2021年河南师大附中中考数学一模试卷（含解析）

2021年河南师大附中中考数学一模试卷

一、选择题（共io小题）.

1.如图所示的工件的主视图是（）

2.据世界卫生组织通报，截止2021年3月10日，全球感染人数约为1.17亿，治愈率约为

77%,请用科学记数法表达治愈总人数约为（）

A.1.17X108B.0.9009X1O10

C.9.009X107D.9.009X108

3.已知反比例函数的图象经过点（2,-4）,那么这个反比例函数的解析式是（）

AV—2RV-2-8D、,一8

A・y--D.y---------rc.yv--u.y----

XXXX

4.把函数y=（x-I）2+2图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（）

A.y=/+2B.y=（x-1）2+1C.尸（x-2）2+2D.尸（x-1）2+3

5.不透明的袋子中有两个小球，上面分别写着数字“1”，“2"，除数字外两个小球无其

他差别.从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球,

记录其数字，那么两次记录的数字之和为3的概率是（）

1I19

A.—B.—C.—D.—

4323

6.如图所示，过y轴正半轴上的任意一点P作x轴的平行线，分别与反比例函数y=一2和

X

的图象交于点A和点8,若点C是x轴上任意一点，连接AC,BC,则AABC的面

X

积为（）

7.如图，ZVIBC内接于。0,/A=50°.E是边BC的中点，连接0E并延长，交。。于

点。，连接8£>,则/。的大小为（）

A.55°B.65°C.60°D.75°

8.如图，在平面直角坐标系中，点尸在第一象限，OP与x轴、y轴都相切，且经过矩形

4OBC的顶点C,与8c相交于点。.若。P的半径为5,点4的坐标是（0,8）.则点

D的坐标是（）

9.关于x的方程（x-1）（x+2）=〃（〃为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（）

A.两个正根B.两个负根

C.一个正根，一个负根D.无实数根

10.抛物线>=,1+公+。（a,b,c为常数，a<0）经过A（2,0）,8（-4,0）两点，下

列四个结论：

①一元二次方程axi+bx+c=O的根为乃=2,X2=-4；

②若点C（-5,yi）,D（IT,72）在该抛物线上，则yi<”；

③对于任意实数总有aP+bt^a-b；

④对于。的每一个确定值，若一元二次方程加+bx+c=p（p为常数，p>0）的根为整数,

则P的值只有两个.

其中正确的结论是（）

A.①②B.①②③C.①③D.①③④

二、填空题（每小题3分，共15分）

11.计算sin30°（3-«）。+卜/的值是.

12.为了解某区六年级8400名学生中会游泳的学生人数，随机调查了其中400名学生，结

果有150名学生会游泳，那么估计该区会游泳的六年级学生人数约为.

13.《九章算术》中记载了一种测量井深的方法.如图所示，在井口B处立一根垂直于井

口的木杆8。，从木杆的顶端。观察井水水岸C,视线。C与井口的直径AB交于点E,

如果测得48=1.6米，BD=1米，BE=0.2米，那么AC为米.

14.如图，在平面角坐标系中，矩形ABCC的对角线AC的中点与坐标原点重合，点E是x

轴上一点，连接AE.若A。平分NOAE,反比例函数y=K*>0,x>0）的图象经过

X

AE上的两点4F,且ZVIBE的面积为18,则攵的值为

15.如图所示的扇形A08中，0A=0B=2,NAOB=90°,C为上一点，ZAOC=30°,

连接BC,过C作。4的垂线交A0于点D,则图中阴影部分的面积

Qx+1

16.已知：A—--+x,B――5>x满足等式x2-5x+6=0,请求出A+8的值.

x-2X2-2X

17.为了解疫情期间学生网络学习的学习效果，东坡中学随机抽取了部分学生进行调查.要

求每位学生从“优秀”，“良好”，“一般”，“不合格”四个等次中，选择一项作为

自我评价网络学习的效果.现将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合图中

所给的信息解答下列问题：

A10o

/40%、8o

6o

4o

、优/一般

2O

优秀良好一般不合格学习效果

不合格

（1）这次活动共抽查了人.

（2）将条形统计图补充完整，并计算出扇形统计图中，学习效果“一般”的学生人数所

在扇形的圆心角度数.

（3）张老师在班上随机抽取了4名学生，其中学习效果“优秀”的1人，“良好”的2

人，“一般”的1人，若再从这4人中随机抽取2人，请用画树状图法，求出抽取的2

人学习效果全是“良好”的概率.

18.已知：如图，△ABC为锐角三角形，AB=AC,CD//AB.

