2021年广东地区中考数学真题与模拟试题汇编19 实际问题与二次函数【含答案】

专题19：实际问题与二次函数-2021年广东地区中考数学真题试卷与模拟

试题精选汇编

一、单选题

1.（2021.广东中考真题试卷）设。为坐标原点，点4、8为抛物线y=f上的两个动点，且Q4J_O8.连

接点A、B,过。作OC_LAB于点C,则点C到y轴距离的最大值（）

A.—B.受C.—D.1

222

A

设A（“，a2）,B（b,按）,求出AB的解析式为y=（a-1）x+l,进而得到0。=1,由/OCB=90。可知，C点

a

在以0。的中点E为圆心，以「=,。。=，为半径的圆上运动，当C”为圆E半径时最大，由此即可求解.

22

解：如下图所示：过C点作y轴垂线，垂足为“，A8与x轴的交点为。，

->

设A（a,解），BS，%,其中厚0,厚0,

・；OAJ_OS

**^OA'k（）B=-1，

•1

ab

即ab=—l,

^ABa+b=a-~

a-ba

设AB的解析式为：y=（a--）x+m,代入A（a,tz2）,

a

解得：m=L

***OD—1,

OCLAB,即NOCB=90,

...C点在以0。的中点E为圆心，以r=，0。=，为半径的圆上运动，

22

当CH为圆E的半径时，此时CH的长度最大，

故CH的最大值为r=,，

2

故选:A.

【点评】本题考查了二次函数的性质，圆的相关知识等，本题的关键是求出AB与），轴交点的纵坐标始终为

1，结合NOC3=90，由此确定点E的轨迹为圆进而求解.

2.（2021.广东广州市.九年级二模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2,2）,点P（利冷在直线

y=-x+2上运动，设△APO的面积为S,则下列图象中，能反映S与加的函数关系的是（）.

C

根据题意得出临界点P点横坐标为1时，AAPO的面积为0,设直线y=-X+2与），轴交于点B,则B（0,

2）,连接AB,利用割补法，得到S与胆的函数，进而即可得到答案.

解：丁点尸（加，〃）在直线y=r+2上运动，

二当机=1时，〃=1,即P点在直线A。上，此时5=0,

设直线>=一工+2与），轴交于点3,则8（0,2）,连接A3,

:点A的坐标为（2,2）,8（0,2）,

，AABO是等腰直角三角形，且

y，

当m<\时，SAAPO=-x2x2-—X2X777X2=2-2/77,

22

，S与机是一次函数关系,

同理：当机>1时，Si,APO=2m-2,故S与加是一次函数关系,

只有选项C符合题意.

故选：C.

【点评】此题主要考查了动点问题的函数图象，根据题意，得到S与，〃的函数解析式，是解题的关键.

3.（2021•广东佛山市•九年级二模）如图，矩形ABC。中，AB=4，8C=6,点尸从3点出发，沿

37方向移动，连接DP，过P作PQLDP交边A8于点。，设点P走的路程为X，线段的

长度为V,则y与x之间函数图象大致为（）

B

分两种情况：当点P在3c边上时，当点尸在CO边上时，分别求出y关于x的函数表达式，进而即可得到

答案.

・・•PQVDP.

.\Z2+Z3=90°,

.\Z1=Z3,

XVZB=ZC,

：・ABPQS£DP,

.•.必=吗即：.上,

DCCP46-x

i319

y——x~H—x=—(x—3)~H—(0<x<6),

■42474--

当点P在CO边上时，y=CP=x-6(6<x<10),

，符合题意的图像是：

【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质，二次函数和一次函数的图像，掌握分类讨论思想方法以

及相似三角形的判定和性质，是解题的关键.

4.（2021•广东深圳市•九年级二模）如图，AABC为直角三角形，NC=90°,3C=2cm,NA=30°,

四边形DE尸G为矩形，DE=26cm，£V=6cm，且点C、B、E、产在同一条直线上，点5与点E

重合.Rt4ABC以每秒1cm的速度沿矩形。EFG的边E尸向右平移，当点。与点尸重合时停止.设

Rtz\A3C与矩形DEFG的重叠部分的面积为yen?,运动时间邪.能反映yen?与xs之间函数关系的

A

由勾股定理求出48、AC的长，进一步求出△ABC的面积，根据移动特点有三种情况，分别求出每种情况

y与x的关系式，利用关系式的特点（是一次函数还是二次函数）就能选出答案.

