【世纪金榜】2023高考数学专题辅导与训练配套练习：课时冲关练(二)-1.2向量、不等式、线性规划

PAGE17-课时冲关练(二)向量、不等式、线性规划A组(30分钟76分)一、选择题(每题5分,共60分)1.(2023·杭州模拟)A,B,C三点在同一条直线l上,O为直线外一点,假设pQUOTE+qQUOTE+rQUOTE=0,p,q,r∈R,那么p+q+r=()A.-1 B.0 C.1 D.3【解析】选B.因为A,B,C三点在同一条直线上,所以存在实数λ使QUOTE=λQUOTE,所以QUOTE-QUOTE=λ(QUOTE-QUOTE),即(λ-1)QUOTE+QUOTE-λQUOTE=0,因为pQUOTE+qQUOTE+rQUOTE=0,所以p=λ-1,q=1,r=-λ,所以p+q+r=0.2.设向量a=(4,x),b=(2,-1),且a⊥b,那么x的值是()A.8 B.-8 C.2 D.-2【解析】选A.因为a⊥b,所以a·b=4×2-x=0,解得x=8.3.设a,b为实数,那么“0<ab<1〞是“b<QUOTE〞的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】选D.0<ab<1可分为两种情况:当a>0,b>0时,b<QUOTE;当a<0,b<0时,b>QUOTE,故不充分;反之,当b<0<QUOTE,可有ab<0,故不必要,所以应为既不充分也不必要条件.4.(2023·湖州模拟)假设a,b∈R,且ab>0,那么以下不等式恒成立的是()A.a2+b2>2ab B.a+b≥2QUOTEC.QUOTE+QUOTE>QUOTE D.QUOTE+QUOTE≥2【解析】选D.对于A:当a=b=1时满足ab>0,但a2+b2=2ab,所以A错;对于B,C:当a=b=-1时满足ab>0,但a+b<0,QUOTE+QUOTE<0,而2QUOTE>0,QUOTE>0,显然B,C不对;对于D:当ab>0时,由根本不等式可得QUOTE+QUOTE≥2QUOTE=2.5.不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|2<x<4},那么不等式cx2+bx+a<0的解集为()A.QUOTEB.QUOTEC.QUOTED.QUOTE【解析】选D.由a<0,把2和4看作方程ax2+bx+c=0的两个根,那么QUOTE所以b=-6a,c=8a,即cx2+bx+a<08ax2-6ax+a<0.因为a<0,所以8x2-6x+1>0,解得:x>QUOTE或x<QUOTE.6.(2023·温州模拟)实数x,y满足不等式组QUOTE那么2x-y的取值范围是()A.[-1,3] B.[-3,-1]C.[-1,6] D.[-6,1]【解析】选C.由线性约束条件作出可行域如图.设z=2x-y,那么y=2x-z.利用平移法可知,在点(3,0)处z取最大值6,在点(0,1)处取得最小值-1.应选C.7.向量a,b,其中|a|=QUOTE,|b|=2,且(a-b)⊥a,那么向量a和b的夹角是()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.π【解析】选A.由题意知(a-b)·a=a2-a·b=2-a·b=0,所以a·b=2.设a与b的夹角为θ,那么cosθ=QUOTE=QUOTE,θ=QUOTE.8.向量a=(2,1),a·b=10,QUOTE=5QUOTE,那么QUOTE=()A.QUOTE B.QUOTE C.5 D.25【解析】选C.因为a=(2,1),a·b=10,|a+b|=5QUOTE,所以(a+b)2=50=a2+2a·b+b2,解得可知|b9.以下不等式一定成立的是()A.lg〔x2+QUOTE〕>lgx(x>0)B.sinx+QUOTE≥2(x≠kπ,k∈Z)C.x2+1≥2|x|(x∈R)D.QUOTE>1(x∈R)【解题提示】应用根本不等式:x,y为正实数,QUOTE≥QUOTE(当且仅当x=y时取等号)逐个分析,注意根本不等式的应用条件及取等号的条件.【解析】选C.当x>0时,x2+QUOTE≥2·x·QUOTE=x,所以lg〔x2+QUOTE〕≥lgx(x>0),应选项A不正确;运用根本不等式时需保证一正、二定、三相等,而当x≠kπ,k∈Z时,sinx的正、负不定,应选项B不正确;由根本不等式可知,选项C正确;当x=0时,有QUOTE=1,应选项D不正确.10.