新教材2023-2024学年高中数学第二章平面解析几何2.5椭圆及其方程2.5.2椭圆的几何性质分层作业新人教B版选择性必修第一册

第二章2.5.2椭圆的几何性质A级必备知识基础练1.[探究点一]下列与椭圆C:x29+y25A.x25+y29=C.x29+y24=2.[探究点一]曲线x225+y29=1与x29A.有相等的焦距,相同的焦点B.有相等的焦距,不同的焦点C.有不等的焦距,不同的焦点D.以上都不对3.[探究点二]已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点(1,32b),且椭圆CA.x24+y23=C.x24+y22=4.[探究点二](多选题)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1,F2,与y轴正半轴交于点B,A.△BF1F2是等腰直角三角形B.椭圆E的离心率为12,短轴长为C.△BF1F2是等边三角形,且椭圆E的离心率为1D.设椭圆E的焦距为4,点B在圆(x-c)2+y2=9上5.[探究点三]已知F1,F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,点P为椭圆C上一点,O为坐标原点,△POF26.[探究点四]2020年12月,“嫦娥五号”月球探测器首次实现从月球无人采样返回,这标志着中国航天又向前迈出一大步.我校航天社团利用计算机模拟探测器某段飞行轨迹,如图,探测器在环月椭圆轨道上运动,月球的球心为椭圆的一个焦点,探测器在近月点“制动”后,进入距离月球表面n千米的环月圆形轨道.已知两轨道相切于近月点,远月点到月球表面的最近距离为m千米,月球半径为r千米,则椭圆轨道的长轴长为;离心率为.

7.[探究点三·北师大版教材习题]根据下列条件,求椭圆的离心率:(1)焦距和短轴长相等;(2)长轴长是焦距的2倍;(3)焦距等于椭圆相邻两个顶点间的距离;(4)经过一个焦点,且与长轴垂直的弦的弦长与焦距相等.8.[探究点一、二]已知椭圆的方程为9x2+4y2=36.(1)求它的长轴长、短轴长、顶点坐标、焦点坐标.(2)与该椭圆有相同焦点的椭圆有多少个?试写出其中的两个椭圆方程.9.[探究点二](1)求与椭圆x29+y24=1(2)已知椭圆的两个焦点间的距离为8,两个顶点坐标分别是(-6,0),(6,0),求焦点在x轴上的椭圆的标准方程.B级关键能力提升练10.已知椭圆x24+y2=1,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,点P为椭圆上的任意一点,则1|PA.[1,2] B.[2,3] C.[2,4] D11.已知F1,F2是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点,过F2的直线与椭圆交于A,B两点,若|AF1|∶|AB|∶|BF1|=3A.32 B.2-3 C.3-112.(多选题)设椭圆C:x22+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,P是C上的动点,则下列结论正确的是(A.|PF1|+|PF2|=22B.离心率e=3C.△PF1F2面积的最大值为2D.以线段F1F2为直径的圆与直线x+y-2=0相切13.设椭圆E的两焦点分别为F1,F2,以F1为圆心,|F1F2|为半径的圆与E交于P,Q两点.若△PF1F2为直角三角形,则E的离心率为()A.2-1 B.5-12 C.22 D14.已知F1,F2是椭圆C:x216+y2b2=1(0<b<4)的左、右焦点,点P在C上,线段PF1与y轴交于点M,O为坐标原点,若OM为△PF1F2的中位线,且|OM|=1,15.已知椭圆C:x2a2+y2b(1)若椭圆C经过点(2,22),求椭圆(2)A为椭圆C的右顶点,B(1,0),椭圆C上存在点P,使得|PA||PB|C级学科素养创新练16.已知F1,F2是椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,∠F1PF2=60°.(1)求椭圆的离心率的取值范围;(2)求证:△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.