解：已知NC=90°,BC=2cm,NA=30°,

,AB=4,

由勾股定理得：AC=26，

•.•四边形。EFG为矩形，NC=90°,

DE=GF=273>ZC=Z£)£F=90°,

AC//DE，

此题有三种情况：（1）当0<x<2时，AB交DE于H，

如图

,/DE//AC,

EHBE

~AC~~BC

EHxxl

解得：EH=>5x

所以y=g•也x-x-乎'X1,

，抛物线开口向上；

所以所选答案c错误，答案D错误,

（2）当2Wx<6时，如图,

止匕时y=；x2x2-73=2\/3,

（3）当6<xW8时，如图，设AABC的面积是n，/JW的面积是52,

BF^x-6,与（1）类同，同法可求f7V=，

y=$1f，

=；x2x26—gx(x—6)x(&-6百)

=-^-x2+65/3x-16\^>

2

抛物线开口向下，

所以答案A正确，答案B错误，

故选：A.

【点评】本题主要考查了一次函数，二次函数的性质三角形的面积公式等知识点，解此题的关键是能根据

移动规律把问题分成三种情况，并能求出每种情况的y与x的关系式.

5.（2021•广东佛山市•九年级一模）如图，AABC中，々ACB=90°，AB=10,tanA=:点P是斜边AB上

一个动点.过点P作PQ，AB,垂足为P,交边AC（或边CB）于点Q,设AP=x,AAPQ的面积为y,则y与

x之间的函数图象大致为（）

p

分点Q在AC上和BC上两种情况进行讨论即可.

解：当点Q在AC上时,

vtanA=5，AP=x

•••PQ=3，

・二y二；xAPxPQ二;xxx；x="

当点Q运动到点C时，CQ：AP=g,

根据勾股定理可得AP=8,

当x=8时，y=^x2=16.

当点Q在BC上时，如下图所示：

；PQ1AB)ZACB=90。

^ACB=NQPB

•••△ABC-△QBP

•*-tanQ=tanBAC

VAP=x,AB=10,tanA=l

二BP=10-x,PQ=2BP=20-2x,

.,.y=：・AP・PQ=：xxx(20-2x)=-x2+10x

...该函数图象前半部分是抛物线开口向上，后半部分也为抛物线开口向下.

故选:B.

【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，函数图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解

决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力.

6.(2021•广东中山市•九年级一模)如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返

回，点P在运动

过程中速度不变，则以点B为圆心，线段BP长为半径的圆的面积S与点P的运动时间t的函数图象大致为

解析动点P的运动过程，采用定量解析手段，求出S与t的函数关系式，根据关系式可以得出结论：

不妨设线段AB长度为1个单位，点P的运动速度为1个单位，则：

(1)当点P在A—B段运动时，PB=l-t,S=/r(l—(0<t<l)；

(2)当点P在B—A段运动时，PB=t-1,S=;r(t—(l<t<2).

综上所述，，整个运动过程中，S与t的函数关系式为：S=»(t-17(0<t<2),这是一个二次函数，其图

象为开口向上的一段抛物线.结合题中各选项，只有B符合要求.故选B.

7.(2021•广东华侨中学九年级二模)如图，已知的半径为3,弦CZ)=4,A为。。上一动点(点A与

点C、。不重合)，连接A。并延长交CO于点£,交O0于点B,P为CO上一点，当NA~B=120°时,

则的最大值为()

c

B

D.12

C

如图（见解析），先利用解直角三角形可得再根据圆周角定理可得NC=NP8O,然后根据

2

CPFP

相似三角形的判定与性质可得一=—,从而可得FP-BP=CP-DP,设CP=x,从而可得DP=4-x,

BPDP

最后利用二次函数的性质求解即可得.

解：如图，延长3P交于点/，连接

QAB为。。的半径，

:.ZAFB^90°,

♦.•ZAPB=120。，

ZAPF=180°-ZAPJB=60°,

在用AAEP中，FP^APcosZAPF=-AP,即AP=2fP,

2

:.APBP=2FPBP,

由圆周角定理得：/C=/PBD,

NC=NPBD

在ACEP和△3DP中，＜

4CPF=/BPD

:.卫FP〜由DP,

CPFP

：.—=——，即FPBP=CPDP,

BPDP

设FP-BP=y,CP=x,则OP=4-x,且0<x<4,

y=x（4—x）=-（x-2）2+4,

由二次函数的性质可知，在0<x<4内，当x=2时，y取最大值，最大值为4,

即的最大值为4,

则AP•3P的最大值为2x4=8,

故选：C.