(2023·合肥模拟)假设不等式组QUOTE表示的平面区域的面积为3,那么实数a的值是()A.1 B.2 C.QUOTE D.3【解析】选B.作出可行域,如图中阴影局部所示,区域面积S=QUOTE×〔QUOTE+2〕×2=3,解得a=2.11.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a<b),其全程的平均时速为v,那么()A.a<v<QUOTE B.v=QUOTEC.QUOTE<v<QUOTE D.v=QUOTE【解析】选A.由小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b,那么全程的平均时速为v=QUOTE=QUOTE,又因为a<b,所以QUOTE<QUOTE<QUOTE=QUOTE,所以a<v<QUOTE,A成立.12.A,B是单位圆上的动点,且|AB|=QUOTE,单位圆的圆心为O,那么QUOTE·QUOTE=()A.-QUOTE B.QUOTE C.-QUOTE D.QUOTE【解析】选C.由题意知,单位圆的弦AB所对的圆心角∠AOB=120°,故QUOTE·QUOTE=QUOTE·(QUOTE-QUOTE)=QUOTE·QUOTE-QUOTE=1×1×cos120°-1=-QUOTE.应选C.二、填空题(每题4分,共16分)13.向量a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4).假设λ为实数,(a+λb)∥c,那么λ的值为.【解析】a+λb=(1,2)+λ(1,0)=(1+λ,2),因为(a+λb)∥c,所以4(1+λ)-3×2=0,解得λ=QUOTE.答案:QUOTE14.(2023·宁波模拟)在△ABC中,∠C=90°,点M满足QUOTE=3QUOTE,那么sin∠BAM的最大值是.【解析】以CB,CA为x轴、y轴建立坐标系,如图,设B(4a,0),A(0,b),因为QUOTE=3QUOTE,所以M(a,0),所以QUOTE·QUOTE=(a,-b)·(4a,-b)=4a2+b2,又因为|QUOTE|=QUOTE,|QUOTE|=QUOTE,所以cos∠BAM=QUOTE=QUOTE≥QUOTE=QUOTE,所以cos∠BAM的最小值是QUOTE,因为sin2∠BAM+cos2∠BAM=1,sin∠BAM>0,所以sin∠BAM的最大值为QUOTE.答案:QUOTE15.(2023·台州模拟)设k∈R,假设1≤x≤2时恒有x3-3x2+2≤(1-k)x+1≤0,那么k的取值集合是.【解析】因为1≤x≤2时,恒有(1-k)x+1≤0,所以QUOTE所以k≥2,x3-3x2+2≤(1-k)x+1,那么1-k≥x2-3x+QUOTE,设f(x)=x2-3x+QUOTE,f'(x)=2x-3-QUOTE,设f'(x)=0在1≤x≤2时的解为a,所以函数f(x)在(1,a)上单调递减,在(a,2)上单调递增,因为f(1)=-1,f(2)=-QUOTE,所以f(x)max=f(1)=-1.所以1-k≥-1,所以k≤2.所以k的取值集合是{2}.答案:{2}16.(2023·潍坊模拟)a>0,b>0,且a+2b=1,那么QUOTE+QUOTE的最小值为.【解析】QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE=3+QUOTE+QUOTE≥3+2QUOTE=3+2QUOTE.即QUOTE+QUOTE的最小值为3+2QUOTE.答案:3+2QUOTEB组(30分钟76分)一、选择题(每题5分,共60分)1.(2023·浏阳模拟)设a,b∈R,假设a-|b|>0,那么以下不等式中正确的选项是()A.b-a>0 B.a3+b3<0C.b+a>0 D.a2-b2<0【解题提示】可以根据a-|b|>0去掉绝对值号得到a与b的大小关系,从而作出判断,亦可以在a,b∈R的前提下取满足a-|b|>0的特殊实数a,b验证.【解析】选C.方法一:由a-|b|>0,得a>|b|,所以-a<b<a,所以a+b>0且a-b>0,所以b-a<0,A错.a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)QUOTE>0,所以B错.而a2-b2=(a-b)(a+b)>0,所以D错.