高等数学-定积分的应用

定积分有着广泛的用途,

先介绍建立定积分的一种适用的简便方元素法(微元法).定积分的应用

(几何,物理)本章介绍它在几何,物理上的简单应用,培养用数学知识来分析和解决实际问题的能力.法---Theapplicationofdefiniteintegral1问题的提出小结思考题第一节定积分的元素法第六章定积分的应用(微元法)2究竟哪些量可用定积分来计算呢.首先讨论这个问题.

结合曲边梯形面积的计算?定积分的元素法一、问题的提出可知,用定积分计算的量应具有如下及定积分的定义许多部分区间,(即把[a,b]分成两个特点:(1)所求量I即与[a,b]有关;(2)I在[a,b]上具有可加性.则I相应地分成许多部分量,而I等于所有部分量之和)3按定义建立积分式有四步曲:“分割、有了N--L公式后,对应用问题来说关键就在于如何写出方法简化步骤被积表达式.定积分的元素法得到

这个复杂的极限运算问题得到了解决.是所求量I的微分于是,称为量I的微元或元素.取近似、求和、取极限”,4这种简化了的建立积分式的方法称为定积分的元素法元素法或微元法.简化步骤)1(求出上任取一小区间在],d,[],[xxxba+也是它的的近似值上所求量(]d,[IxxxD+即的微分,d)()xxf.d)(xxfI»D5这个小区间上所对应的小曲边梯形面积面积元素得定积分的元素法

曲边梯形面积的积分式也可以用元素法

建立如下.地等于长为f(x)、宽为dx的小矩形面积,故有近似上任取一小区间在],[ba],d,[xxx+6元素法的提出、思想、步骤.（注意元素法的本质）定积分的元素法二、小结7思考题何为定积分的元素法？定积分的元素法元素法使用的条件和程序是怎样的?8小结思考题作业平面图形的面积体积平面曲线的弧长第二节定积分在几何学上的应用第六章定积分的应用9一、平面图形的面积

回忆的几何意义:曲边梯形的面积.

启示

一般曲线围成区域的面积也可以用定积分来计算.定积分在几何学上的应用定积分

下面曲线均假定是连续曲线.

注10求这两条曲线及直线所围成的区域的面积A.的面积元素dA为它对应(1)即定积分在几何学上的应用1.直角坐标系中图形的面积小区间11(2)

由曲线和直线所围成的区域的面积A.的面积元素dA为它对应定积分在几何学上的应用小区间12例解画草图,求两曲线交点的坐标以便解方程组:交点面积元素法一选为积分变量,?定积分在几何学上的应用确定积分限,xxxd)3(2+-=0=-yx)3,3(·xxy22-=13法二选y为积分变量,面积元素法三?将图形看成:上方的三角形减去在上方的曲边梯形,再加上下方的曲边梯形:定积分在几何学上的应用14分成若干块上面讨论过的那两种区域,只要分别(3)一般情况下,由曲线围成的有界区域,总可以算出每块的面积再相加即可.(2)(1)(1)(2)定积分在几何学上的应用15定积分在几何学上的应用上连续,与直线所围成的(4)

则曲线平面图形面积为?16例解两曲线交点为由于图形关于y轴对称,故定积分在几何学上的应用17解两曲线的交点画草图,定积分在几何学上的应用练习18解曲线的参数方程为由对称性,作变量代换,例其中总面积等于4倍第一象限部分面积．不易积分.

一般地,当曲线用参数方程表示时,都可以用类似的变量代换法处理.定积分在几何学上的应用.12222的面积求椭圆=+byax19解面积练习作变量代换定积分在几何学上的应用20面积元素曲边扇形的面积2.极坐标下平面图形的面积由极坐标方程给出的平面曲线所围成的面积A.定积分在几何学上的应用和射线曲边扇形21解由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积例求双纽线所围平面图形的面积.定积分在几何学上的应用22解利用对称性知定积分在几何学上的应用23解求交点由对称性2例定积分在几何学上的应用24解例交点由对称性定积分在几何学上的应用25答案(1)定积分在几何学上的应用所围成的面积最小.(2)之间图形面积.答案练习26解之间图形面积.对称性所求面积A为在第一象限中由直线x轴及椭圆所围图形面积的8倍.将椭圆化为极坐标方程.(2)练习定积分在几何学上的应用将代入椭圆得27定积分应用习题课28(3)练习解利用对称性知定积分在几何学上的应用29圆柱圆锥圆台二、体积旋转体这直线叫做旋转轴．由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体．1.旋转体的体积定积分在几何学上的应用30旋转体的体积采用元素法如果旋转体是由连续曲线直线及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体,体积为多少?取积分变量为x,为底的小曲边梯形绕x轴旋转而成的薄片的体积元素(1)定积分在几何学上的应用31解体积元素例取积分变量为x,oxy定积分在几何学上的应用32如果旋转体是由连续曲线及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周而成的立体,体积为多少?(2)直线体积元素旋转体的体积定积分在几何学上的应用33解体积元素定积分在几何学上的应用求星形线绕y轴旋转例构成旋转体的体积.对称性34利用参数方程用换元法定积分在几何学上的应用求星形线绕y轴旋转构成旋转体的体积.35解例求摆线的一拱与y=0所围成的图形分别绕x轴、y轴旋转而成的旋转体的体积.绕x轴旋转的旋转体体积变量代换定积分在几何学上的应用36绕y轴旋转的旋转体体积可看作平面图OABC与OBC分别绕y轴旋转构成的旋转体的体积之差.摆线定积分在几何学上的应用ò--=pp2023dsin)sin(tttta37解取坐标如图所示.圆的方程为oxy