【点评】本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、二次函数的几何应用等知识点，通过作辅助

线，构造相似三角形和直角三角形是解题关键.

8.（2021•广东深圳市•南山学校九年级一模）如图，正方形ABCD的边长为“，点E在边上运动（不与

点A,2重合），NZMM=45°,点尸在射线40上，且=C77与A£>相交于点G,连接£C、

EF、EG、则下列结论：

①NECF=45。；②ZiAEG的周长为（/+与a；③BE?+DG?=EG2;④AE4F的面积的最大值是

1/；⑤当时，G是线段AO的中点.其中正确结论的个数是（）

83

B

①正确.如图1中，在BC上截取连接EH.证明△E4E丝△EHC（SAS）即可解决问题.

②③错误.如图2中，延长A。到H,使得DH=BE,则△CBE乌（SAS）,再证明△GCE丝△GC”

（S4S）即可解决问题.

④正确.设BE=x,则AE=a-x,AF=0x,构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题.

⑤正确.当=时，设。G=x,^EG=x+-a,利用勾股定理构建方程可得x=0.5a即可解决问题.

33

解：如图1中，在5c上截取B4=BE,连接EH.

图1

•:BE=BH,/EBH=90。,

:.EH=6BE,

VAF=&BE,

:・AF=EH,

丁ZDAM=NEHB=45。,/BAD=90。,

二ZFAE=ZEHC=135°,

■:BA=BC,BE=BH,

：.AE=HCf

AAME^AE/7C(SAS),

:・EF=EC,/AEF=NECB,

/ZECH+ZCEB=90°,

・・.ZAEF+ZCEB=90°,

二ZFEC=90°,

：・NECF=NEFC=45。,故①正确，

如图2中，延长AD到"，使得。H=8E,则△(S4S),

二/ECB=/DCH,

二ZECH=N8CO=90°,

二NECG=NGCH=45。,

VCG=CG,CE=CH,

:・/\GCEqAGCH(SAS),

:*EG=GH,

"：GH=DG+DH,DH=BE,

:.EG=BE+DG,故③错误，

:./XAEG的周长=AE+EG+AG=AE+A”=A£)+DH+AE=AE+EB+AO=AB+AO=2d故②错误，

设BE=x,则AE=a-x,AF=血x,

SAAEF=—•(a-x)x=---ax=--(x2-ax+—a2-—a2)=--(x~—a)2+-a2,

222244228

V--<0,

2

.,.x=La时，△AEF的面积的最大值为一a?.故④正确，

28

当时，设。G=x,则EG=x+l。，

33

12

在R/AAEG中，则有(x+-a)2=(a-x)2+(—a)2,

33

解得：x——,

2

：,AG=GD,故⑤正确，

...①④⑤正确，正确结论的个数是3个，

故选B.

【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的应用等知识，解题的关键是学会

添加常用辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题.

9.(2021・广东广州市•西关外国语学校九年级一模)如图，RSABC中，ZC=90°,AB=5cm,AC=4cm,

点P从点A出发，以lcm/s的速度沿A-C向点C运动，同时点Q从点A出发，以2cm/s的速度沿A—B—C

向点C运动，直到它们都到达点C为止.若△APQ的面积为S(cn?),点p的运动时间为t(s),则S与t

的函数图象是()

分两种情况讨论：当啖出《时，过。作交AC于点Z),Swo=；xAPxQ。；当\＜如4时,

2/2

s—q—qq

^HAPQ—“必8c“ACPQM8Q.

解：①当啖巾。时，点。在AB上,

2

；-AQ=2r,AP-t)

过。作QO,4c交AC于点

AP/C

RtAABC中，NC=90°，AB=5cm,AC=4cm，

:.BC-3cm,

.QD_AQ

BC~BC

•,3=$,

SMPQ=；xAPxQ0=；xrx|?=|t,

②当*<4,4时，点。在BC上，

2

111))

SSSS--

&APQ=AABC-&CPQ^BQ=-x3x4--x(4-z)x(8-2r)--x4x(2z-5)=-r+4?=-(f-2)+4,

综上所述，正确的图象是O.

故选：D.

【点评】本题考查动点运动，三角形面积.3点是。点运动的分界点，将运动过程分两种情况进行讨论是

解题的关键.

