新教材2023-2024学年高中数学第3章排列组合与二项式定理3.1排列与组合3.1.3组合与组合数第1课时组合及组合数公式课件新人教B版选择性必修第二册

第三章3.1.3第一课时组合及组合数公式基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养全提升目录索引

成果验收·课堂达标检测课程标准1.理解组合的概念,会区分排列与组合问题.正确认识组合与排列的区别与联系2.掌握组合数公式,会利用公式解决一些简单组合问题,理解排列数与组合数之间的联系.3.掌握组合数的两个性质,能够应用组合数的性质进行有关的化简与证明.基础落实·必备知识全过关知识点一

组合与组合数1.组合

所取对象不同一般地,从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象并成一组,称为从n个不同对象中取出m个对象的一个组合.2.组合数从n个不同对象中取出m个对象的所有组合的个数,称为从n个不同对象中取出m个对象的组合数,用符号

表示.名师点睛1.排列与组合的区别与联系(1)共同点:两者都是从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象.(2)不同点:排列与对象的顺序有关,组合与对象的顺序无关.(3)只要两个组合中的对象完全相同,不论对象的顺序如何,都是相同的组合,只有当两个组合中对象不完全相同时,才是不同的组合.2.组合与组合数的区别一个组合是具体的一件事,它不是一个数;而组合数是指所有组合的个数,它是一个数.过关自诊1.给出下列几个问题,其中是组合问题的有

.

①某班选10名同学参加拔河比赛;②从1,2,3,4中选出两个数,构成平面向量a的坐标;③从1,2,3,4中选出两个数分别作为实轴长和虚轴长,构成双曲线方程;④从正方体的8个顶点中任取2个点构成线段.①④

解析

由于①④中选出的元素与顺序无关,而②③中选出的元素与顺序有关,由组合的定义可知,①④为组合问题.2.已知a,b,c,d四个元素,取出两个元素的所有组合数为

.(用数字表示)

6解析

所有组合为ab,ac,ad,bc,bd,cd,因此组合数为6.知识点二

组合数公式

名师点睛对组合数公式的几点说明过关自诊已知

,则n的值构成的集合为

.

{6,7,8,9}又n∈N+,∴n的值为6,7,8,9.∴n的值构成的集合为{6,7,8,9}.知识点三

组合数的两个性质

名师点睛

过关自诊1126重难探究·能力素养全提升探究点一组合的概念【例1】

判断下列问题是组合问题还是排列问题.(1)设集合A={a,b,c,d,e},则集合A的子集中含有3个元素的有多少个?(2)某铁路线上有5个车站,则这条线上共需准备多少种车票,多少种票价?(3)元旦期间,某班10名同学互送贺年卡,传递新年的祝福,贺年卡共有多少张?解

(1)因为本问题与元素顺序无关,故是组合问题.(2)因为甲站到乙站,与乙站到甲站车票是不同的,故是排列问题.但票价与顺序无关,甲站到乙站,与乙站到甲站是同一种票价,故是组合问题.(3)甲写给乙贺年卡,与乙写给甲贺年卡是不同的,所以与顺序有关,是排列问题.变式训练1(多选题)给出下列几个问题,其中是组合问题的是(

)A.求由1,2,3,4构成的含有两个元素的集合的个数B.求5支球队每两支球队都进行一场比赛的场数C.3人去做5种不同的工作,每人做1种,求不同的安排种数D.求由1,2,3组成无重复数字的两位数的个数AB解析

选项A,B中选出元素就完成了这件事,是组合问题;而选项C,D中选出的元素还需排列,与顺序有关,是排列问题.故选AB.探究点二有关组合数的计算与证明规律方法

关于组合数公式的选取技巧变式训练2[人教A版教材习题]计算下列各式:探究点三简单的组合问题【例3】

[人教A版教材例题]在100件产品中,有98件合格品,2件次品.从这100件产品中任意抽出3件.(1)有多少种不同的抽法?(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种?(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种?解

(1)所有的不同抽法种数,就是从100件产品中抽出3件的组合数,所以抽法种数为(2)从2件次品中抽出1件的抽法有

种,从98件合格品中抽出2件的抽法有

种,因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法种数为(3)方法一

从100件产品中抽出的3件中至少有1件是次品,包括有1件次品和有2件次品两种情况,因此根据分类加法计数原理,抽出的3件中至少有1件是次品的抽法种数为方法二

抽出的3件中至少有1件是次品的抽法种数,就是从100件产品中抽出3件的抽法种数减去3件都是合格品的抽法种数,即变式探究

在例3中,其他条件不变,若抽出的3件中至多有1件正品的抽法有多少种?解

因为一共有2件次品,至多有1件正品即为恰有1件正品,故有

=98种.规律方法

解答简单的组合问题的思考方法(1)弄清要做的这件事是什么事;(2)看选出的元素是否与顺序有关,也就是看是不是组合问题;(3)结合两计数原理,利用组合数公式求出结果.变式训练3在一次数学竞赛中,某学校有12人通过了初试,学校要从中选出5人去参加市级培训,在下列条件中,有多少种不同的选法?(1)任意选5人;(2)甲、乙、丙三人必须参加;(3)甲、乙、丙三人不能参加.解

(1)=792种不同的选法.(2)甲、乙、丙三人必须参加,只需从另外的9人中选2人,共有

=36种不同的选法.(3)甲、乙、丙三人不能参加,只需从另外的9人中选5人,共有

=126种不同的选法.成果验收·课堂达标检测1234561.从7人中选出3人参加座谈会,则不同的选法有(

)A.210种 B.42种 C.35种

D.6种C解析

参加座谈会与顺序无关,是组合问题,共有

=35种不同的选法.1234562.已知m,n∈N+,关于下列排列组合数,结论错误的是(

)D1234561234563.某地将医院按其功能、任务不同划分为三个等级:一级医院、二级医院、三级医院.某地有9家医院,其中3家一级医院,4家二级医院,2家三级医院.现在要从中抽出4家医院进行药品抽检,则抽出的医院中至少有2家一级医院的抽法有(

)A.81种

B.80种 C.51种

D.41种C1234564.某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目,则下列说法正确的有(

)AC1234561234565.已知集合M={1,2