新教材2023-2024学年高中数学第五章数列5.3等比数列5.3.2等比数列的前n项和分层作业课件新人教B版选择性必修第三册

第五章5.3.2等比数列的前n项和A级必备知识基础练12345678910111213141516171819201.[探究点一]已知等比数列{an}各项均为正数,a3,a5,-a4成等差数列,Sn为数C解析

设等比数列{an}的公比为q,则有q>0,又a3,a5,-a4成等差数列,∴a3-a4=2a5,∴a1q2-a1q3=2a1q4,即1-q=2q2,12345678910111213141516171819202.[探究点一

]已知等比数列{an}中,a1+a4=2,a2+a5=4,则数列{an}的前6项和S6的值为(

)A.12 B.14

C.16

D.18B12345678910111213141516171819203.[探究点二]在各项均为正数的等比数列{an}中,若am+1am-1=2am(m≥2),数列{an}的前n项积为Tn,若T2m-1=512,则m的值为(

)A.4 B.5

C.6

D.7B解析

因为数列{an}是各项均为正数的等比数列,所以am+1am-1=2am=,则am=2.又T2m-1=a1a2…a2m-1=,所以22m-1=512=29,m=5.故选B.12345678910111213141516171819204.[探究点一]古希腊哲学家芝诺提出了一个悖论:让阿基里斯和乌龟赛跑,他的速度是乌龟速度的10倍,乌龟在他前面100米爬行,他在后面追,但他不可能追上乌龟.原因是在竞赛中,追者首先必须到达被追者的出发点,当阿基里斯追了100米时,乌龟已在他前面爬行了10米,而当他追到乌龟爬行的10米处时,乌龟又向前爬行了1米,就这样,乌龟总能领先一段距离,不管这个距离有多小,只要乌龟不停地向前爬行,阿基里斯就永远追不上乌龟.试问在阿基里斯与乌龟的竞赛中,当阿基里斯与乌龟相距0.01米时,乌龟共爬行了(

)A.11.1米 B.10.1米 C.11.11米 D.11米C1234567891011121314151617181920解析

依题意,乌龟爬行的距离组成等比数列{an},其首项a1=10,公比q=0.1,前n项和为Sn,12345678910111213141516171819205.[探究点一·2023陕西铜川校考一模]设各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3=13,S6=364,则通项an为(

)A.32n-1

B.32n

C.3n

D.3n-1D解析

设{an}的公比为q,由题可知q>0,且q≠1.12345678910111213141516171819206.[探究点一、二](多选题)[2023湖北武汉洪山高级中学高二阶段练习]已知Sn为数列{an}的前n项和,下列说法一定正确的是(

)A.若{an}为等差数列,则S5,S10-S5,S15-S10为等差数列B.若{an}为等比数列,则S5,S10-S5,S15-S10为等比数列ABC1234567891011121314151617181920解析

A选项,{an}为等差数列,设公差为d,所以S5=5a1+10d,S10=10a1+45d,S15=15a1+105d,故S10-S5=5a1+35d,S15-S10=5a1+60d,因为2(S10-S5)=S5+S15-S10,所以S5,S10-S5,S15-S10成等差数列,A正确;B选项,{an}成等比数列,设公比为q,若q=1,则S5=5a1,S10=10a1,S15=15a1,则S10-S5=5a1,S15-S10=5a1,故(S10-S5)2=S5(S15-S10),故S5,S10-S5,S15-S10成等比数列.1234567891011121314151617181920综上,若{an}为等比数列,则S5,S10-S5,S15-S10一定为等比数列,B正确;1234567891011121314151617181920C选项,{an}为等差数列,设公差为d,123456789101112131415161718192012345678910111213141516171819207.[探究点一]已知等比数列{an}的公比为2,前n项和为Sn,若S5=1,则S10=

.

