2021年广东省高州市中考数学模拟试卷（附答案）

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2021年广东省高州市中考数学模拟试卷（附答案）

注意事项：

1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2.请将答案正确填写在答题卡上

一、单选题

1.已知反比例函数的图象经过点（2,-4）,那么这个反比例函数的解析式是（）

2288

B.y=---c.y=

X

下列四个几何体中，主视图与左视图相同的几何体有（

①正方体②圆柱③圆锥④球

A.4个B.3个C.2个

3.现有4条线段，长度依次是2、4、6、7,从中任选三条，能组成三角形的概率是（）

1133

A.-B.-C.-D.一

4254

4.下列命题中，假命题是（）

A.矩形的对角线相等B.矩形对角线交点到四个顶点的距离相

等

C.矩形的对角线互相平分D.矩形对角线交点到四条边的距离相等

5.若关于x的一元二次方程伙-l）f+x+l=。有两个实数根，则上的取值范围是（）

,5

A.k<—B.k>-C.且人工1D.左且kwl

44

6.如图，在A4BC中,O、E分别是AB和AC的中点，S四边形放初=15，则治穴=（）

A.30B.25C.22.5D.20

7.将抛物线y=/向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得的抛物线

为()

A.y=(x+3)2+5B.y=(x-3)~+5C.y=(x+51+3

D.y=(x-5)~+3

8.如图，经过原点。的尸与X、y轴分别交于A、5两点，点C是劣弧OB上一点，

则NACB=()

A.80°B.90°C.100°D.无法确定

9.如图，在A3C中，/C=90。，设/A,ZB,NC所对的边分别为a",c,则()

A.c—bsinBB.b—csinBC.a—btanBD.b—ctanB

10.已知二次函数y=ax?+bx+c的图象如图所示.下列结论：①abc>0；②2a-b<0；

③4a-2b+c<0；④(a+c)2Vb2其中正确的个数有()

试卷第2页，总6页

A.1B.2C.3D.4

二、填空题

一元二次方程x2=5x的根.

,,abcc…a+b-c

12.若一二一二一工0,则------

234a

119

13.在ABC中，若si"-,+(COSB—5)2=0,则NC的度数是.

14.向上发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且y与x的关系为

y=ax2+bx(a^0).若此炮弹在第7秒和第15秒时的高度相等，则炮弹飞行第一秒

时高度是最高的.

15.如图，。的弦45、半径0C延长交于。点，BD=OA,若NAOC=105°,

则.

10CD

16.如图，反比例函数y=±(x>0)的图象交心△OAB的斜边OA于点D,交直角边

AB于点C,点B在x轴上.若△OAC的面积为5,AD:OD=1:2,则k的值为

17.为了求1+2+2?+23+…+2"的值，可设s=l+2+22+2、…+2"，则

2s=2+2?+23+24+…+2侬，因此2S—5=2侬一1，所以

100

1+2+2?+23+…+299=2—1•请仿照以上推理计算出1+4+4?^3+...+42020

三、解答题

18.|b_2|+（万一2021）°——+3tan30°

19.如图，30是菱形A8CO的对角线.

（1）请用直尺和圆规作AB的垂直平分线所，垂足为点E，交A。于点尸；（不要求

写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）的条件下，连接8尸，若NCBD=75°,求尸的度数.

k

20.如图，一次函数y=〃a+〃（m#0）的图象与反比例函数丁=一（4工0）的图象交于

x

第二、四象限内的点&“,4）和点B（8,6）.过点A作％轴的垂线，垂足为点C,AAOC

的面积为4.

（1）分别求出。和匕的值；

k

（2）结合图象直接写出+〃〈一的解集.

x

21.某市旅游景区有A、B、C、D、E等著名景点，该市旅游部门统计绘制出2018年

春节期间旅游情况统计图（如图），根据图中信息解答下列问题：

（1）2018年春节期间，该市A、B、C、D、E这五个景点共接待游客人数为多少？

（2）扇形统计图中E景点所对应的圆心角的度数是—，并补全条形统计图.

（3）甲，乙两个旅行团在A、B、D三个景点中随机选择一个，求这两个旅行团选中同

一景点的概率.

本人数万人

试卷第4页，总6页

22.如图，AB是。的直径，弦CO_LAB于点E，且8=24,点M在。上,

经过圆心0,连接MB.

(1)若8七=8,求。的半径；

(2)若ZDMB=/D，求线段0E的长.

