2022-2023学年山东省菏泽市东明县东明县高一年级下册学期5月月考数学试题【含答案】

2022-2023学年山东省菏泽市东明县东明县高一下学期5月月考数学试题一、单选题1．已知向量，，，若，则实数（

）A．2 B．1 C． D．【答案】C【分析】先写出的坐标，再由可求得参数.【详解】∵向量．∴，∵，∴，解得．故选：C．2．在中，若，，则形状为（

）A．直角三角形 B．等腰三角形C．等边三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【分析】首先利用正弦定理化边为角求出的值，再结合，以及三角形的内角和可求出，进而可得正确选项.【详解】因为,所以,因为所以，所以，可得或，又因为，,所以所以，，，所以为等边三角形.故选：C.3．已知复数，若是纯虚数，则的共轭复数（

）A． B． C．1 D．【答案】B【分析】根据已知条件，结合纯虚数、共轭复数的概念，即可求解．【详解】解：∵复数是纯虚数，∴，且，即，∴，∴.故选：B.4．如图，一个底面半径为的圆锥，其内部有一个底面半径为a的内接圆柱，且此内接圆柱的体积为，则该圆锥的体积为（

）.A． B． C． D．【答案】B【分析】作出该几何体的轴截面，求出内接圆柱的高，利用三角形相似求出圆锥的高，即可求的其体积.【详解】作出该几何体的轴截面如图示：AB为圆锥的高，设内接圆柱的高为h，而,因为内接圆柱的体积为，即，则，由于,故，则,即，故，所以圆锥体积为，故选：B5．“平面内存在无数条直线与直线平行”是“直线平面”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据线面平行的判定定理和性质定理，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由平面内存在无数条直线与直线平行，则或，所以充分性不成立；反之：若直线平面，设过直线的平面与平面相交，且交线设为，由线面平行的性质定理，可得，则在平面内与直线平行的无数条直线都平行与直线，所以必要性成立，所以“平面内存在无数条直线与直线平行”是“直线平面”的必要不充分条件.故选：B.6．在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】平移直线至，将直线与所成的角转化为与所成的角，解三角形即可.【详解】如图，连接，因为∥，所以或其补角为直线与所成的角，因为平面，所以，又，，所以平面，所以，设正方体棱长为2，则，，所以.故选：D7．已知菱形中，，沿对角线AC折叠之后，使得平面平面，则二面角的余弦值为（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】采用建系法，设中点为，以方向为轴，方向为轴，方向为轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，由向量夹角的余弦公式即可求解.【详解】因为平面平面，设中点为，，则平面，，故以方向为轴，方向为轴，方向为轴，建立空间直角坐标系，设菱形边长为2，则，，，显然是平面的一个法向量，设平面的法向量为，则满足，即，令，可得，故，则，即二面角的余弦值为.故选：D8．在三棱锥中，三条棱，，两两垂直，且，若点，，，均在球的球面上，则到平面的距离为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由条件可将三棱锥补成一个正方体，三棱锥的外接球的球心即为正方体的中心，由正方体性质求到平面的距离.【详解】因为三棱锥中，三条棱，，两两垂直，且，故可将三棱锥补成一个边长为2的正方体，如图：

因为点，，，均在球的球面上，所以为三棱锥的外接球的球心，又三棱锥的外接球的球心即为正方体的外接球的球心，即正方体的中心，所以为正方体的中心，所以，所以，连接，交平面与点，因为，，，平面，所以平面，平面，所以，同理可证，又，平面，所以平面，所以平面，所以，又，所以，又，，，所以，所以，又，所以，所以到平面的距离为.故选：B.二、多选题9．下列命题正确的是（