10.（2021.广东佛山市.九年级一模）如图，AABC中，NACB=9（y，/A=300，AB=16,点P是斜

边AB上任意一点，过点P作PQLAB,垂足为P,交边AC（或边CB）于点Q,设AP=x,AAPQ的面

积为y,则y与x之间的函数图象大致是（）

【分析】首先过点C作CD1AB于点D,由^ABC中，NACB=90。，ZA=30°,可求得NB的度数与AD

的长，再分别从当0空12时与当12<xW16时，去分析求解即可求得答案.

【详解】VZACB=90°,ZA=30°,AB=16,

AZB=60°,BC=—AB=8,

2

.../BCD=30°,

/.BD=—BC=4,

2

；.AD=AB-BD=12.

如图1,当0WADW12时，AP=x,PQ=AP4an30°=—x,

3

.•.y」x.@x=直系

236

如图2：当12<xW16时，BP=AB-AP=16-x,

PQ=BP.tan60°=73(16-x),

1/Q

(16-x)=--^-x2+8A/^X>

,该函数图象前半部分是抛物线开口向上，后半部分也为抛物线开口向下,

故选D.

本题考查了动点问题的函数图象，运用分类讨论思想、结合图形进行解题是关键.

二、填空题

11.(2021.广东佛山市.九年级二模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线丁=4炉-31一2与x轴相交于A、

22

B两点，与＞轴交于点C,点P是抛物线上位于直线8C下方一动点，当NPCB=2NABC时，点P的坐

作点C关于x轴的对称点C',连接BC',则/ABC=NABC',从而得BC'〃CP,利用待定系数法，先求

出直线BC的解析式，再求出直线CP的解析式，进而即可求解.

解：作点C关于x轴的对称点C,连接则/ABC=NABC',

：.ZCBC'^2ZABC,

rZPCB=2ZABC,

：.ZPCB=ZCBC',

：.BC//CP,

1,3

:抛物线丁=万/一5》—2与x轴相交于A、B两点,与y轴交于点c,

••.C的坐标为：(0,-2),B(4,0),

AC(0,2),

设直线8C'的解析式为：y=kx+b,

r1

4k+b=Qk=--

把C'(0,2),8(4,0)RAy=kx+b,得：＜，°，解得：12,

，直线8C'的解析式为：产一;x+2,

:BC'//CP,

•••设直线CP的解析式为：y=-^x+m,

把C(0,-2)代入产---x+m,得：m=-2f

2

二直线CP的解析式为：尸一;。2,

113

•'«---x-2=—x9---x—2,解得：xt=2,%2=0(舍去)，

222

，P(2,-3).

故答案是：(2,-3).

【点评】本题主要考查二次函数与一次函数图像的综合，作点C关于x轴的对称点C',熟练掌握待定系数

法，是解题的关键.

12.（2021・广东广州市•九年级一模）如图，在矩形A8C。中，AB=4,AD=5,E是C£＞边上一点，连结AE,

将矩形A8CD沿AE折叠，顶点。恰好落在BC边上点尸处，延长AE交8c的延长线于点G,连结。G.点

M、N分别是线段AG,0G上的动点（与端点不重合），且NOMN=ND4M,以下结论：①CE=2；②。M2

=DN・AF；③DV最小值为1；④若AOMN为等腰三角形，则点M的位置有三种不同情况.其中正确的是

A

FC6

②③

3

设EC=a,则。£=EE=4—。，由勾股定理可求出CE=二；证出AF=OG,证明ADMNSAOGM,

2

由相似三角形的性质可得出DM2=DN.AR；设A〃=x,DN=y,证明AADMSAGMN,由相似三

AnAA4

角形的性质得出——=——，可得出y与x的函数关系式，由二次函数的性质可得出答案；由题意可知

MGGN

4DNM丰4DMN,ADWN为等腰三角形，有MN=£W或MN=M。两种情况.