求作：线段BP,使得点P在直线CC上，且

作法:

①以点A为圆心，AC长为半径画圆，交直线C。于C,P两点;

②连接BP.线段BP就是所求作的线段.

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

(2)求证：ZABP^ZBAC.

CD

19.某校九年级数学兴趣社团的同学们学习二次函数后，有兴趣的在一起探究“函数

的有关图象和性质”，探究过程如下:

（1）歹U表：问加=___________________

•・・・・・

X-3-2-10122—

2

y・・・620002m・・・

（2）请在平面直角坐标系中画出图象.

（3）若方程N-|x|=p（p为常数）有三个实数根，则夕=.

（4）试写出方程x2-M=P（P为常数）有两个实数根时，0的取值范围

20.如图，AB是垂直于水平面的一座大楼，离大楼20米（BC=20米）远的地方有一段斜

坡C。（坡度为1：0.75）,且坡长。=10米，某日下午一个时刻，在太阳光照射下，

大楼的影子落在了水平面8C,斜坡C。，以及坡顶上的水平面。E处（4、B、C、D、E

均在同一个平面内）.若OE=4米，且此时太阳光与水平面所夹锐角为24°（ZAED^

24°）,试求出大楼AB的高.（其中，sin24°^0.41,cos240-0.91,tan24°-0.45）

21.为了做好学校防疫工作，某高中开学前备足防疫物资，准备购买N95口罩(单位：只)

和医用外科口罩(单位：包，一包=10只)若干，经市场调查：购买10只7V95口罩、9

包医用外科口罩共需236元；购买一只N95口罩的费用是购买一包医用外科口罩费用的

5倍.

(1)购买一只N95口罩，一包医用外科口罩各需多少元？

(2)市场上现有甲、乙两所医疗机构：甲医疗机构销售方案为：购买一只N95口罩送一

包医用外科口罩，乙医疗机构销售方案为：购买口罩全部打九折.若某高中准备购买1000

只N95口罩，购买医用外科口罩机万包(机21),请你帮助设计最佳购买方案，最佳购

买口罩总费用为多少元？

22.在平面直角坐标系xOy中，直线y=-m+5与x轴、y轴分别交于点A、3(如图).抛

物线y=or2+bx(〃W0)经过点A.

(1)求线段A8的长；

(2)如果抛物线〉=,后+笈经过线段AB上的另一点C,且8C=旄，求这条抛物线的

表达式；

(3)如果抛物线丫二加+法的顶点。位于△AOB内，求a的取值范围.

23.(1)【问题背景】如图①，已知△ABCSAADE,请直接写出图中的另外一对相似三

角形：;

(2)【尝试应用】如图②，在△ABC和△4£>£：中，ZBAC=ZDAE=90°,ZABC=Z

ADE=30°,AC与OE相交于点凡点。在8C边上，求典的值和NOCE的度数；

CE

(3)【拓展创新】如图③，。是△ABC内一点，ZBAD=ZCBD=30°,N8DC=90°,

AB=2gAC=3,请直接写出4。的长.

参考答案

一、选择题（共10小题）.

1.如图所示的工件的主视图是（）

解：从物体正面看，看到的是一个横放的矩形，且一条斜线将其分成一个直角梯形和一

个直角三角形.

故选：B.

2.据世界卫生组织通报，截止2021年3月10日，全球感染人数约为1.17亿，治愈率约为

77%,请用科学记数法表达治愈总人数约为（）

A.1.17X108B.0.9009X1O10

C.9.009X107D.9.009X108

解：1.17亿X77%=90090000=9.009X107.

故选：C.

3.己知反比例函数的图象经过点（2,-4）,那么这个反比例函数的解析式是（）

9ooo

A.y=—B.y=---C.y=—D.y=

XXXX

解：设反比例函数解析式为^=乂，

X

将（2,-4）代入，得：-4=2"，

解得k=-8,

所以这个反比例函数解析式为了=-

x

故选：D.

4.把函数），=（x-1）2+2图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（）

A.y—j^+lB.y—（x-1）2+1C.y—（x-2）2+2D.y—（x-1）2+3

解：二次函数'=（x-1）2+2的图象的顶点坐标为（1,2）,

向右平移1个单位长度后的函数图象的顶点坐标为（2,2）,

•••所得的图象解析式为y=（x-2）2+2.

故选：C.

5.不透明的袋子中有两个小球，上面分别写着数字“1”，“2"，除数字外两个小球无其

他差别.从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球,

记录其数字，那么两次记录的数字之和为3的概率是（）

1119

A.—B.—C.—D.—

4323

解：列表如下：

12

123

234

由表可知，共有4种等可能结果，其中两次记录的数字之和为3的有2种结果，

所以两次记录的数字之和为3的概率为

42

故选：C.