）A．若向量满足，则为平行向量B．已知平面内的一组基底，则向量也能作为一组基底C．模等于个单位长度的向量是单位向量，所有单位向量均相等D．若是等边三角形，则【答案】ABD【分析】由平行向量定义可知A正确；由基底的要求可知B正确；由相等向量定义知C错误；由向量夹角的定义知D正确.【详解】对于A，，方向相反，是平行向量，A正确；对于B，为一组基底，不共线，也不共线，也可以作为一组基底，B正确；对于C，虽然单位向量模长相等，但方向可以不同，故不是所有单位向量均相等，C错误；对于D，为等边三角形，，D正确.故答案为：ABD.10．已知为虚数单位，复数满足，则下列说法错误的是（

）A．复数的模为 B．复数的共轭复数为C．复数的虚部为 D．复数在复平面内对应的点在第一象限【答案】ABC【分析】利用可将化简，求出复数，再根据复数模长求法，共轭复数定义，复数的几何意义求解即可.【详解】，，，z的虚部为，故选ABC．11．下列关于平面向量的说法中正确的是（

）A．设，为非零向量，则“”是“”的充要条件B．在中，C．设向量，，若与的夹角为钝角，则实数D．点是所在平面中的一点，若，则点是的重心【答案】ABD【分析】利用向量数量积的运算可判断A，利用余弦定理可判断B，利用数量积定义可判断C，利用向量的线性运算可判断D.【详解】对于A，因为所以“”是“”的充要条件，故A正确；对于B，由余弦定理可得：，则由正弦定理可得：，故B正确；对于C，向量，，若与的夹角为钝角，则，故实数且，故C不正确；对于D，点是所在平面中的一点，若，，取的中点，所以，所以，故点是的重心，故D正确.

故选：ABD12．正方体棱长为，若是空间异于的一个动点，且，则下列正确的是（

）A．平面B．存在唯一一点，使C．存在无数个点，使D．若，则点到直线的最短距离为【答案】ACD【分析】点为动点，确定点的运动轨迹是解题的关键，将条件的异面垂直转化为线面垂直，找到的垂面，即可确定点的轨迹，对于A，由面面平行进行判断，对于B，利用反证法和平行的传递性进行判断，对于C，将异面垂直转化为线面垂直，找到的垂面进行判断，对于D，由得到点也在球面上，所以点是球面与平面的并线，考查球截面的问题，类比圆的问题进行解决【详解】解：对于A，因为平面，所以点在平面上，又因为平面∥平面，所以平面，所以A正确，对于B，假设存在点，使得，因为∥，所以∥，这与在平面外矛盾，所以假设不成立，即点不存在，所以B错误，对于C，如图，因为平面，平面平面，所以当点在直线上时，恒有，所以C正确，如图，若，则点在以为球心，（）为半径的球面上，设平面，则点到平面的距离为，所以点到平面的距离为，所以平面被球面截得的圆的半径为，且圆心为中点，设为，则在等边三角形中，到直线的距离为，所以点到直线的距离的最小值为，所以D正确，故选：ACD三、填空题13．正三棱锥中，，过点A作一截面与侧棱分别交于点，，则截面周长的最小值为．【答案】【分析】将三棱锥的侧面沿,,剪开，得到如图所示的五边形，连接，分别交,于,，可得截面周长的最小值为线段的长.【详解】将三棱锥的侧面沿,,剪开，得到如图所示的五边形，连接，分别交,于,，再将展开图围成三棱锥的侧面，得到，即为周长最小的截面三角形，由此可得截面周长的最小值等于线段的长.正三棱锥中，，所以，又，所以等腰中，，即截面周长的最小值为.故答案为：.