23.一汽车租赁公司拥有某种型号的汽车100辆.公司在经营中发现每辆车的月租金x

(元)与每月租出的车辆数(丫)有如下关系：

x(元)3000320035004000

y(辆)10()969080

(1)观察表格，用所学过的一次函数.反比例函数或二次函数的有关知识求出每月租

出的车辆数y(辆)与每辆车的月租金x(元)之间的关系式；

(2)已知租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50

元.若你是该公司的经理，你会将每辆车的月租金定为多少元，才能使公司获得最大月

收益？请求出公司的最大月收益是多少元.

24.如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A(0,4),B(1,0),C(5,0),其

对称轴与x轴交于点M.

(1)求此抛物线的解析式和对称轴；

(2)在此抛物线的对称轴上是否存在一点P,使APAB的周长最小？若存在，请求出

点P的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)连接AC,在直线AC下方的抛物线上，是否存在一点N,使4NAC的面积最大？

若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

25.如图，在平面直角坐标系中，。为原点，四边形A8C0是矩形，点A，C的坐标

分别是A(0,2)和C(2ji,0),点。是对角线AC上的一动点(不与A，C重合)，连

(1)填空：点3的坐标为；

(2)是否存在这样的点。，使得OEC是等腰三角形？若存在，请求出的长度;

若不存在，请说明理由；

(3)①求证：匹=1；

DB3

②设A。=X,矩形8。防的面积为勺叵，求x的值.(可利用①的结论)

3

试卷第6页，总6页

参考答案

1.D

【分析】

设解析式y=-，代入点(2,-4)求出k即可.

X

【详解】

解：设反比例函数解析式为产士,

X

将(2,-4)代入，得：-4=』，

2

解得：k=-8,

O

所以这个反比例函数解析式为尸-2.

x

故选：D.

【点睛】

本题主要考查待定系数法求反比例函数解析式，求反比例函数解析式只需要知道其图像上一

点的坐标即可.

2.A

【分析】

主视图、左视图是分别从物体正面、左面看，所得到的图形.分别分析四种几何体的主视图

与左视图，即可求解.

【详解】

解：①正方体的主视图与左视图都是正方形；

②圆柱的主视图和左视图都是长方形；

③圆锥主视图与左视图都是三角形；

④球的主视图与左视图都是圆；

故选：A.

【点睛】

本题考查了简单几何体的三视图，掌握定义是关键.注意所有的看到的棱都应表现在三视图

中.

3.B

【分析】

从四条线段中任意选取三条，找出所有的可能，以及能构成三角形的情况数，即可求出所求

答案第1页，总19页

的概率.

【详解】

解：从长度分别为2、4、6、7的四条线段中任选三条有如下4种情况：2、4、6；2、4、7;

2、6、7；4、6、7；其中能构成三角形的有2、6、7；4、6、7这两种情况，

所以能构成三角形的概率是2,

42

故选：B.

【点睛】

本题考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件

m

A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=一.构成三角形的基本要求为两小边之和大

n

于最大边.

4.D

【分析】

利用矩形的性质分别判断后即可确定正确的选项.

【详解】

A、矩形的对角线相等，正确，是真命题；

3、矩形的对角线的交点到四个顶点的距离相等，正确，是真命题；

C、矩形的对角线互相平分，正确，是真命题；

0、矩形的对角线的交点到一组对边的距离相等，故错误，是假命题.

故选。.

【点睛】

本题考查了命题与定理的知识.解题的关键是了解矩形的性质，难度不大.

5.D

【分析】

运用根的判别式和一元二次方程的定义，组成不等式组即可解答

【详解】

解：•••关于x的一元二次方程Ck-1)/+工+1=0有两个实数根，

'>[A=l2-4x()t-l)xl>0'

答案第2页，总19页

解得：k<-且原1.

4

故选。.

【点睛】

此题考查根的判别式和一元二次方程的定义，掌握根的情况与判别式的关系是解题关键

6.D

【分析】

首先判断出△ADE-AABC,然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出

△ABC的面积.

【详解】

解：根据题意，点D和点E分别是AB和AC的中点，则DE〃BC且DE=!BC,故可以

判断出△ADEs^ABC,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可知SMOE:SMBC=1：

4,则S四边形SCEO：SMBC=3：4,题中己知S四边形BCEO=15，故可得SMDEUS，^MBC=20

故本题选择D

【点睛】

本题主要考查相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是得出DE是中位线，从而判断

△ADE-AABC,然后掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解本题.

7.D

【分析】

用顶点式表达式，按照抛物线平移的公式即可求解.

【详解】

解：将抛物线y=V先向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度后，函数的表达

式为：y=(x—5『+3.