6.如图所示，过y轴正半轴上的任意一点P作x轴的平行线，分别与反比例函数y=一且和

X

的图象交于点A和点8,若点C是x轴上任意一点，连接AC,BC,则△ABC的面

x

积为（）

A.6B.7C.8D.14

解：轴，且△ABC与△480共底边AB,

/XABC的面积等于△AB。的面积，

连接OA、OB,如下图所示:

贝”△虹0=52^0+5功加幸0叩8*0叩人=**⑻4X|-6|=4+3=7.

故选:B.

7.如图，ZiABC内接于。0,ZA=50°.E是边BC的中点，连接OE并延长，交。。于

解：连接CD,

VZA=50°,

.../CCB=180°-/A=130°,

•.•E是边8c的中点，

：.OD±BC,

；.BD=CD,

：.ZODB^^ODC=—/BDC=(>5O,

2

故选：B.

D

8.如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，OP与x轴、y轴都相切，且经过矩形

AOBC的顶点C,与3C相交于点。.若OP的半径为5,点A的坐标是（0,8）.则点

D的坐标是（）

A.(9,2)B.(9,3)C.(10,2)D.(10,3)

解：设O。与X、y轴相切的切点分别是尸、E点,连接尸及PF、PD,延长EP与CO交

于点G,

则尸轴，PFLx轴，

VZEOF=90°,

・・・四边形PEO尸是矩形，

•:PE=PF,PE//OF,

・・・四边形PEOF为正方形，

：.OE=PF=PE=OF=5,

VA(0,8),

・・・。4=8,

：.AE=S-5=3,

・・•四边形OACB为矩形，

：.BC=OA=S,BC//OAtAC//OB,

J.EG//AC,

・・・四边形AEGC为平行四边形，四边形OEGB为平行四边形，

：.CG=AE=39EG=OB,

・.・PE_LAO,AO//CB,

：.PGLCD,

:.CD=2CG=6,

：.DB=BC-CD=S-6=2,

■:PD=5,DG=CG=3,

,・PG=4,

：.OB=EG=5+4=9,

：.D(9,2).

故选：A.

9.关于x的方程(x-1)(x+2)=p2(p为常数)的根的情况，下列结论中正确的是()

A.两个正根B.两个负根

C.一个正根，一个负根D.无实数根

解：关于X的方程(X-1)(x+2)=p2(p为常数)，

.'.x^+x-2-p2=0,

,\b2-4ac=l+8+4p2=9+4p2>0,

二方程有两个不相等的实数根，

根据根与系数的关系，方程的两个根的积为-2-p2<0,

...一个正根，一个负根，

故选：C.

10.抛物线yua^+ZJx+c(a,b,c为常数，a(0)经过A(2,0),B(-4,0)两点，下

列四个结论：

①一元二次方程cvr+bx+c=0的根为xt=2,X2=-4；

②若点C(-5,,D(TT,yi)在该抛物线上，则yi<y2；

③对于任意实数3总有aP+bt^a-b；

④对于a的每一个确定值，若一元二次方程a^+bx+cup(p为常数，p>0)的根为整数,

则P的值只有两个.

其中正确的结论是()

A.①②B.①②③C.①③D.①③④

解：:•抛物线经过A(2,0),B(-4,0)两点，

，一元二次方程a^+bx+cuO的根为的=2,X2=-4,所以①正确;

抛物线的对称轴为直线x=-1,抛物线开口向下，

而C（-5,%）到直线X=-1的距离比D（TT,”）到直线X=-1的距离小，

所以②错误；

•.•抛物线的对称轴为直线X=-1,

...x=-1时，函数值有最大值a-b+c,

at2+bt+c^：a-b+c,

即“F+bWa一区所以③正确；

•.•抛物线经过A（2,0）,B（-4,0）两点，抛物线的对称轴为x=-1,

，一元二次方程（p为常数，p>0）的整数根可能为X|=-3,X2=l或Xl=

-2,X2=o或X|=X2=-1，

;.p的值有三个，所以④错误.

故选：C.

二、填空题（每小题3分，共15分）

II.计算sin300+V16-（3-正）°+卜日的值是4.

解：原式=《+4-

22

=4.

故答案为：4.

12.为了解某区六年级8400名学生中会游泳的学生人数，随机调查了其中400名学生，结

果有150名学生会游泳，那么估计该区会游泳的六年级学生人数约为3150.

解：8400X^^=3150.