解：•••四边形ABC。为矩形，

AD=BC=5,AB=CD^4,

:.ZB=ZBCD=90。,

由翻折可知：AD=AF=5,DE=EF,

设EC=a,则。E=EF=4—a,

在直角△ABF中，BF=yjAF2+AB2=3>

:.CF=BC-BF=5—3=2,

在直角AEFC中，则有(4—a)2=q2+22,

3

解得：a=—,

2

3

EC=~,

2

故①错误；

:四边形A8C。是矩形，

AD//BG,

，ZDAG^ZAGB,

ZDAG^ZGAF,

，NGAF=ZAGF,

.\AF=FG,

:AD-AF,

：.AD=FG,

:AD\\FG,

，四边形AFGD是平行四边形，

，AF=DG,

•：ZDMN=NDAG=ZDGM,ZMDN=NGDM,

：.4DMNS4DGM，

.DMDG

:.DM。=DN*DG，

，DM2=DN»AF，

.•.②正确;

如图，设AM=x,DN=y,

-：AD//CG,

.ADDE

''~CG~~CE

5

•J_=l

**CG~3,

2

；.CG=3,

:.BG=BC+CG=8,

在直角AABG中，AG7AB2+BG?=次+82=4石，

在直角△OCG中，DG=《DC2+CG2=5,

•：AD=DG^5,

:.ZDAG=ZAGD,

•：NDMG=NDMN+2NMG=NDAM+ZADM,NDMN=ADAM,

ZADM=ZNMG,

：.xADMsqMN,

.ADAM

5_x

4#>-x5-y

，x=26时，y由有最小值1,

的最小值是1,

故③正确；

由②可知NDNM=ZDMG,

；N不与点G重合，

/DNMHZDMN，

:.DM手DN,

,AOMN为等腰三角形时，

有MN=DN或MN=两种情况，

故④不正确.

故②③.

【点评】本题考查了矩形的性质，翻折变换，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识,

解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题.

13.(2021•广东肇庆市•九年级一模)如图，抛物线y=1N-4与x轴交于4、B两点,尸是以点C(0,3)

4

为圆心，2为半径的圆上的动点，。是线段出的中点，连接OQ,则线段OQ的最小值是.

2

连接8P,如图，先解方程上r-4=0得A(-4,0),B(4,0),再判断OQ为△A8P的中位线得到OQ

4

=^BP,利用点与圆的位置关系，连接8c交圆于尸时，尸8最小，然后计算出8P的最小值即可得到线段

。。的最小值.

解：连接BP,如图,

当y=0时，一x2-4=0,解得为=4,X2=-4,则A(-4,0),B(4,0),

4

:。是线段出的中点，

・,.OQ为△48P的中位线，

，0。=口尸，

当B尸最小时，OQ最小，

连接8c交圆于尸时，PB最小,

•.皿="+42=5,

的最小值=5-2=3,

3

.•.线段OQ的最小值为一.

2

故3.

2

【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点

到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系.也考查了三角形中位线.

14.(2021•广东深圳市•九年级其他模拟)如图，在△ABC中，AB=AC=5,BC=4岔,D为边AB上一动点(B

点除外)，以CD为一边作正方形CDEF,连接BE,则ABDE面积的最大值为

如图，过点A作AHJ_BC于H,过点E作EM_LAB于M,过点C作CNLAB于N,根据等腰三角形的性

质以及三角形的面积可求出CN=4,继而根据勾股定理求出AN=3,从而求得BN的长，然后证明

△EDM四△DCN,根据全等三角形的性质可得EM=DN,设BD=x,则DN=8-x,继而根据三角形的面积公

19

式可得相1^=一5G-4)~+8(0<%<5),根据二次函数的性质即可求得答案.

如图，过点A作AHLBC于H,过点E作EMLAB于M,过点C作CNLAB于N,

VAB=AC=5,BC=4V5.AH1BC,

；.BH弓BC=2逐，

•••AH二JAB?-BIP=Vs,

:SAABC=-BC»AH=-AB・CN,

22

BP-X4A/5XV5=-x5xC7V,

22

，CN=4,

在RsCAN中，ZANC=90°,；.AN=7AC2-CTV2=3-

；.BN=BA+AN=8,

••♦四边形CDEF是正方形，

AZEDM+ZCDN=ZEDC=90°,ED=CD,

*/ZCDN+ZNCD=90°,

.\ZEDM=ZDCN,

又：ZEMD=ZDNC=90°,

」.△EDM丝ZXDCN,

，EM=DN,

设BD=x,则DN=8-x,

/.SABDE=_BD・EM=]X(8-X)=-Q(X-4)+8(0<xK5),

V--<0,

2

***SABDE的最大值为8,

故答案为8.

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数的应用等,

综合性质较强，有一定的难度，正确添加辅助线，熟练运用相关知识是解题的关键.

