福建省厦门一中2022-2023高二上学期10月月考数学试卷及答案

厦门一中2022-2023高二上学期10月考试数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知空间向量，，若，则实数（）A. B. C. D.2.已知直线的方向向量，平面的一个法向量，则直线与平面所成角为（）A. B. C.或 D.或3.已知直线与两坐标轴分别交于，两点，则以为直径的圆周长为（）A. B. C. D.4.已知，，，则点C到直线的距离为（）A.2 B. C. D.5.已知两点分别在两条互相垂直的直线和上，且中点坐标为，则的长为（）A. B. C. D.6.不论实数取何值时，直线，都过定点，则直线关于点的对称直线方程为（）A. B. C. D.7.在平面直角坐标系内，，，动点在直线上，若圆过，，三点，则圆面积的最小值为（）A. B. C. D.8.如图，在长方体中，，，记为棱的中点，若空间中动点满足，则点的轨迹与侧面相交所形成的曲线长为（）A. B. C. D.二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，部分答对得2分，答错得0分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．9.在空间直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，则（）A.点关于轴对称点的坐标B.点关于平面的对称点坐标为C.点到原点距离是D.直线与轴所在直线夹角的余弦值为10.下列说法中正确是（）A.已知可构成空间向量的一组基底，那么也可以构成空间向量的一组基底B.将直线绕点逆时针旋转得到的直线与关于轴对称C.过且斜率不存在的直线方程是D.直线的一个方向向量是11.直线与两坐标轴围成三角形的面积记为，则（）A.的最小值是B.对于所有的，方程有个不等实数解C.存在唯一实数，使D.的值域是12.著名数学家华罗庚曾说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：对于形如代数式，可以转化为平面上点与的距离加以考虑．结合综上观点，对于函数，下列说法正确的是（）A.的图象是轴对称图形B.的值域是C.先递减后递增D.方程有且仅有一个解三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．13.直线与夹角的大小为______.14.由曲线围成的图形的面积为_______________．15.在空间直角坐标系中，过点且法向量为的平面方程为；过点且方向向量为的直线方程为．根据上述知识，若直线是平面与的交线，则的一个方向向量为_________．与平面所成角的正弦值为_________．16.已知空间向量，，两两夹角均为，且，.若向量，满足，，则的最大值是_________．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在平面直角坐标系中，已知点，．（1）求以AB为直径的圆的方程；（2）若直线经过点A，且点B到直线的距离为，求直线的一般式方程．18.在中，边上的高所在直线的方程为，的平分线所在直线方程为，若点的坐标为.（1）求点的坐标；（2）求的面积.19.如图，三棱锥中，，，，，是中点，.（1）以为基底表示；（2）求异面直线，所成角的余弦值.20.如图，四边形为平行四边形，点在上，，且.，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且．（1）求证：平面平面；（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离．21.如图，在底面是菱形的四棱锥中，，，，点在线段上，且满足.（1）求平面与平面夹角的余弦值；（2）在线段是否存在一点，使得平面，若存在，请指出点位置，若不存在，请说明理由.22.已知圆过点，，且圆心在直线上.（1）求圆的方程；（2）设点在圆上运动，点，记为过，两点的弦的中点，求的轨迹方程；（3）在（2）的条件下，若直线与直线交于点，证明：恒为定值.

厦门一中2022-2023学年（上）高二10月考试数学1.C2.B3.C4.B5.A6.D7.A8.D9.BCD10.BD11.BCD12.ACD13.14.15.①.（与此共线的向量都正确）；②.16.17.（1）由知，故此圆以线段中点为圆心，以为半径，其标准方程可写为．（2）因为直线经过点，可设其为，由点B到直线距离为3，可知，解得或，故直线的一般式方程为或18.（1）点同时在边上的高与的平分线上，故其为此两直线的交点，联立，得：，由边上的高斜率为，可知直线斜率为，因为，故直线的方程为①，由斜率为及的平分线为，可知直线的斜率为，故其方程为②，由①②联立可知.（2）由（1）可知，点到直线的距离，又，故.19.（1）由可知，，因此，.（2）依题意可知，，，，又，，故，，所以，因此，异面直线所成角的余弦值为.20.（1）证明：因为，所以，因为平面，所以平面，因为平面，所以，因为，所以，因为，所以在中，由余弦定理得，所以，所以由勾股定理逆定理得，因为平面，所以平面，因为平面，所以平面平面，（2）以为原点，所在的直线为轴，在平面过点作的垂线为轴，所在的直线为轴，建立空间直线坐标系，如图所示，设，则，平面的一个法向量，由直线与平面所成角的正切值为，可知，解之得，设平面的法向量，则取，得，故点到平面的距离21.（1）底面是菱形，，，，由勾股定理逆定理知：，同理，，平面，，平面，以为原点，AD为y轴，过点A且与AB垂直的线为x轴，建立如图的空间直角坐标系，则，，，，，，，设平面的一个法向量，，则，令，得，易知平面的一个法向量，，∴平面与平面所成角的余弦值是.（2）设，，又，则，由（1）知，平面的法向量，当平面时，，，，，即为中点时，，且平面，满足平面.22.（1）圆心在上，可设圆心，，，解得：，，故圆的方程为：.（2）法1：由圆的几何性质得即，所以，设，则，所以，即的轨迹方程是.法2：设过且斜率为的直线为，与圆的方程联立，消去得，因为在圆的内部，故此二次方程必有两不等实根，故