R

•和下半圆下的曲边梯形两个旋转体的体积之差.例所求圆环体可看成是上半圆下的曲边梯形绕x轴旋转一周.定积分在几何学上的应用条直线的圆绕同平面内圆外一求半径为r设圆心到直线的旋转成的圆环体的体积.).(rRR³距离为38

对称性四分之一圆面积定积分在几何学上的应用39练习解两曲线的交点为绕y轴旋转定积分在几何学上的应用ò-=104d)(yyyp402.平行截面面积为已知的立体的体积上垂直于一定轴的各个截面面积,立体体积如果一个立体不是旋转体,但却知道该立体的体积也可用定积分来计算.那么,这个立体表示过点x且垂直于x轴的截面面积,为x的已知连续函数.采用元素法体积元素定积分在几何学上的应用41解取坐标系如图底圆方程例一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心,并与底面交成角计算这平面截圆柱体所得立体的体积.垂直于x轴的截面为直角三角形.底高截面面积立体体积定积分在几何学上的应用ò=V42作一下垂直于y轴的截面是截面长为宽为矩形截面面积定积分在几何学上的应用

可否选择y作积分变量?此时截面面积函数是什么?如何用定积分表示体积?思考43解取坐标系如图底圆方程为截面面积立体体积垂直于x轴的截面为等腰三角形例定积分在几何学上的应用求以半径为R的圆为底、平行且等于底圆直径的线段为顶、高为h的正劈锥体的体积.44定积分在几何学上的应用练习所围成的平面区域;所围成的平面区域;其中(1)试求D1绕x轴旋转而成的旋转体体积V1;试求D2绕y轴旋转而成的旋转体体积V2;(2)问当a为何值时,V1+V2取得最大值?试求此最大值.2002年考研数学(三)7分直线解(1)(2)(唯一驻点)最大值45三、平面曲线的弧长设A、B是曲线弧上在弧上插入分点并依次连接相邻分点得一内接折线,当分点的数目无限增加且每个小弧段都缩向一点时,此折线的长的极限存在,则称此极限为曲线弧AB的弧长.1.平面曲线弧长的概念定积分在几何学上的应用的两个端点,定理光滑曲线弧是可求长.46弧长元素弧长2.直角坐标情形小切线段的长以对应小切线段的长代替小线段的长设曲线弧为其中有一阶连续导数.取积分变量为x,任取小区间}定积分在几何学上的应用47解所求弧长为例定积分在几何学上的应用悬链线方程计算介于之间一段弧长度.48解例计算曲线的弧长定积分在几何学上的应用49曲线弧为弧长3.参数方程情形其中具有连续导数.定积分在几何学上的应用50解星形线的参数方程为对称性第一象限部分的弧长定积分在几何学上的应用例求星形线的全长.51证设正弦线的弧长等于设椭圆的周长为定积分在几何学上的应用证明正弦线例的弧长等于椭圆的周长.椭圆的对称性52曲线弧为弧长4.极坐标情形其中具有连续导数.定积分在几何学上的应用53解定积分在几何学上的应用54解定积分在几何学上的应用)].412ln(412[222pppp++++=a55求在直角坐标系下、极坐标系下平面图形