400

答：估计该区会游泳的六年级学生人数约为3150.

故答案为：3150.

13.《九章算术》中记载了一种测量井深的方法.如图所示，在井口B处立一根垂直于井

口的木杆8。，从木杆的顶端。观察井水水岸C,视线。C与井口的直径AB交于点E,

如果测得AB=1.6米，80=1米，8E=0.2米，那么AC为7米.

解：VBD±AB,ACA.AB,

J.BD//AC,

：./\ACE^/\BDEt

•..AC_AE,

BDBE

.AC1.4

10.2

；.AC=7(米)，

故答案为：7.

14.如图，在平面角坐标系中，矩形A8C。的对角线AC的中点与坐标原点重合，点E是x

轴上一点，连接AE.若A。平分NOAE,反比例函数y=K(A>0,x>0)的图象经过

X

AE上的两点A,F,且AF=EE,ZVIBE的面积为18,则氏的值为12.

解：如图，连接BD,OF,过点A作AMLOE于N,过点尸作FMJ_O石于M.

'：AN//FM、AF=FE,

；.MN=ME,

:.FM=AN,

「A,F在反比例函数的图象上,

S4AON=S&FOM,

：.ON・AN=・OM・FM,

：.ON=OM,

.ON=MN=EM,

:・ME=OE,

•♦S△FME=SMOE,

・.・AQ平分NOAE,

：.ZOAD=ZEAD,

•・♦四边形A8CO是矩形，

：・OA=OD,

：.ZOAD=ZODA=/DAE,

：.AE//BDf

••S4ABE=S2AOE,

**•SAAOE=18,

•：AF=EF,

**.S&EOF=SMOE=9,

•・S^FME=S^EOF=3,

:•SXFOM=S»FOE-S、FME=9-3=6,

:・k=12.

C

故答案为：12.

15.如图所示的扇形4。8中，OA=OB=2,/AOB=90°,C为窟上一点，NAOC=30°,

连接BC,过C作04的垂线交A0于点。，则图中阴影部分的面积为2打二叵.

~32~

B

0

D

解：VZAOB=90°,ZAOC=30°,

AZBOC=60°,

・・•扇形A03中，0A=0B=2,

:.0B=0C=2,

•••△30C是等边三角形,

・・•过C作0A的垂线交AO于点D,

・・・NOOC=90°,

VZAOC=30°,

.•.0。=亨OC=«,CD=yOC=l,

・••图中阴影部分的面积^一S扇形BOC-SAOBC+SACOD

=§Q］兀x22-1X2X2X*Vx«xi

360乙乙乙

_2yM

32_

故答案为告皿-返.

32

三、解答题（共75分）

x+1

16.已知：4=-二B=-3，x满足等式炉-51+6=0,请求出的值.

x-2x-2x

解：Vx2-5/+6=0,

・・・(x-2)(x-3)=0,

贝Ijx-2=O或x-3=0,

解得汨=2,元2=3；

A^B

一）x+1

~^~2

x-2x-2x

2

=(X-2X.J-x+1

x-2x-2x(x-2)

(x+1)(x-3)一x(x-2)

x~2x+1

=/-3x,

•••x=2时分式无意义，

则A+B=9-9=0.

17.为了解疫情期间学生网络学习的学习效果，东坡中学随机抽取了部分学生进行调查.要

求每位学生从“优秀”，“良好”，“一般”，“不合格”四个等次中，选择一项作为

自我评价网络学习的效果.现将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合图中

所给的信息解答下列问题：

人

数

/%0o二

40良8o

一

好

/6o二

一4o

优

秀X

2O

--T一

/优秀良好一般不合格学习效果

不合格

(1)这次活动共抽查了200人.

(2)将条形统计图补充完整，并计算出扇形统计图中，学习效果“一般”的学生人数所

在扇形的圆心角度数.

(3)张老师在班上随机抽取了4名学生，其中学习效果“优秀”的1人，“良好”的2

人，“一般”的1人，若再从这4人中随机抽取2人，请用画树状图法，求出抽取的2

人学习效果全是“良好”的概率.

解：(1)这次活动共抽查的学生人数为80・40%=200(人)；

故答案为：200；

(2)“不合格”的学生人数为200-40-80-60=20(人)，

将条形统计图补充完整如图：

优秀良好一般不合格学习效果

学习效果''一般”的学生人数所在扇形的圆心角度数为360。X黑=108。；

200

（3）把学习效果“优秀”的记为A,“良好”记为8,“一般”的记为C,

画树状图如图：

一开始、

ABBC

zl\/l\Zl\小

BBCABCABCABB

共有12个等可能的结果，抽取的2人学习效果全是“良好”的结果有2个,

二抽取的2人学习效果全是“良好”的概率

126

18.已知：如图，ZVIBC为锐角三角形，AB=AC,CD//AB.