方法二(特殊值法):因为a,b∈R且a-|b|>0,所以取a=2,b=-1.那么b-a=-1-2=-3<0,所以A错.a3+b3=8-1=7>0,所以B错.a2-b2=22-(-1)2=3>0,所以D错.2.向量a,b,满足|a|=3,|b|=2QUOTE,且a⊥(a+b),那么a与b的夹角为()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选D.a⊥(a+b)a·(a+b)=a2+a·b=|a|2+|a||b|cos<a,b>=0,故cos<a,b>=-QUOTE=-QUOTE,故所求夹角为QUOTE.3.直线ax+by+c=0的某一侧的点P(m,n),满足am+bn+c<0,那么当a>0,b<0时,该点位于该直线的()A.右上方 B.右下方C.左下方 D.左上方【解析】选D.因为am+bn+c<0,b<0,所以n>-QUOTEm-QUOTE.所以点P所在的平面区域满足不等式y>-QUOTEx-QUOTE,a>0,b<0.所以-QUOTE>0.故点P在该直线的上侧,综上知,点P在该直线的左上方.4.(2023·绍兴模拟)约束条件对应的平面区域D如下图,其中l1,l2,l3对应的直线方程分别为:y=k1x+b1,y=k2x+b2,y=k3x+b3,假设目标函数z=-kx+y仅在点A(m,n)处取到最大值,那么有()A.k1<k<k2 B.k1<k<k3C.k1≤k≤k3 D.k<k1或k>k3【解析】选B.因为z=-kx+y仅在点A(m,n)处取得最大值,那么由y=kx+z,可知k1<k<k3.5.(2023·黄冈模拟)在△ABC中,(QUOTE-3QUOTE)⊥QUOTE,那么角A的最大值为()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选A.由(QUOTE-3QUOTE)⊥QUOTE,可得(QUOTE-3QUOTE)·QUOTE=0.化简可得|QUOTE|cosB=3|QUOTE|cos(π-C).cosA=QUOTE=QUOTE+QUOTE≥QUOTE,0<A<π.所以0<A≤QUOTE.6.正项等比数列{an}满足:a3=a2+2a1,假设存在两项am,an使得QUOTE=4a1,那么QUOTE+QUOTE的最小值为()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.不存在【解析】选A.设等比数列{an}的公比为q(q>0),因为a3=a2+2a1,所以a1q2=a1q+2a1,解之得q=2.又QUOTE=4a1,所以QUOTEqm+n-2=16QUOTE,所以2m+n-2因此m+n=6.那么〔QUOTE+QUOTE〕(m+n)=5+QUOTE+QUOTE≥9.当且仅当n=2m(即n=4,m=2)时取等号.所以〔QUOTE+QUOTE〕(m+n)的最小值为9,从而QUOTE+QUOTE的最小值为QUOTE.7.(2023·天津高考)菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120°,点E,F分别在边BC,DC上,BE=λBC,DF=μDC.假设QUOTE·QUOTE=1,QUOTE·QUOTE=-QUOTE,那么λ+μ=()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.因为∠BAD=120°,所以QUOTE·QUOTE=QUOTE·QUOTE·cos120°=-2.因为BE=λBC,所以QUOTE=QUOTE+λQUOTE,QUOTE=μQUOTE+QUOTE.因为QUOTE·QUOTE=1,所以QUOTE·QUOTE=1,即2λ+2μ-λμ=QUOTE①同理可得λμ-λ-μ=-QUOTE②,①+②得λ+μ=QUOTE.8.设x,y∈R,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且a⊥c,b∥c,那么|a+b|=()A.QUOTE B.QUOTE C.2QUOTE D.10【解析】选B.因为a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),由a⊥c,得a·c=2x-4=0,所以x=2.由b∥c,得1×(-4)-2y=0,所以y=-2.因此a+b=(2,1)+(1,-2)=(3,-1),那么|a+b|=QUOTE.9.