*=t+2，∴f(t+1)=-4(t+2)=-4题5．假设，且，求值.练六．利用给定的特性求解析式.题6．设是偶函数，当*＞0时，，求当*＜0时，的表达式.练习6．对*∈R，满足，且当*∈[－1，0]时，求当*∈[9，10]时的表达式.七．归纳递推法题7．设，记，求.八．相关点法题8．函数，当点P(*，y)在y=的图象上运动时，点Q()在y=g(*)的图象上，求函数g(*).九．构造函数法题9．假设表示*的n次多项式，且当k=0，1，2，…，n时，，求.训练例题〔4〕，求；〔5〕，求；解：〔4〕∵，∴〔或〕．令〔〕，则，∴，∴．(8)甲地到乙地的高速公路长1500公里，现有一辆汽车以100公里／小时的速度从甲地到乙地，写出汽车离开甲地的距离S(公里)表示成时间t(小时)的函数。解：∵汽车在甲乙两地匀速行驶，∴S＝100t，∵汽车行驶速度为100公里／小时，两地距离为1500公里，∴从甲地到乙地所用时间为t＝小时答：所求函数为：S＝100tt∈[0，15](9)*乡镇现在人均一年占有粮食360千克，如果该乡镇人口平均每年增长1.2％，粮食总产量平均每年增长4%，则*年后假设人均一年占有y千克粮食.求出函数y关于*的解析式。解：设现在*乡镇人口为A，则1年后此乡镇的人口数为A(1＋1.2％)，2年后的此乡镇人口数为A〔1＋1.2％〕2…经过*年后此乡镇人口数为A(1＋1.2％)*。再设现在*乡镇粮食产量为B，则1年后此乡镇的粮食产量为B(1＋4％),2年后的此乡镇粮食产量为B〔1＋4％〕2…，经过*年后此乡镇粮食产量为B〔1＋4％〕*，因*乡镇现在人均一年占有粮食为360kg，即＝360，所以*年后的人均一年占有粮食为y，即y＝〔*∈N*)〔10〕我国是水资源比拟贫乏的国家之一，各地采取价风格控等手段来到达节约用水的目的，*地用水收费的方法是：水费＝根本费＋超额费＋损消耗．假设每月用水量不超过最低限量时，只付根本费8元和每月每户的定额损消耗元；假设用水量超过时，除了付同上的根本费和定额损消耗外，超过局部每付元的超额费。每户每月的定额损消耗不超过5元。该市一家庭今年第一季度的用水量和支付费如下表所示：月份用水量水费〔元〕1239152291933根据上表中的数据，求、、。解：设每月用水量为，支付费用为元，则有由表知第二、第三月份的水费均大于13元，故用水量15，22均大于最低限量，于是就有，解之得，从而再考虑一月份的用水量是否超过最低限量，不妨设，将代入〔2〕式，得，即，这与〔3〕矛盾。∴。从而可知一月份的付款方式应选〔1〕式，因此，就有，得。〔