直线方程及圆的方程

一、直线的方程：概念：倾斜角〔１〕倾斜角的*围：，这样定义的倾斜角可以使平面上的任意一条直线都有唯一的一个倾斜角．〔２〕特殊位置：当时，直线与轴平行；当时，直线与轴垂直．２．直线的斜率．〔１〕斜率的概念当倾斜角不是时，它的正切值叫做这条直线的斜率，记作：．说明：当时，直线没有斜率〔但是有倾斜角〕；当时，直线有斜率，且是一个确定的值．由此可知斜率是用来表示倾斜角不等于的直线对于轴的倾斜程度的量．〔２〕斜率公式：，其中是直线上两点的坐标．例1：两点，直线的倾斜角是直线AB倾斜角的一半，求直线的斜率．３．直线方程的五种形式：〔１〕点斜式：；〔２〕斜截式：；〔３〕两点式：；〔４〕截距式：；〔５〕一般式：不同时为．例２．过点作直线分别交轴正半轴于两点，当的面积最小时，求直线的方程．练习：例2把直线l的方程*-2y+6=0化成斜截式，求出直线l的斜率和在*轴与y轴上的截距，并画图．４．两条直线的位置关系：〔１〕平行〔不重合〕的条件：；．〔２〕两条直线垂直的条件：；．〔３〕直线到直线的角公式为：．〔４〕直线与直线夹角的公式：．〔5〕点到直线的距离公式：．〔7〕过两直线的交点的直线系方程为参数，不包括在内〕注：两点P1(*1,y1)、P2(*2,y2)的距离公式：.特例：点P(*,y)到原点O的距离：定比分点坐标分式。假设点P(*,y)分有向线段,其中P1(*1,y1),P2(*2,y2).则特例，中点坐标公式；重要结论，三角形重心坐标公式。直线的倾斜角〔0°≤＜180°〕、斜率:过两点.当〔即直线和*轴垂直〕时，直线的倾斜角＝，没有斜率=2\*GB2⑵两条平行线间的距离公式：设两条平行直线，它们之间的距离为，则有.注；直线系方程1.与直线：A*+By+C=0平行的直线系方程是：A*+By+m=0.(m∊R,C≠m).2.与直线：A*+By+C=0垂直的直线系方程是：B*-Ay+m=0.(m∊R)3.过定点〔*1,y1〕的直线系方程是：A(*-*1)+B(y-y1)=0(A,B不全为0)4.过直线l1、l2交点的直线系方程：〔A1*+B1y+C1〕+λ(A2*+B2y+C2〕=0(λ∊R〕注：该直线系不含l2.7.关于点对称和关于*直线对称：=1\*GB2⑴关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等.=2\*GB2⑵关于*直线对称的两条直线性质：假设两条直线平行，则对称直线也平行，且两直线到对称直线距离相等.假设两条直线不平行，则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角的角平分线.=3\*GB2⑶点关于*一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上〔方程=1\*GB3①〕，过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直〔方程=2\*GB3②〕=1\*GB3①=2\*GB3②可解得所求对称点.注：=1\*GB3①曲线、直线关于一直线〔〕对称的解法：y换*，*换y.例：曲线f(*,y)=0关于直线y=*–2对称曲线方程是f(y+2,*–2)=0.=2\*GB3②曲线C:f(*,y)=0关于点(a,b)的对称曲线方程是f(2a–*,2b–y)=0.例1：直线(3-a)*+(2a-1)y+7=0与直线(2a+1)*+(a+5)y-6=0互相垂直，求a的值。例2：两条直线2-2y-2=0与*+y-4=0夹角的正弦值为例3.