故选：D.

【点睛】

主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法,要求熟练掌握平移的规律:

左加右减，上加下减.

8.B

【分析】

答案第3页，总19页

如图，连接AB,先证明A3为P的直径，从而可得NACB=90°.

【详解】

解：如图，连接AB,

ZAO5=90。，

.•.45为P的直径,

ZACB=90°,

故选：B.

【点睛】

本题考查的是90°的圆周角所对的弦是直径，直径所对圆周角是直角，掌握以上知识是解题

的关键.

9.B

【分析】

根据三角函数的定义进行判断，即可解决问题.

【详解】

；RtABC中，NC=90°,NA、SB、NC所对的边分别为a、b、c

...sin6=2,即6=。或113,则A选项不成立，B选项成立

c

tanB=—,即人=Qtan5,则C、D选项均不成立

a

故选：B.

【点睛】

本题考查了三角函数的定义，熟记定义是解题关键.

10.D

【解析】

b

试题分析：•・,抛物线开口向下，・・・a<0,,・,抛物线的对称轴在y轴的左侧，・・・x二一VO,

2a

答案第4页，总19页

Ab<0,

•・•抛物线与y轴的交点在x轴上方，・・・c>0,・,・abc>0,(故①正确);

b

丁-1V——V0,•*.2a-b^O,(故②正确)；

2。

•..当x=-2时，y<0,A4a-2b+c<0,(故③正确)；

*/当x=-1时，y>0,Aa-b+c>0,

•.•当x=l时，y<0,a+b+c<0,

•\(a-b+c)(a+b+c)VO,即(a+c-b)(a+c+b)<0,(a+c)2-b2<0,(故④正确).

综上所述，正确的个数有4个.故选D.

考点：二次函数图象与系数的关系.

11.xi=0或X2=5

【分析】

利用因式分解法解这个方程可得出.

【详解】

X2=5x，

/.x2-5%=0，

.\x(x-5)=0,

X]=0,%2=5.

【点睛】

本题考查了因式分解法解一元二次方程，此题比较简单，易于掌握.

12.—

2

【分析】

设=；=%可得a=2N"=3Kc=4&,再代入求值即可得到答案•

234

【详解】

解：设@=2=£=左/0,

234

:.a=2k,b=3k、c=4k,

•_a__+___h__-__c_一__2__k__+__3___k__-_4__k__—___k____1_

a2k2k2

答案第5页，总19页

故答案为：一.

2

【点睛】

本题考查的是比例的基本性质，掌握设参数的方法解决比例的问题是解题的关键.

13.90

【分析】

先根据非负数的性质求出sinA=-,cosB=',再由特殊角的三角函数值求出NA与NB

22

的值，根据三角形内角和定理即可得出结论.

【详解】

11,

在ABC中，sinA一一+(cosB--)=0,

22

.1cl

sinA=—,cosB=—,

22

.•./A=30，NB=60，

.•./C=180-30-60=90，

故答案为90.

【点睛】

本题考查了非负数的性质以及特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的

关键.

14.11

【分析】

根据“此炮弹在第7秒和第15秒时的高度相等“可知X=7和x=15是函数图象上关于对称轴

对称的两点，即可求解.

【详解】

解：；此炮弹在第7秒和第15秒时的高度相等，

%=7和x=15是函数图象上关于对称轴对称的两点，

二对称轴为x=N电=11,

2

则炮弹飞行第11秒时高度是最高的,

故答案为：11.

答案第6页，总19页

【点睛】

本题考查二次函数的应用，掌握二次函数的对称性是解题的关键.

15.25°

【分析】

作辅助线0B,根据OA=OB=BD=半径，构造出两个等腰三角形，结合三角形外角的性

质与三角形内角和定理，即可求解.

【详解】

连接0B,

VBD=OA,OA=OB

AAAOB和^BOD为等腰三角形，

设/D=x。，则ZOBA=2x。，

VOB=OA,

二NA=2x。，

在AAOB中，2x+2x+(105-x)=180,

解得：x=25,

即ND=25。.

故答案是：25°.

【点睛】

此题主要考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质，以及三角形的外角的性质三角形内角和

定理，难易程度适中.

16.8

【详解】

试题分析：如答图，过D点作x轴的垂线交x轴于H点，

答案第7页，总19页

VAODH的面积=△OBC的面积=:|k|=gk,△OAC的面积为5,，AOBA的面积=5+；k.

VAD：OD=1：2,AOD：OA=2：3.