14．已知为的重心，且，则.【答案】【分析】根据三角形中线向量公式和重心性质直接求解即可.【详解】如图所示，取中点，连接，则三角形中线向量公式得，又因为为的重心，故，因此，故.故答案为:15．已知圆台的轴截面面积为10，母线与底面所成的角为，则圆台的侧面积为．【答案】【分析】作出圆台的轴截面图形，根据其几何特征写出轴截面面积的表达式，再根据圆台的侧面积公式直接代入求解即可.【详解】如图所示，依题意，设下底面圆半径为，上底面圆半径为，圆台的高为，过点作交于点，在中，，，，，则圆台轴截面的面积，则圆台的侧面积.故答案为：.16．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E是棱AB的中点，F是侧面AA1D1D内一点，若EF∥平面BB1D1D，则EF长度的范围为【答案】【分析】由面面平行的判定定理和性质定理确定F的位置，有此可求EF长度的范围.【详解】过作，交于点，交于，则底面∵平面，平面，平面平面，又平面

平面又平面平面，平面∴∵为中点

为中点，则为中点即在线段上，，则线段长度的取值范围为：，故答案为：.四、解答题17．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，平面ABCD．（1）求证：//平面；（2）求证：．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【分析】（1）由底面为菱形可得到，再根据，从而得出；（2）需证明，则需证明，即需证明垂直于平面内两条相交直线，从而得证．【详解】（1）在四棱锥中，底面为菱形,所以，，.（2）连结.,，，

,，,.【点睛】本题考查立体几何中线面垂直、平行的判定定理及性质，需利用特殊四边形的性质，如本题中底面为菱形，则可得到对边平行且相等及对角线互相平行．18．如图，正方体的棱长为，连接，，，，，，得到一个三棱锥．求：(1)三棱锥的表面积；(2)三棱锥的体积．【答案】(1)(2)【分析】（1）直接按照锥体表面积计算即可；（2）利用正方体的体积减去三棱锥，，，的体积即可.【详解】（1）∵是正方体，∴，∴三棱锥的表面积为．（2）三棱锥，，，是完全一样的．且正方体的体积为，故．19．如图，在四棱锥中，且.(1)证明：平面平面；(2)若，（ⅰ）求四棱锥的体积；（ⅱ）求直线与平面所成的角的大小．【答案】(1)证明见解析(2)（ⅰ）；（ⅱ）【分析】（1）利用面面垂直的判定定理证明；（2）根据线面垂直的判定定理证明得底面，再根据四棱锥的体积公式求出体积，最后用线面角的定义求解角即可.【详解】（1）∵，所以，所以，∵，所以，平面,平面，∴平面，∵平面，所以平面平面．（2）

（ⅰ）取的中点，连接，由于，故，由平面在平面内，所以，相交于，且均在平面内，所以平面，得中,，，又平面在平面内，所以，又因为，且，所以四边形是矩形，所以四棱锥的体积（ⅱ）由（ⅰ）可知为直线与平面所成的角，在等腰直角和等腰直角中，，于是，即直线与平面所成的角为．20．在四棱锥中，底面是矩形，侧棱底面分别是的中点，．

(1)求证：平面；(2)若，求点到平面的距离．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据线面垂直，得出线线垂直，再由线线垂直推导线面垂直；（2）利用等体积法求点到平面的距离.【详解】（1）证明：因为底面底面，所以．又因为是矩形，所以．因为，平面，所以平面，因为平面，所以．因为为中点，所以，又因为，平面，所以平面．（2）若，∴，则，因为是直角三角形，是的中点，则，因为底面底面，所以，又因为是矩形，所以，因为，平面，所以平面，因为平面，所以，所以，，因为点到平面的距离为，设点到平面的距离为，由，得，，故点到平面的距离为．21．设为关于的方程（）的虚根，为虚数单位.（1）当时，求、的值；（2）若，在复平面上，设复数所对应的点为，复数所对应的点为，试求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）将代入方程，，利用复数相等，得出关于的方程组，即可求解；（2）设代入方程方程，求出复数所对应的点的轨迹，根据，求出范围，利用几何法，即可求出结论.【详解】（1）为方程（）的虚根，，解得；（2）设且是的虚根，，，，，复数所对应的点在单位圆上（去掉，复数所对应的点为，所以的范围为.故答案为:.【点睛】本题考查复数相等求参数及轨迹方程，以及复数几何意义，考查用几何法求定点到圆上点的距离，属于中档题.22．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)求角A的值；(2)已知a＝4．（i）求△AB