点〔0，5〕到直线y=2*的距离为例4两直线l1：*＋m2y＋6＝0，l2：〔m－2〕*＋3my＋2m＝0，当m为何值时，l1与l2例5过点〔－1，3〕且垂直于直线*－2y+3=0的直线方程为例6.三直线a*+2y+8=0，4*+3y=10，2*－y=10相交于一点，则a的值是二、简单的线性规划：１．二元一次不等式表示平面区域：２．线性规划的有关概念：①线性约束条件；②线性目标函数；③线性规划问题；④可行解、可行域和最优解；例1：目标函数z=*+2y，在可行域内，求z的最小值，并求出此时的*,y的值。1、假设直线的倾斜角为，则〔〕A．B.C.D.不存在2、经过两点的直线的倾斜角为，则的值等于〔〕ABC0D23、过点〔，4〕作直线使点M〔1，2〕到直线距离最大，则直线的方程为〔〕ABCD4、如果且，则直线不通过〔〕A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限5、经过点A〔1，2〕，且在两坐标轴上的截距相等的直线共有〔〕A1条B2条C3条D4条6、直线的倾斜角为，则的值是〔〕A或4B或2C4或0D0或7、直线与直线关于点对称，则直线的方程是〔〕ABCD8、直线与平行，则实数的值为〔〕A.1B.-1或1C.－1D.09、过点〔1，〕，倾斜角是直线的倾斜角的2倍的直线方程是。10、无论a取何实数，直线〔1＋2a〕*＋〔3a－2〕y＋9a＋1＝0〔a〕必经过定点，这个定点的坐标是______________。11、点N〔3，1〕，点A、B分别在直线和上，则的周长的最小值是。12、设三条直线和围成直角三角行，则的值是。13.求直线关于直线对称的直线的方程。14.直线过两条直线的交点，且与A〔2，3〕，B〔－4，5〕两点的距离相等，求直线的方程。三、圆的方程：1.圆的标准方程：以点为圆心，为半径的圆的标准方程是.特例：圆心在坐标原点，半径为的圆的方程是：.注：特殊圆的方程：①与轴相切的圆方程②与轴相切的圆方程③与轴轴都相切的圆方程3.圆的一般方程：.当时，方程表示一个圆，其中圆心，半径.当时，方程表示一个点.当时，方程无图形〔称虚圆〕.注：=1\*GB3①圆的参数方程：〔为参数〕.=2\*GB3②方程表示圆的充要条件是：且且.=3\*GB3③圆的直径或方程：〔用向量可征〕.4.点和圆的位置关系：给定点及圆.①在圆内②在圆上③在圆外5.直线和圆的位置关系：设圆圆：；直线：；圆心到直线的距离.①时，与相切；附：假设两圆相切，则相减为公切线方程.②时，与相交；附：公共弦方程：设有两个交点，则其公共弦方程为.③时，与相离.附：假设两圆相离，则相减为圆心的连线的中与线方程.由代数特征判断：方程组用代入法，得关于〔或〕的一元二次方程，其判别式为，则：与相切；与相交；与相离.注：假设两圆为同心圆则，相减，不表示直线.6.圆的切线方程：圆的斜率为的切线方程是过圆上一点的切线方程为：.①一般方程假设点(*0,y0)在圆上，则(*–a)(*0–a)+(y–b)(y0–b)=R2.特别地，过圆上一点的切线方程为.②假设点(*0,y0)不在圆上，圆心为(a,b)则，联立求出切线方程.7.求切点弦方程：方法是构造图，则切点弦方程即转化为公共弦方程.如图：ABCD四类共圆.的方程…①又以ABCD为圆为方程为…②…③，所以BC的方程即③代②，①②相切即为所求.