So4

VDH//AB,AAODH^AOAB.A-^H=-,即-=不解得：k=8.

SAOABUJ5+lk9

2

考点：1.反比例函数系数k的儿何意义；2.相似三角形的判定和性质.

42021_|

17.-------

3

【分析】

设4=1+4+42+4?+…+42°2。，从而可得44=4+42+43+44+…+42°21,两式相减即

可得出答案.

【详解】

设A=l+4+4?+43+---+42020>

342021

则4A=4+4?+4+4+---+4，

因此，4A-A=42021-1>

42021_1

所以A=^——-

3

42021-1

即1+4+4?+4'+…+4?02°

3

42021-1

故答案为:

3

【点睛】

本题考查了含乘方的有理数混合运算的规律型问题，读懂题干所给的求和方法是解题关键.

18.6

答案第8页，总19页

【分析】

依次化简绝对值，计算零指数幕、负指数第、30度的正切值，再进行加减计算即可求解.

【详解】

原式=2-6+l+3+3x正

3

=6

【点睛】

本题考查绝对值的化简、零指数幕和负指数基的计算，特殊角的三角函数值.一个正数的绝

对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.特殊角的三角函数值：

sin30°=《，cos30°=tan30°=^-.

223

19.（1）见解析；（2）45°

【分析】

（1）利用基本作图作EF垂直平分AB；

（2）利用菱形的性质得AD〃BC,/ABD=NCBD=75。，则/ABC=150。，再利用平行线的

性质得NA=18（r-NABC=180O-150o=30。，接着根据线段垂直平分线的性质得AF=BF,则

ZA=ZFBA=30°,然后计算/ABD-/FBA即可.

【详解】

（1）如图，EF为所作；

(2)：四边形ABCD是菱形，

；.AD〃BC,ZABD=ZCBD=75°,

r.ZABC=150°,

；AD〃BC,

，ZA=180°-ZABC=180°-l5O°=3O°,

答案第9页，总19页

：EF垂直平分AB,

，AF=BF,

.♦.NA=/FBA=30。，

ZDBF=ZABD-ZFBA=75°-30°=45°.

【点睛】

本题考查了作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质，菱形的性质等知识，解题时注意：

线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等.

20.（1）a=2,b=-l；（2）—2<x<0或x>8

【分析】

（1）根据△AOC的面积求出A的坐标，代入反比例函数解析式得到系数k的值，再求出

B的坐标；

k

（2）解不等式mx+〃<一,就是看反比例函数图象在一次函数图象上方的部分横坐标的取

值范围.

【详解】

解：（1）；A（a,4）,AC_Lx轴，

/.AC=4,

S“x」AC°C=2"=4，

/IC/C-2

・•・OC=2,

***a=-29贝iJA（-2,4）

k

将A（—2,4）代入y=—,解得女=—8,

x

当x=8时，y=-l,则3（8,—1）,b=—L

综上：〃=2,b=—l；

（2）反比例函数图象与一次函数图象的交点是A（—2,4）、3（8,—1）,

不等式如+〃〈人的解集从图象上来看就是反比例函数图象在一次函数图象上方的部分横

X

坐标的取值范围，

从图象来看，当—2<x<0或x>8时，反比例函数图象在一次函数图象上方，

答案第10页，总19页

.•.不等式的解集是：—2<x<（）或x>8.

【点睛】

本题考查反比例函数的图象和性质，以及利用函数图象解不等式，解题的关键是掌握反比例

函数的图象性质，掌握利用函数图象求不等式解集的方法.

21.（1）50万人；（2）43.2。；统计图见解析（3）

3

【分析】

（1）根据A景点的人数以及百分比进行计算即可得到该市景点共接待游客数；

（2）先用360。乘以E的百分比求得E景点所对应的圆心角的度数，再根据B、D景点接待

游客数补全条形统计图；

（3）根据甲、乙两个旅行团在A、B、D三个景点中各选择一个景点，画出树状图，根据

概

率公式进行计算，即可得到同时选择去同一景点的概率.

【详解】

解：（1）该市景点共接待游客数为：15十30%=50（万人）；

（2）扇形统计图中E景点所对应的圆心角的度数是：9x36（r=43.2。，

50

B景点的人数为50x24%=12（万人）、D景点的人数为50xl8%=9（万人），

补全条形统计图如下：

事人数万人

故答案为43.2。；

（3）画树状图可得:

答案第11页，总19页

•••共有9种可能出现的结果，这些结果出现的可能性相等，其中同时选择去同一个景点的结

果有3种，

P(同时选择去同一个景点)

93

【点睛】

本题考查的是统计以及用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重复不遗

漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完

成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比.

