新教材2023-2024学年高中数学第二章平面解析几何2.3圆及其方程2.3.3直线与圆的位置关系课件新人教B版选择性必修第一册

第二章2.3.3直线与圆的位置关系课程标准1.理解直线与圆位置关系的三种表达形式;2.能根据给定的直线的方程、圆的方程用代数法和几何法两种方法来判断直线与圆的位置关系;3.掌握求圆的切线方程的方法,并能求与圆有关的最值问题.基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养全提升目录索引

成果验收·课堂达标检测基础落实·必备知识全过关知识点直线与圆的位置关系直线l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0),圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),设圆心(a,b)到直位置关系几何特征代数特征(方程联立)

公共点个数相离d>r无实数解(Δ<0)0相切d=r一组实数解(Δ=0)1相交d<r两组实数解(Δ>0)2名师点睛如图,直线l与圆C相交于A,B,半径为r,弦AB中点为D,则①点C到直线l的距离d=|CD|,称为弦心距;②CD⊥l;③过圆内一点的直线与圆相交,最长弦长是直径,最短弦与最长弦所在的直线垂直.过关自诊1.直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系是(

)A.相切B.相交但直线不过圆心C.直线过圆心D.相离B∴直线与圆x2+y2=1相交,又(0,0)不在y=x+1上,∴直线不过圆心.2.过圆上一点有几条切线?过圆外一点有几条切线?若点(x0,y0)是圆x2+y2=r2上的点,你能得出过点(x0,y0)的圆的切线方程吗?3.过圆C内一点P(不同于圆心)的所有弦中,何时弦最长?何时弦最短?解

过圆上一点一定有1条切线,过圆外一点一定有2条切线.过圆上一点(x0,y0)的切线方程为x0x+y0y=r2.解

过圆内一点P(不同于圆心)的所有弦中,当弦经过圆心C时弦最长,等于直径的长.当弦与过点P的直径垂直时弦最短.重难探究·能力素养全提升探究点一直线与圆的位置关系的判断【例1】

求实数m的取值范围,使直线x-my+3=0与圆x2+y2-6x+5=0分别满足:①相交;②相切;③相离.解

圆的一般方程化为标准方程为(x-3)2+y2=4,故圆心(3,0)到直线x-my+3=0规律方法

直线与圆的位置关系的判断方法(1)几何法:由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断.(2)代数法:根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断.(3)直线系法:若直线恒过定点,可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系.但有一定的局限性,必须是过定点的直线系.变式训练1[北师大版教材例题]已知直线l:2x+y-3=0,圆M:(x-a)2+y2=5.(1)指出圆心M的位置特征;(2)求实数a分别取何值时,直线l与圆M相交、相切、相离.解

(1)由圆M的方程可知圆心M(a,0)为x轴上的动点.探究点二求切线方程【例2】

过点M(2,4)向圆(x-1)2+(y+3)2=1引切线,求切线的方程.解

由于(2-1)2+(4+3)2=50>1,故点M在圆外.当切线斜率存在时,设切线方程是y-4=k(x-2),即kx-y+4-2k=0.所以切线方程为24x-7y-20=0.又当切线斜率不存在时,直线x=2与圆相切.综上所述,所求切线方程为24x-7y-20=0或x=2.变式探究(1)若所给点M的坐标是(1,-4),圆的方程不变,求切线方程;(2)条件不变,试求切线长.解

(1)由于(1-1)2+(-4+3)2=1,故点(1,-4)在圆上.又圆心为(1,-3),所以切线斜率为0,所以切线方程为y=-4,即y+4=0.规律方法

求圆的切线方程的三种方法(1)几何法:设出切线方程,利用圆心到直线的距离等于半径,求出未知量,此种方法需要注意斜率不存在的情况,要单独验证,若符合题意,则直接写出切线方程.(2)代数法:设出切线方程后与圆的方程联立消元,利用判别式等于零,求出未知量,若消元后的方程为一元一次方程,则说明要求的切线中,有一条切线的斜率不存在,可直接写出切线方程.(3)设切点坐标:先利用切线的性质解出切点坐标,再利用直线的两点式写出切线方程.变式训练2[人教A版教材例题]过点P(2,1)作圆O:x2+y2=1的切线l,求切线l的方程.解