三、解答题

15.（2021•广东深圳市•九年级一模）某公司销售一种商品，成本为每件20元，经过市场调查发现，该商品

的日销售量y（件）与销售单价x（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表：

销售单价X（元）406080

日销售量y（件）806040

（1）求y与x的关系式；

（2）若物价部门规定每件商品的利润率不得超过100%,设日利润为w元，求公司销售该商品获得的最大

日利润；

（3）若物价部门规定该商品销售单价不能超过4元，并且由于某种原因，该商品每件成本变成了之前的2

倍，在日销售量y（件）与销售单价x（元）保持（1）中函数关系不变的情况下，该商品的日销售最大利

润是1500元，求a的值.

（1）y=-x+120；（2）1600元；（3）“=70.

（1）设函数的表达式为>=后+4利用待定系数法解题；

（2）设公司销售该商品获得的最大日利润为卬元，利用总利润=单利x销售量列函数关系式，化为顶点解

析式，根据二次函数的增减性解题即可；

（3）当卬城大=1500时，解得x的值，再由x的取值范围分两种情况讨论①a<80或②於80时:根据二次

函数的增减性解题即可.

（1）设函数的表达式为了=丘+匕，

[40%+。=80

将（40,80）、（60,60）代入上式得：，，八，解得

60Z+6=60

k=-1

',工=120，

故y与x的关系式为y=-x+120；

C2)公司销售该商品获得的最大日利润为卬元，

则w=(x—20)y—(x—20)(—x+120)——x2+140x-2400——(x—70)2+2500,

Vx-20>0,-x+120>0,x-20<20xl00%,

，20W烂40,

V-KO,故抛物线开口向下，故当x<70时，卬随x的增大而增大，

.•.当x=40(元)时，”的最大值为1600(元)，

故公司销售该商品获得的最大日利润为1600元；

(3)w=(x-20x2)(-x+120)

=-x2+160%-4800

=-(X-80)2+1600

当卬圾大=1500时，一(彳一80)2+1600==1500,解得xi=70,X2—90,

Vx-2x20>0,：.x>40,又：烂a,.\40<A-<a.

,有两种情况,①a<80时，即40<x<a,

在对称轴左侧，”随x的增大而增大，

.•♦当x=a=70时，卬或大=1500,

②定80时，即40。9,

在409目范围内w最大=1600r1500,

，这种情况不成立，

综上所述，a—10.

【点评】本题考查二次函数的实际应用，涉及一次函数的应用、待定系数法解一次函数的解析式等知识，

是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.

16.(2021•广东佛山市•九年级月考)如图，在直角三角形ABC中，NC=90°,AC=40,BC=30"、AABC

的内接矩形CDEF.设。E=x,求x取何值时矩形的面积最大？

设矩形8律为S,证明A4)ESAACB,利用相似比得到x：30=(40-8):40,则用x表示出CO,

120-4x

再利用矩形的面积公式得到5=x-------------,然后利用二次函数的性质解决问题.

解：设矩形COEE为S,

:四边形CDE/7为矩形,

二DE//BC,

:•AADES^ACB，

ADE:BC^AD:AC,即x:30=(40-CD):40,

120-4x42

S—x------------=—(x—15)~+300,

33

当x=15时，S有最大值，最大值为300.

即x取15时矩形的面积最大.

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共

角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相

似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系；也考查了矩形的性质和二次函数的性质.

17.（2021•广东阳江市.九年级一模）某花店用4500元购进一批花卉和其他植物共2000株进行栽培，已知

花卉幼苗每株2元，其他植物幼苗每株3元.

（1）购进花卉和其他植物幼苗各多少株？

（2）花店将栽培后的花卉和其他植物全部搭配成500个桌面装饰盆栽.若每个盆栽以15元销售，则可以

全部卖完；若每个盆栽涨价1元，则花店每天少销售10个.在不考虑其他费用的情况下，每个盆栽的售价

为多少时利润最高？最高利润是多少？

（1）购进花卉幼苗1500株，其他植物幼苗500株；（2）售价37元时利润最高为7840元

（1）设购进花卉幼苗工株，其他植物幼苗丁株.根据题意可列出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y

即可.

（2）由题意可求出每个盆栽的成本.设每个盆栽的售价为。元时，利润为卬元，即可列出w关于a的二次

函数解析式，求出其最值即可.

（1）设购进花卉幼苗x株，其他植物幼苗》株.依题意，得:

x+y=2000

2x+3y=4500'

x=1500

解得＜

7=500

故购进花卉幼苗1500株，其他植物幼苗500株.

（2）每个盆栽的成本为：4500+500=9（元）.

