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定积分习题课小结典型例题1特殊形式的定积分计算小结1.对称区间上的积分考察被积函数是否为奇偶函数,定积分习题课注意用奇偶函数的“特性”处理.2.分段函数的积分认清积分限是被积函数定义域的哪个区间的端点,然后按段积分求和.3.被积函数带有绝对值符号的积分在作积分运算之前设法去掉绝对值.(注意符号!)4.被积函数中含有“积分上限的函数”的积分用分部积分法做,将积分上限的函数取作u.2二、典型例题例计算解分析被积函数含有抽象因子的积分,通常是用奇偶性积分的“特性”处理.下面证明为奇函数.令则又即可知为奇函数.于是定积分习题课有且对任何上连续在设yxxf,,),()(¥+-¥3例解定积分习题课4例解计算定积分令定积分习题课5例解定积分习题课6例证作辅助函数总习题五6.定积分习题课7定积分习题课8例解则定积分习题课9例解设则满足关系:定积分习题课10例解而其中定积分习题课11例解可用洛必达法则吗?定积分习题课,dd2utt=-,d21dutt-=)(212xfx2×12

证明(1)

是偶函数,

则

也是偶函数;(2)

是单调递减,

则

也是单调递减.例证

(1)由于

也是偶函数;

则定积分习题课13

证明(2)

是单调递减,

也是单调递减.例

则证

积分中值定理(2)定积分习题课14例2002年考研数学(四)6分

利用闭区间上连续函数的性质,

证明存在一点证最值定理

有最大值M

和最小值m,介值定理即证.定积分习题课15例解对一切实数t,函数f(t)是连续的正函数,且可导,函数证明(1)是单调增加的;(2)(3)将函数的最小值作为a的函数,它等于时,(1)求出使函数取最小值的x值;定积分习题课16故函数f(t)是连续的正函数定积分习题课17(2)求出使函数取最小值的x值;即定积分习题课18(3)将函数的最小值作为a的函数,它等于时,即两边对a求导,得定积分习题课19两边积分,得代入上式,得故即定积分习题课20例证由积分中值定理得用罗尔定理得,使得定积分习题课21

因为时,所以利用夹逼准则得例解

此类问题放大或缩小时一般应保留含参数的项.注

如总习题五P265

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