设x,y满足约束条件QUOTE假设目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为12,那么QUOTE+QUOTE的最小值为()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.4【解题提示】先由结合线性规划知识可以求得a,b的关系式,再由根本不等式求解.【解析】选A.不等式组表示的平面区域如图阴影局部所示.当直线ax+by=z(a>0,b>0)过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点(4,6)时,目标函数z=ax+by(a>0,b>0)取得最大值12,即4a+6b=12,即2a+3b=6.所以QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE·QUOTE=QUOTE+QUOTE+QUOTE≥QUOTE+2=QUOTE.【方法技巧】线性规划问题的求解关注线性规划的实质是把代数问题几何化,即数形结合的思想.需要关注的是:(1)准确无误地作出可行域.(2)画目标函数所对应的直线时,要注意与约束条件中的直线的斜率进行比拟,防止出错.(3)一般情况下,目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.10.(2023·温州模拟)在△ABC中,假设QUOTE·QUOTE>|QUOTE|2,那么有()A.|QUOTE|>|QUOTE| B.|QUOTE|>|QUOTE|C.|QUOTE|>|QUOTE| D.|QUOTE|>|QUOTE|【解析】选D.因为QUOTE·QUOTE>|QUOTE|2,所以|QUOTE|·|QUOTE|·cosA>|QUOTE|2,所以|QUOTE|·cosA>|QUOTE|.因为|QUOTE|cosA是QUOTE在QUOTE上的投影,如图.所以|QUOTE|cosA=|QUOTE|>|QUOTE|,所以必须C为钝角时才能满足|QUOTE|cosA>|QUOTE|.根据大角对大边得|QUOTE|最长.应选D.11.(2023·台州模拟)在△ABC中,QUOTE=(cos18°,cos72°),QUOTE=(2cos63°,2cos27°),那么△ABC的面积为()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.QUOTE·QUOTE=2cos18°cos63°+2cos72°cos27°=2sin27°cos18°+2cos27°sin18°=2sin(27°+18°)=2sin45°=QUOTE.而|QUOTE|=1,|QUOTE|=2,所以cosB=QUOTE=QUOTE,所以sinB=QUOTE,所以S△ABC=QUOTE|QUOTE||QUOTE|sinB=QUOTE.12.定义max{a,b}=QUOTE设实数x,y满足约束条件QUOTE且z=max{4x+y,3x-y},那么z的取值范围为()A.[-6,0] B.[-7,10]C.[-6,8] D.[-7,8]【解析】选B.因为(4x+y)-(3x-y)=x+2y,所以z=QUOTE直线x+2y=0将约束条件QUOTE所确定的平面区域分为两局部.如图,令z1=4x+y,点(x,y)在四边形ABCD上及其内部,求得-7≤z1≤10;令z2=3x-y,点(x,y)在四边形ABEF上及其内部(除AB边),求得-7≤z2≤8.综上可知,z的取值范围为[-7,10].应选B.二、填空题(每题4分,共16分)13.函数f(x)=QUOTE假设f(2-a2)>f(a),那么实数a的取值范围是.【解析】f(x)=QUOTE由f(x)的图象可知f(x)在(-∞,+∞)上是单调增函数,由f(2-a2)>f(a)得2-a2>a,即a2+a-2<0,解得-2<a<1.答案:-2<a<114.(2023·宁波模拟)点O是△ABC的外接圆圆心,且AB=3,AC=4.假设存在非零实数x,y,使得QUOTE=xQUOTE+yQUOTE,且x+2y=1,那么cos∠BAC=.【解析】因为QUOTE·QUOTE=|QUOTE|·|QUOTE|·cos∠BAO,又因为|QUOTE|cos∠BAO是QUOTE在QUOTE上的投影且O为外接圆的圆心,所以|QUOTE|cos∠BAO=