22.(1)13；(2)0E=46

【分析】

(1)根据题意和图形，利用勾股定理、垂径定理可以解答本题；

(2)根据三角形全等、勾股定理可以求得线段0E的长.

【详解】

(1)设OO的半径长为r,

则OD=r,0E=r-8,

VAB是。0的直径，弦CD±AB于点E,且CD=24,

；.DE=12,

•,.OD2=OE2+DE2,

即r2=(r-8)2+122,

解得,r=l3,

即。。的半径是13；

(2)连接BC,

VZDMB=ZD,ZDMB=ZDCB,

二ND=NDCB,

答案第12页，总19页

：AB是。0的直径，弦CD_LAB于点E,且CD=24,

，CE=DE=12,ZCEB=ZDEO,

AACEB^ADEO(ASA),

1

.♦.OE=BE=—OB,

2

设。O的半径长为r,

/.OD2=OE2+DE2,

则r2=(-^~r)2+122,

2

解得，r=86或/"=-86(舍去)，

二OE=46

【点睛】

本题考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需

要的条件，利用数形结合的思想解答.

23.(1)y=--^x+160；(2)当每辆车的月租金为405()元时，公司获得最大月收益30705()

元

【分析】

(1)判断出y与x的函数关系式为一次函数，再利用待定系数法求出函数解析式；

(2)每月租出车的维护费=每辆每月维护费x租出的数量，每月未租出车的维护费=每辆每

月维护费X未租出的数量，设租赁公司获得的月收益为W元，列出函数关系式即可得出答案.

【详解】

解：(1)由表格数据可知y与x是一次函数关系

设其解析式为y="+以

_[3000^+^=100

由题:[3200^+Z>=96

L__±

解得：\50

6=160

与x间的函数关系是y=—/x+160.

(2)设租赁公司获得的月收益为W元，依题意可得：

答案第13页，总19页

每月租出车的维护费=150X(-\X+160),

每月未租出车的维护费=50x100-f-^%+160

x-3000

W=f-^x+160j(x-150)-(x-3000)

一,2+163x-24000j-(x-3000)

=--X2+162X-21000

50

=-—(x-4050)2+307050

50

当x=4050时，叱皿=307050,

即：当每辆车的月租金为4050元时，公司获得最大月收益307050元.

【点睛】

本题考查了二次函数与一次函数的应用.理清题中的数量关系，准确找出等量关系并列出函

数关系式是解题的关键.

416

24.(1)y=-(x-3)7--—,抛物线的对称轴是x=3；

Q

(2)存在；P点坐标为(3,-).

(3)在直线AC下方的抛物线上存在点N,使ANAC面积最大.N(-,-3)

2

【解析】

⑴根据已知条件可设抛物线的解析式为y=d(x-l)(x-5).

4

把点A(0,4)代入上式，解得a

44,244,16

.'.y=—(x—l)(x—5)=—x2----x+4=—(x-3)2----

55555

•••抛物线的对称轴是x=3.

Q

(2)存在，P点的坐标是(3,-).如图1,连接AC交对称轴于点尸，连接BP,AB.

•••点B与点C关于对称轴对称，

:.PB=PC.

答案第14页，总19页

：.AB+AP+PB=AB+AP+PC=AB+AC.

・・・此时△雨8的周长最小.

设直线AC的解析式为把A(0,4),C(5,0)代入了="+儿得

b=4,

解得｛5

5k+b=0.

8=4.

/.y=——x+4.

5

・・,点户的横坐标为3,

4.8

・・・y=——x3+4=—.

⑶在直线AC下方的抛物线上存在点N,使^NAC的面积最大.

424

如图2,设N点的横坐标为〃，此时点N(/,y/2-y/+4)(0</<5).

过点N作y轴的平行线，分别交/轴，AC于点F,G,过点4作4。，％6,垂足为

4

由(2)可知直线AC的解析式为y=—yx+4.

44

把x=f代入y=一二戈+4,得>=一二『+4.

.4,

♦・GQ,——z+4).

44244

・・・NG=--r+4-(-fi--r+4)=——5+4九

5555

;AD+CF=OC=5,

・.1111

・・SANAC=SAANG+SACGN=—NG,ADT—NG-CF=—NG-OC

222

14525

=—x(-----2+4f)x5=—2F+10f=—2«——pH-------.

2522

答案第15页，总19页

525

•.•当r=—时，4c面积的最大值为一.

2