设每个盆栽的售价为。元时，利润为卬元，则

vv=（a-9）［500-10（fl-15）］

=-10（矿-74a+585）

=-10（"37>+7840.

故当a=37时，卬有最大值，最大值为7840元.

【点评】本题考查二元一次方程组和二次函数的实际应用.根据题意找出等量关系是解答本题的关键.

18.（2021•广州大学附属中学九年级一模）某超市购进一批时令水果，成本为10元/千克，根据市场调研发

现，这种水果在未来30天的销售单价m（元/千克）与时间x（天）之间的函数关系式为〃?=1X+20（1WJCK30

2

且x为整数），且其日销售量y（千克）与时间x（天）之间的函数关系如图所示：

（1）求每天销售这种水果的利润W（元）与x（天）之间的函数关系式；

（2）问哪一天销售这种水果的利润最大？最大日销售利润为多少？

1,45

（1）W=——x2+—x+650（1WXW30且1为整数）；（2）第22或23天，最大利润为903元；

22

CD由题意设销售数量y=履+"把（10,55）,（26,39）代入函数解析式，可得y=-x+65,再利用总利润

等于销售数量N千克乘以每千克水果的利润（加-10）元，从而可得答案；

1,45

（2）利用（1）中的二次函数解析式W=——x2+—x+650,结合1KXW30且x为整数，利用二次函数

22

的性质求解最大值即可.

解：（1）由题意设销售数量y=乙+"

把（10,55）,（26,39）代入函数解析式;

\0k+h=55

262+人=39'

k=—\

解得：，

b=65’

y=-x+65,

.•,W=y(?/z-10)=(-x+65)^1x+20-10j

i45

=——x2+—x+650(1KXW30且X为整数);

22

(2),/W=--x2+—x+650,

22

•••抛物线的对称轴为:

v«=_l<0,1WXW30且％为整数，

2

当x=22或x=23时，W取得最大值，

最大值为：W=（—22+65）[；x22+lo]=43x21=9O3元.

【点评】本题考查的是一次函数与二次函数的应用，二次函数的性质，掌握利用二次函数的性质求解最大

利润是解题的关键.

19.（2021•广东深圳市♦九年级一模）在2020年新冠肺炎抗疫期间，小明决定在淘宝上销售一批口罩.经市

场调研：某类型口罩进价每袋为20元，当售价为每袋25元时，销售量为250袋，若销售单价每提高1元,

销售量就会减少10袋.

（1）直接写出小明销售该类型口罩销售量y（袋）与销售单价x（元）之间的函数关系式—；每天所得

销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式

（2）若小明想每天获得该类型口罩的销售利润2000元时，则销售单价应定为多少元？

（3）若每天销售量不少于100袋，且每袋口罩的销售利润至少为17元，则销售单价定位多少元时，此时

利润最大，最大利润是多少？

（1）y=-10%+500,w=-1Ox2+700x-10000；（2）30元或40元；（3）销售单价定位37元时，

此时利润最大，最大利润是2210元.

（1）根据“若销售单价每提高1元，销售量就会减少10袋，当销售单价为x元时，销售量为

[250—10（x—25）]袋”，即可得出y关于x的函数关系式，然后再根据销售利润w（元）等于销售数量乘

以每袋利润可得销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；

（2）代入w=2000,建立一元二次方程，解方程求出x的值，由此即可得出结论；

（3）根据题意先求解销售单价x的范围，利用配方法将w关于x的函数关系式变形为：

卬=—10（x—35『+2250,根据二次函数的性质即可解决最值问题.

解：(1)根据题意得，y—250—10(JC—25)=—10x+500；

则犷=(x-20)(-10x+500)=-10/+700万一10000,

故y=-10x+500,卬=-10x2+700x-10000.

(2)Vw=2000,

二-10x2+700%-10000=2000.

.1.x2-70x+1200=0,

.-.(x-3O)(x-4O)=O,

解得：x,=30,X2=40,

答：销售单价应定为30元或40元，小明每天获得该类型口罩的销售利润2000元;

-10^+500>100

(3)根据题意得,

龙一20217

.♦.X的取值范围为：37<x<40,

:函数w=-I。/+700%一10000=-10(X-35)2+2250,

对称轴为x=35,

,."a=-10<0,

当374尤W40,y随X的增大而减小，

/.当x=37时,w最大值=2210.

答：销售单价定位每袋37元时，此时利润最大，最大利润是2210元.