3312345678910111213141516171819201234567891011121314151617181920123456789101112131415161718192010.[探究点一]已知数列{an}是首项为1,公差为2的等差数列,Sn为数列{an}的前n项和.(1)求an及Sn;(2)设数列{bn}是首项为2的等比数列,其公比q满足q2-(a4+1)q+S4=0,求数列{bn}的通项公式及其前n项和Tn.解(1)设{an}的公差为d,由题可知an=a1+(n-1)d=2n-1,1234567891011121314151617181920(2)由(1)得a4=7,S4=16.因为q2-(a4+1)q+S4=0,即q2-8q+16=0,所以(q-4)2=0,从而q=4,所以bn=b1qn-1=2·4n-1=22n-1,123456789101112131415161718192011.[探究点三·2023湖南湘潭高三期末]已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=2,b1=1,a2+a3=10,b2b3=-a4.(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)设cn=an+bn,求c1+c3+c5+…+c2n-1.解(1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q,则a2+a3=a1+d+a1+2d=4+3d=10,解得d=2,∴an=a1+(n-1)d=2+2(n-1)=2n,∴b2b3=b1qb1q2=q3=-a4=-8,解得q=-2,∴bn=b1qn-1=(-2)n-1,即an=2n,bn=(-2)n-1.1234567891011121314151617181920(2)由(1)知{an}为等差数列,{bn}为公比q=-2的等比数列,∴a1,a3,a5,…,a2n-1为等差数列,b1,b3,b5,…,b2n-1为公比为q2的等比数列.∵cn=an+bn,∴c1+c3+c5+…+c2n-1=(a1+a3+a5+…+a2n-1)+(b1+b3+b5+…+b2n-1)1234567891011121314151617181920B级关键能力提升练12.设数列{an}的各项均为正数,前n项和为Sn,log2an+1=1+log2an,且a3=4,则S6的值为(

)A.128 B.65

C.64

D.63D解析

因为log2an+1=1+log2an,所以log2an+1=log22an,所以an+1=2an,所以数列{an}是公比为2的等比数列.123456789101112131415161718192013.记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a5-a3=12,a6-a4=24,则

的值为(

)A.2n-1 B.2-21-n C.2-2n-1 D.21-n-1B解析

设等比数列{an}的公比为q.又a5-a3=a1q4-a1q2=12a1=12,∴a1=1.∴an=a1qn-1=2n-1,123456789101112131415161718192014.等比数列{an}的项数为奇数,所有奇数项的和S奇=255,所有偶数项的和S偶=-126,末项是192,则首项a1的值为(

)A.1 B.2

C.3

D.4C123456789101112131415161718192015.[北师大版教材习题改编]设数列{an}是由正数组成的等比数列,公比q=2,且a1a2a3…a30=230,那么a3a6…a30=(

)A.210

B.215

C.220

D.216C1234567891011121314151617181920D解析

设等比数列{an}的公比为q,q≠0.若q=1,则an=a1,所以Sn=na1,123456789101112131415161718192017.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若S4=3,S8=9,则S16的值为

.

45解析

设等比数列{an}的公比为q.因为S4≠0,所以由等比数列前n项和的性质可知,S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12成等比所以S12-S8=3×22=12,S16-S12=3×23=24,因此S16=S4+(S8-S4)+(S12-S8)+(S16-S12)=3+6+12+24=45.123456789101112131415161718192018.已知数列{an}是以1为首项,2为公差的等差数列,{bn}是以1为首项,2为公比的等比数列,设cn=,Tn=c1+c2+…+cn(n∈N+),则当Tn<2023时,n的最大值为

.

91234567891011121314151617181920解析

∵数列{an}是以1为首项,2为公差的等差数列,∴an=2n-1.∵数列{bn}是以1为首项,2为公比的等比数列,∴bn=2n-1.∵Tn<2

023,∴2n+1-n-2<2

023,∴n≤9.故当Tn<2

023时,n的最大值是9.123456789101112131415161718192019.设等比数列{an}满足a1