（注意恰当的选择积分变量有助于简化积分分平面图形的方法有:分竖条,分横条,分成扇形,分成圆环.定积分在几何学上的应用的面积.运算）四、小结旋转体的体积平行截面面积为已知的立体的体积绕x轴旋转一周绕

y

轴旋转一周56平面曲线弧长的概念直角坐标系下参数方程情形下极坐标系下求弧长的公式定积分在几何学上的应用57定积分在几何学上的应用思考题1位置无关.设分别表示从点向抛物线引出的两条切线的切点.在点的切线方程:即又解58定积分在几何学上的应用于是切线的方程分别为所围图形的面积为可见无关,位置无关.59解定积分在几何学上的应用思考题2yyxx==)(22yxd)2(22--pyyyd])1(1[222---=p60思考题3定积分在几何学上的应用解答仅仅有曲线连续还不够,不一定.必须保证曲线光滑才可求长.闭区间[a,b]上的连续曲线y=f(x)是否一定可求长?61作业习题6-2(279页)1.2.(1)(4)3.5.(1)(2)6.8.定积分在几何学上的应用10.11.12.15.(3)16.17.18.19.21.22.24.25.27.30.62变力沿直线所作的功水压力引力小结思考题作业第三节定积分在物理学上的应用第六章定积分的应用63一、变力沿直线所作的功

如果一常力F作用于一物体使其沿直线移动了距离s,那么就说力对这一物体作了功,且所作功积分得到总功的表达式.如果计算功时力或距离是变化的,则需要在某一变量的小区间上求出功元素,然后求定定积分在物理学上的应用64设物体在变力F(x)作用下沿x轴从移动到力的方向与运动方向平行,求变力所做的功.在上任取小区间在其上所作的功元素因此变力F(x)在区间上所作的功为定积分在物理学上的应用65例定积分在物理学上的应用取任一小区间取r为积分变量,单位正电荷沿直线从距离点电荷

a处移动到

b处

(a<b),求电场力所作的功.解当单位正电荷距离原点时,一个电场力为功元素所求功说明处的电位为

电场在库仑定律在一个带+q电荷所产生的电场作用下,66顶部28m解建立坐标系.oxy

功元素例定积分在物理学上的应用总功的均匀链条被悬挂于一建筑物顶部(如图),问需要作多大的功才能把这一链条全部拉上建筑物顶部.取任一小区间67y解建立坐标系.设想水分层抽出,把它提到桶口所作功近似地等于

功元素例定积分在物理学上的应用存满水,要把桶内的水全部吸出,求所作的功.与之对应总功任取小区间的水层重68思考如水离桶边1米处?1y法一到桶口距离法二y4定积分在物理学上的应用69二、水压力

在很多实际问题要求计算液体作用于一物体表面上的侧压力.如,水坝或闸门的压力.当压强为常数时,压力=压强×面积,当物体表面位于液体中时,不同深度所受的压强是故往往需要用定积分计算液体对表面因而采用“元素法”思想.的侧压力.定积分在物理学上的应用不同的,70解在端面建立坐标系.取x为积分变量,取任一小区间小矩形片上各处的压强近似相等小矩形片的面积为定积分在物理学上的应用一个横放着的圆柱形水桶,桶内盛有半桶水,例设桶的底半径为R,水的比重为计算桶的一端面上所受的压力.如图小矩形片的压力元素为端面上所受的压力桶内盛满水?71解建立坐标系.oxyC(0,3)D(10,1)CD的方程压力元素例定积分在物理学上的应用设某水渠的闸门与水面垂直,水渠的横截面是等腰梯形.当水灌满时,求闸门所受的水压力.如闸门在水下两米?思考72质量分别为的质点,二者间的引力:大小方向沿两质点的连线三、引力定积分在物理学上的应用相距则要用定积分计算.采用“元素法”思想.如果要计算一根细棒对一个质点的引力,那么,由于细棒上各点与该点的距离是变化的,且各点对该点的引力方向也是变化的,故不能用上述公式计算.73解建立坐标系.xom.xx+dx

引力元素是否可建立其它坐标系?想一想例{法一定积分在物理学上的应用74例.{引力元素法二法三.{{引力元素定积分在物理学上的应用75例法四.{引力元素定积分在物理学上的应用76解

建立坐标系.将典型小段近似看成质点小段的质量为取y为积分变量,取任一小区间有一长度为线密度为的均匀细棒,在其中垂线上距棒a单位处有一质量为m的质点M,计算该棒对质点M的引力.例小段与质点的距离为定积分在物理学上的应用77

细杆对质点引力元素

水平方向的分力元素引力在铅直方向分力为

对称性定积分在物理学上的应用78和引力等物理问题．(注意熟悉相关的物理知识)四、小结利用“元素法”的思想求变力沿直线作功、水压力定积分在物理学上的应用79泥后提出井口,已知井深30m,抓斗自重400N,缆绳

为清除井底污泥,用缆绳将抓斗放入井底,抓起污每米重50N,抓斗抓起的污泥重

2000N,提升速度为3m∕s,在提升过程中,污泥以20N∕s的速度从抓斗缝隙中漏掉,