求作：线段BP,使得点尸在直线CO上，且

作法：

①以点A为圆心，AC长为半径画圆，交直线C。于C,P两点；

②连接8P.线段8P就是所求作的线段.

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

ZBPC=—ZBAC,

2

'：CD//AB,

：.ZABP=ZBPC,

：.ZABP=—ZBAC.

2

19.某校九年级数学兴趣社团的同学们学习二次函数后，有兴趣的在一起探究“函数y=（

-国的有关图象和性质”，探究过程如下：

（3）若方程N-|x|=p（p为常数）有三个实数根，则。=0.

（4）试写出方程f-k|=p（p为常数）有两个实数根时，〃的取值范围是〃>0或0=

.2

一%一.

解：（1）当x=2』时，

2

y=/-|x|=吗）2一吟尸孕,

224

故答案为」梃；

4

（2）图象如下:

（3）由（2）题图象可知当y=0时图象与x轴有三个交点，

即当p=o时方程好-国=0有三个实数根，

故答案为0;

（4）由（2）图象可以看出当y=p直线经过顶点或者在x轴上方时与图象有两个交点，

即方程（p为常数）有两个实数根，

.'.p>o或p='，

4

故答案为p>。或p=--y.

20.如图，AB是垂直于水平面的一座大楼，离大楼20米（8C=20米）远的地方有一段斜

坡CD（坡度为1：0.75）,且坡长CO=10米，某日下午一个时刻，在太阳光照射下，

大楼的影子落在了水平面2C,斜坡8,以及坡顶上的水平面OE处（A、B、C、D、E

均在同一个平面内）.若OE=4米，且此时太阳光与水平面所夹锐角为24°（ZAED=

24°）,试求出大楼AB的高.（其中,sin24°心0.41,cos24°-0.91,tan24°g0.45）

解：延长EO交AB于G,DH_LBF于H,

■:DE//BF,

四边形O4BG是矩形,

：.DG=BH,DH=BG,

V—=—―,8=10,

CH0.75

.--£>//=8,CH=6,

・・・G£=20+4+6=30,

Vtan24°

；.4G=13.5,

.•.AB=AG+BG=13.5+8=21.5.

答：大楼A8的高为21.5米.

21.为了做好学校防疫工作，某高中开学前备足防疫物资，准备购买N95口罩（单位：只）

和医用外科口罩（单位：包，一包=10只）若干，经市场调查：购买10只N95口罩、9

包医用外科口罩共需236元；购买一只N95口罩的费用是购买一包医用外科口罩费用的

5倍.

（1）购买一只N95口罩，一包医用外科口罩各需多少元？

（2）市场上现有甲、乙两所医疗机构：甲医疗机构销售方案为：购买一只N95口罩送一

包医用外科口罩，乙医疗机构销售方案为：购买口罩全部打九折.若某高中准备购买1000

只N95口罩，购买医用外科口罩机万包（〃海1）,请你帮助设计最佳购买方案，最佳购

买口罩总费用为多少元？

解：（1）设一只N95口罩x元，一包医用外科口罩y元，根据题意得，

（10x+9y=236

Ix=5y

解得卜=2。,

Iy=4

答：一只N95口罩20元，一包医用外科口罩4元；

（2）方案一：单独去甲医疗机构买总费用为：20X1000+4（10000^-1000）=

40000/W+16000（元）：

方案二：单独去乙医疗机构买总费用为：（20Xl000+40000”?）X0.9=36000，"+18000（元）；

方案三：线去甲医疗机构购买一只N95口罩送一包医用外科口罩，剩下的去乙医疗机构

买，

总费用为：20X1000+4(lOOOOw-1000)X0.9=36000%+16400(元).

...方案三最佳，总费用为(36000/n+16400)元.

22.在平面直角坐标系X。)，中，直线y=-方+5与x轴、y轴分别交于点A、8(如图).抛

物线y=ax2+bx(〃W0)经过点A.

(1)求线段A8的长；

(2)如果抛物线、=涓+笈经过线段AB上的另一点C,且8C=遂，求这条抛物线的

表达式；

(3)如果抛物线》二加+法的顶点。位于△AOB内，求。的取值范围.

解：(1)针对于直线y=-/+5,

令4=0,y=5,

：.B(0,5),

令y=0,则-卞+5=0,

.\x=10,

・・・A