(方法一)设切线l的斜率为k,则切线l的方程为y-1=k(x-2),即kx-y+1-2k=0.因此,所求切线l的方程为y=1或4x-3y-5=0.(方法二)设切线l的斜率为k,则切线l的方程为y-1=k(x-2).消元,得(k2+1)x2+(2k-4k2)x+4k2-4k=0.①因为方程①只有一个解,所以Δ=4k2(1-2k)2-16k(k2+1)(k-1)=0,解得k=0或

.所以,所求切线l的方程为y=1,或4x-3y-5=0.探究点三圆的弦长问题(1)求圆C的方程;(2)若直线3x-y+1=0与圆C相交于A,B两点,求线段AB的长;(3)设过点(-1,0)的直线l与圆C相交于M,N两点,试问:是否存在直线l,使得以MN为直径的圆经过原点O?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.(2)圆C的圆心坐标为(1,-2),半径为3,圆心到直线3x-y+1=0的距离为

(3)存在直线l满足题意.理由如下:设M(x1,y1),N(x2,y2).由题意,知OM⊥ON,且OM,ON

的斜率均存在,∴直线l:x=-1满足条件;②当直线l

的斜率存在时,可设直线l

的方程为y=k(x+1).代入(x-1)2+(y+2)2=9,得(1+k2)x2+(2k2+4k-2)x+k2+4k-4=0,由x1x2+y1y2=0,得x1x2+k2(x1+1)(x2+1)=0,即(1+k2)x1x2+k2(x1+x2)+k2=0,∴直线l的方程为y=x+1.综上可知,存在满足条件的直线l:x=-1和l:y=x+1.规律方法

1.求直线与圆相交时的弦长有三种方法(1)交点法:将直线方程与圆的方程联立,求出交点A,B的坐标,根据两点间的(2)弦长公式法:如图所示,将直线方程与圆的方程联立,设直线与圆的两交点分别是(3)几何法:如图,直线与圆C交于A,B两点,设弦心距为d,圆的半径为r,弦长

通常采用几何法较为简便.2.若涉及直线和圆相交的问题,除了借助平面几何知识进行分析,还经常利用联立方程,用解方程组的思路来讨论有关弦长和垂直等问题.变式训练3[人教A版教材习题]已知直线l:3x+y-6=0和圆心为C的圆x2+y2-2y-4=0,判断直线l与圆C的位置关系;如果相交,求直线l被圆C所截得的弦长.消去y,得x2-3x+2=0,解得x1=2,x2=1.所以,直线l与圆C相交,有两个公共点.把x1=2,x2=1分别代入方程①,得y1=0,y2=3.所以,直线l与圆C的两个交点是A(2,0),B(1,3).(方法二)圆C的方程x2+y2-2y-4=0可化为x2+(y-1)2=5,因此圆心C的坐标为成果验收·课堂达标检测123451.直线3x+4y-25=0与圆x2+y2=9的位置关系为(

)A.相切

B.相交C.相离

D.相离或相切C123452.对任意的实数k,直线y=kx+1与圆x2+y2=2的位置关系一定是(

)A.相离B.相切C.相交但直线不过圆心D.相交且直线过圆心C解析

直线y=kx+1恒过定点(0,1).由定点(0,1)在圆x2+y2=2内,知直线y=kx+1与圆x2+y2=2一定相交.又直线y=kx+1不过圆心(0,0),则位置关系是相交但直线不过圆心,故选C.123453.直线l:3x+4y-1=0被圆C:x2+y2-2x-4y-4=0所截得的弦长为(

)A解析

由题意知圆心C(1,2),圆C的半径为3,故点C到l:3x+4y-1=0的距离为123454.[2021天津卷]若斜率为

的直线与y轴交于点A,与圆x2+(y-1)2=1相切于点B,则|AB|=

.

123455.[人教A版教材例题]一个小岛的周围有环岛暗礁,暗礁分布在以小岛中心为圆心,半径为20km的圆形区域内.已知小岛中心位于轮船正西40km处,港口位于小岛中心正北30km处.如果轮船沿直线返港,那么它是否会有触礁危险?解

以小岛的中心为原点O,东西方向