2.5.2椭圆的几何性质1.D由题意得,椭圆C中,a2=9,b2=5,c2=a2-b2=4,即焦点坐标为(2,0)和(-2,0).对于A选项,椭圆焦点在y轴上,不满足题意;对于B选项,椭圆焦点在x轴上,a2=10,b2=5,c2=a2-b2=5,不满足题意;对于C选项,椭圆焦点在x轴上,a2=9,b2=4,c2=a2-b2=5,不满足题意;对于D选项,椭圆焦点在x轴上,a2=10,b2=6,c2=a2-b2=4,满足题意.故选D.2.B曲线x225+y29=1的焦距为2c=8,而曲线x293.A依题意可得1a2+34=1,a2-b24.BD对A,若△BF1F2是等腰直角三角形,可知c=b,没具体数据得不出方程,故A错误;对B,已知椭圆E的离心率为12,短轴长为2,则ca=12,b=1,由a2=b2+c2,所以a2=43,所以椭圆E的标准方程为3x2对C,△BF1F2是等边三角形,且椭圆E的离心率为12,所以2c=a,b=3c,数据不足,得不到结果,故C错误对D,设椭圆E的焦距为4,点B在圆(x-c)2+y2=9上,所以c=2,b2=5,由a2=b2+c2,所以a2=9,所以椭圆方程为x29+y25=1,故5.3-1如图,因为△POF2为正三角形,所以|OF1|=|OP|=|OF2|,所以△F1PF2是直角三角形.因为∠PF2F1=60°,|F2F1|=2c,所以|PF2|=c.所以|PF1|2=|F1F2|2-|PF2|2=4c2-c2=3c2,所以|PF1|=3c.因为|PF2|+|PF1|=2a,所以c+3c=2a,即ca=23+1=3-6.m+n+2rrm设椭圆形轨道的长半轴长为a,焦半径为c,由题意可得,长轴长2a=m+n+2r,且a即1+e1-e=m+rm-r,17.解(1)2c=2b,所以b=c,a=c2+b2=2(2)2a=2·2c,a=2c,所以e=ca(3)2c=a2+b2=a2+b2-c2,所以5c(4)2·b2a=2c,所以b2=ac=a2-c2,所以a2-ac-c2=0,所以e2+e-1=0,所以e=8.解(1)由9x2+4y2=36⇒y29即a=3,b=2⇒c=a2所以该椭圆的长轴长为2a=6,短轴长为2b=4,顶点坐标分别为(0,3),(0,-3),(2,0),(-2,0),焦点坐标为(0,5),(0,-5).(2)由(1)可知,该椭圆的焦点在纵轴,且c=5.设与该椭圆有相同焦点的椭圆标准方程为y2a'2+x2b'2=1(a'>b'>0),所以有当a'2=6时,b'2=1,所以椭圆方程为y26+x2当a'2=7时,b'2=2,所以椭圆方程为y27+x22=1,所以与该椭圆有相同焦点的椭圆有无穷多个,其中的两个椭圆方程为y26+x2=9.解(1)∵c=9-∴所求椭圆的焦点为(-5,0),(5,0).设所求椭圆的方程为x2a2+y∵e=ca=55,c=5,∴a=5,b2=a2∴所求椭圆的方程为x225+(2)∵椭圆的焦点在x轴上,∴设它的标准方程为x2a2+∵2c=8,∴c=4,又a=6,∴b2=a2-c2=20.∴椭圆的方程为x236+10.D根据椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a=4,设m=|PF1|,n=|PF2|,则m+n=4,m,n∈[a-c,a+c],即m,n∈[2-3,2+3],则1|PF11.D如图所示,设|AF1|=3t,则|AB|=4t,|BF1|=5t,所以|AF1|2+|AB|2=|BF1|2,所以∠F1AF2=90°.由椭圆定义可得|AF1|+|AB|+|BF1|=12t=4a,所以t=a3,所以|AF1|=3t=a,所以|AF2|=2a-|AF1|=a,所以△AF1F2为等腰直角三角形,可得|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2,所以2a2=4c2,所以该椭圆的离心率为e=ca=212.AD对于A,由椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=2a=22,故A正确;对于B,由椭圆方程知a=2,b=1,c=1,所以离心率e=ca=12=对于C,|F1F2|=2c=2,当P为椭圆短轴顶点时,△PF1F2的面积取得最大值,最大值为12·2cb=cb=1,故C错误对于D,以线段F1F2为直径的圆的圆心为(0,0),半径为c=1,圆心到直线x+y-2=0的距离为22=1,即圆心到直线的距离等于半径,所以以线段F1F2为直径的圆与直线x+y-2=0相切,故D正确.故选AD13.A不妨设椭圆E的方程为x2a2+y2∵△PF1F2为直角三角形,∴PF1⊥F1F2.又|PF1|=|F1F2|=2c,∴|PF2|=22c,∴|PF1|+|PF2|=2c+22c=2a,∴椭圆E的离心率e=ca=214.6如图所示,因为OM为△PF1F2的中位线,且|OM|=1,所以|PF2|=2,由椭圆定义可得|PF1|=2a-|PF2|=2×4-2=6.15.解(1)由题意可得a=2.又椭圆C过(2,∴222+12b2=1,解得b2=1,故椭圆C(2)由(1)知A(2,0).设P(x,y),则x24+y2由|PA||PB|=2,则∴(x-2)2+y2=2[(x-1)2+y2],即x2+y2=2.②联立①②,解得y2=2b由-b≤y≤b,即0≤y2≤b2,故0≤2b24-b2≤b2,解得0<b2≤2,于是0<b2a2≤12,即12≤1-b2a2<1,16.(1)解不妨设椭圆方程为x2a2+由余弦定理得cos60°=|PF1所以|PF1|·|PF2|=4a2-2|PF1|·|PF2|-4c2