【点评】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，一元一次不等式组的应用，一元二次方程的解法,

关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，掌握利用二次函数的性质求最值是解题的关键.

20.(2021.广东深圳市.九年级二模)红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文

化.小明在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用3120元购进甲灯笼与用4200元购进乙灯笼的数量相同，已

知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多9元.

(1)求甲、乙两种灯笼每对的进价；

(2)经市场调查发现，乙灯笼每对售价50元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2

对：物价部门规定其销售单价不高于每对65元，设乙灯笼每对涨价x元，小明一天通过乙灯笼获得利润

y元.

①求出y与x之间的函数解析式；

②乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？

(1)26,35；(2)@y=-2x2+68x+1470；②15,2040.

1)设甲种灯笼单价为x元/对，则乙种灯笼的单价为(x+9)元/对，根据题意列出分式方程即可求解；(2)

①根据y=(50+X-35)(98-2x)=-2x2+68x+1470,②根据二次函数的对称轴与物价部门规定其销售单

价不高于每对65元，即可求出最大利润.

解：（1）设甲种灯笼单价为x元/对，则乙种灯笼的单价为（x+9）元/对，由题意得:

31204200

xx+9

解得x=26,

经检验，x=26是原方程的解，且符合题意，

/.x+9=26+9=35,

答：甲种灯笼单价为26元/对，乙种灯笼的单价为35元/对.

（2）©y=（50+X-35）（98-2x）=-2x2+68x+1470,

答：y与x之间的函数解析式为：y=-2x2+68x+1470.

②：a=-2<0,

b

二函数y有最大值，该二次函数的对称轴为：x=----=17,

2a

物价部门规定其销售单价不高于每对65元，

x+50<65,

.,.x<15,

：x<17时，y随x的增大而增大，

.,.当x=15时，y圾大=2040.

答：乙种灯笼的销售单价为15元时，一天获得利润最大，最大利润是2040元.

【点评】此题主要考查分式方程与二次函数的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系进行求解.

21.（2021•广东深圳市•九年级三模）某商家经销一种绿茶，用于装修门而已投资3000元，已知绿茶每千克

成本50元，在第一个月的试销时间内发现，销量卬（kg）随销售单价x（元/kg）的变化而变化，满足函

数关系式叩=-2x+240,若该绿茶的月销售利润为y（元）（销售利润=单价x销售量-成本-投资）

（1）求y与x之间的函数关系式（不必写出变量x的取值范围）.并求出x为何值时，y的值最大？

（2）若在第一个月里，按使），获得最大值的销售单价进行销售后，在第二个月里受物价部门干预，销售单

价不得高于90元，要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1700元，那么第二个月里应该确

定销售单价为多少元？

（1））=-2（x-85）2-550,当x=85时，y的值最大为-550元；（2）每千克75元

。）根据题意可以得到y与x之间的函数关系式，然后将函数关系式化为顶点式，即可得到y的最大值；

（2）根据第一问可以得到第一个月获得的最大利润，然后根据题意，即可得到相应的方程，从而可以得到

第二个月里应该将销售单价定为多少.

解：（D由题意可得，

y与x的函数关系式为：产（x-50）•w-3000=050）•（-2x+240）-3000=-2^+340%-15000；

V>=-2x2+340x-15000=-2（x-85）2-550,

...当x=85时，y的值最大为-550元.

(2)..•在第一个月里，按使y获得最大值的销售单价进行销售所获利润为-550元，

，第1个月还有550元的投资成本没有收回.

要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1700元，即产2250才可以，

:.050)•(-2x+240)=2250,

解得，xi=75,及=95.

根据题意，及=95不合题意应舍去.

答：当销售单价为75元时，可获得销售利润2250元，即在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到

1700元.

【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的函数解析式，会将函数解析式化

为顶点式，求函数的最值，可以根据实际问题确定问题的答案.

22.(2021.广东惠州市.九年级二模)为迎接国庆节，某商店购进了一批成本为每件30元的纪念商品.经调

查发现，该商品每天的销售量》(件)与销售单价X(元)满足一次函数关系，其图象如图所示.

(1)求该商品每天的销售量>与销售单价X的函数关系式；

(2)若商店按不低于成本价，且不高于60元的单价销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天

获得的利润卬(元)最大？最大利润是多少？

(1)y=-2x+160；(2)销售单价定为55元时，该商店每天获得的利润最大，最大利润是1250元.

(1)将点(30,100)、(45,700)代入一次函数表达式，即可求解；