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第2课时夹角问题A级必备知识基础练1.［探究点一］已知点,,,,则直线和直线所成角的余弦值为()A. B. C. D.2.［探究点三］已知正方形所在平面外一点,平面,若,则平面与平面的夹角为()A. B. C. D.3.［探究点二］如图所示,在长方体中,,,则与平面所成角的正弦值为()A. B. C. D.4.［探究点二］［北师大版教材习题］已知长方体的一条对角线与平面和平面所成的角都是,则直线与平面所成的角是.5.[2023重庆渝中月考]［探究点三］如图,四棱锥中,平面,,,,,为中点.（1）求证：平面；（2）若,求二面角的余弦值.B级关键能力提升练6.如图，已知在菱形中，,将沿折起，使得平面平面，则二面角的余弦值为()A.2 B. C. D.7.[2023辽宁鞍山月考]长方体中，,,为线段上的动点,则与平面所成角的余弦值的最小值为()A. B. C. D.8.如图,三棱柱中,平面平面,且,,,,求异面直线与所成角的余弦值为.C级学科素养创新练9.如图,在正方形中,,若沿将正方形折成一个二面角后,,则直线与所成角的余弦值为.第2课时夹角问题A级必备知识基础练1.A[解析],,而,,故直线和所成角的余弦值为.2.B[解析]如图所示，建立空间直角坐标系.设,则,,,.取的中点,则,,易知是平面的一个法向量,是平面的一个法向量，所以,故平面与平面的夹角为.3.D[解析]如图所示,建立空间直角坐标系,则,,,,,,.连接,易证平面,平面的一个法向量为所求角的正弦值为.4.[解析]建立如图所示空间直角坐标系,设,,，.因为是平面的一个法向量,是平面的一个法向量,所以,所以,所以.设所求角为,取是平面的一个法向量,则.因为,所以.5.（1）证明连接,如图所示.在中,,,为等腰三角形,为中点,.又平面,平面,.又,且,平面.（2）解以为原点,,,所在直线分别为轴、轴、轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,,.又易知平面的一个法向量,设平面的一个法向量为,则取,设二面角的平面角为,则,二面角的余弦值为.B级关键能力提升练6.D[解析]设菱形的边长为1，取的中点，连接，，因为,所以,又平面平面，平面平面，所以平面，如图，建立空间直角坐标系，则,,,,所以，，.设平面的法向量为，则即令,得,,则易知平面的一个法向量为,所以.故选.7.D[解析]建立如图所示空间直角坐标系，则,,,.平面,平面的法向量为.,设与平面所成角为,.,.故选.8.[解析]以为坐标原点,,所在直线分别为轴、轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,所以,.设所求的角为,则,即异面直线与所成角的余弦值为.C级学科素养创新练9.
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