例1：假设直线a*+by-3=0与圆切于点P(-1,2)，则ab积的值为例2：两圆求的公共弦所在的直线方程例3：实数*,y满足求：1、三角形ABC中，A(－2，1)，B(1，1)，C(2，3)，则kAB，kBC顺次为〔〕A－，2B2，－1C0，2D0，－2、斜率为－，在y轴上的截距为5的直线方程是〔〕A*－2y=10B*+2y=10C*－2y+10=0D*+2y+10=03、经过(1，2)点，倾斜角为135˚的直线方程是〔〕Ay－2=*－1By－1=－(*－2)Cy－2=－(*－1)Dy－1=*－25、如果直线a*+2y+2=0与3*－y－2=0直线平行，则系数a=〔〕A－3B－6C－D6、点(0，10)到直线y=2*的距离是〔〕A2B5C3D7、到点C(3，－2)的距离等于5的轨迹方程为〔〕A(*－3)2+(y+2)2=5B(*－3)2+(y+2)2=25C(*+3)2+(y－2)2=5D(*+3)2+(y－2)2=258、圆的方程为*2+y2－4*+6y=0，以下是通过圆心直线的方程为〔〕A3*+2y+1=0B3*－2y+1=0C3*－2y=0D39、设0≤θ≤，则参数方程所表示的曲线是〔〕A直线B圆C半圆D四分之一圆10、点A(3，－2)，B(－5，4)，以线段AB为直径的圆的方程为〔〕A(*+1)2+(y－1)2=25B(*－1)2+(y+1)2=100C(*－1)2+(y+1)2=25D(*+1)2+(y－1)2=10011、直线3*+4y+2=0与圆*2+y2+4*=0交于A，B两点，则线段AB的垂直平分线的方程是〔〕A4*－3y－2=0B4*－3y－6=0C4*+3y+6=0D4*+3y+8=012、直线3*－y+4=0与6*+my+n=0是一个面积为的圆的两条平行切线，则m，n的值分别为〔〕A－2，－1B－1，－2C2，－1D－2，113、直线3*－4y－5=0和(*－1)2+(y+3)2=4位置关系是()A相交但不过圆心B相交且过圆心C相切D相离14、(*－2y+1)(*+y－3)<0表示的平面区域是〔〕**33yo-1*33yo-1AB**33yo-1*33yo-1DC15、点P(1，5)关于直线*+y=0的对称点的坐标是〔〕A(5，1)B(1，－5)C(－1，5)D(－5，－1)16、过点P(2，3)且在两坐标轴有相等截距的直线方程是〔〕A*+y－5=0B*+y+5=0C*+y－5=0或*+y+5=0D*+y－5=0或3*－2y=017、两条直线2*+3y－k=0和*－ky+12=0的交点在y轴上，则k的值是〔〕A－24B6C±6D2418、圆C1：*2+y2=4和圆C2：*2+y2+4*－4y+4=0关于直线l对称，则直线l的方程为〔〕A*+y=0B*+y=2C*－y=2D*－y=－19、点(3，1)和(－4，6)在直线3*－2y+a=0的两侧，则a的取值*围是〔〕Aa<－7或a>24Ba=7或24C－7<a<24D－24<a<720、如果实数*，y满足*2+y2=4，则3y－4*的最大值是〔〕A10B8C6D21、经过两点A(－m，6)、B(1，3m)的直线的斜率是12，则m22、一直线经过点A(2，－3)，它的倾斜角等于直线y=*的倾斜角的2倍，则该直线的方程为。23、过点A(2，3)且与直线2*+y－5=0垂直的直线方程为。24、直线y=3*－1与3y+*－12=0的夹角为。25、圆心为C(3，－5)，且与直线*－7y+2=0相切的圆的方程为。26、圆的方程为*2+y2=25，则过点(－3，4)的圆的切线方程为。27、直线4*+3y=10和2*－y=10，〔1〕直线a*+2y+8=0过两条直线的交点，求a的值；〔2〕过两条直线的交点，且与直线4*－y+5=0平行的直线方程。〔3〕假设直线l经过三条直线的交点，且和直线5*+2y+3=0夹角为45˚，求直线l的方程。28、直线l1：3*－4y=2和l2：3*－4y+2=0。〔1〕判断两条直线的位置关系，假设相交求出夹角；假设平行，求出两条直线的距离。〔2〕当a为何值时，点P(a，6)到直线l1的距离不小于4？