高等数学全部习题

第一章函数与极限典型例题教学要求习题课1一、要求1.理解函数的概念.2.了解函数奇偶性、单调性、周期性和有界性.3.理解复合函数的概念，4.掌握基本初等函数的性质及其图形.5.会建立简单实际问题中的函数关系式.6.理解极限的概念.7.掌握极限四则运算法则.了解反函数的概念.第一章函数与极限习题课28.了解两个极限存在准则,9.了解无穷小、无穷大,10.理解函数在一点连续的概念.11.了解间断点的概念,并会判定间断点的12.了解初等函数的连续性和闭区间上连续会用等价无穷小求极限.概念.类型.函数的性质.以及无穷小的阶的会用两个重要极限求极限.第一章函数与极限习题课3例解二、典型例题第一章函数与极限习题课4第一章函数与极限习题课5例解原极限=第一章函数与极限习题课6例解即第一章函数与极限习题课7即得第一章函数与极限习题课8例解第一章函数与极限习题课9且为第一类间断点.跳跃第一章函数与极限习题课10第一章函数与极限习题课11求设(其中得故例解是多项式,且设为待定系数)第一章函数与极限习题课12例解原极限=第一章函数与极限习题课13求的间断点,

x=–1为第一类可去间断点x=1为第二类无穷间断点x=0为第一类跳跃间断点例解并判别其类型.是间断点,第一章函数与极限习题课14是的几阶无穷小?解则因故例的阶无穷小,设其为第一章函数与极限习题课,0时当®xkxxxx320lim+®15有无穷间断点及可去间断点为无穷间断点,所以为可去间断点,极限存在

设函数试确定常数a

及b.例解第一章函数与极限习题课16例证任取设所以,对任意实数x,y满足关系式处处连续.第一章函数与极限习题课17例证讨论令第一章函数与极限习题课18由零点定理知,综上,必有一点第一章函数与极限习题课19设在上连续,且恒为正,证明:对任意的必存在一点使令则当时,取或则有使当时,故由零点定理知,即例证第一章函数与极限习题课20作业总习题一(73页)3.(2)(4)4.7.8.(2)(4)(5)(6)9.10.11.12.第一章函数与极限习题课21

第二章导数与微分教学要求典型例题习题课22一、教学要求

1.理解导数和微分的概念,理解导数的几何意义及函数的可导与连续性之间的关系.

2.会用导数描述一些物理量.

3.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法,掌握基本初等函数、双曲函数的导数公式.了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性.

4.了解高阶导数的概念.

5.掌握初等函数一阶、二阶导数的求法.

6.会求隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数.会求反函数的导数.第二章导数与微分习题课23例解二、典型例题第二章导数与微分习题课24例解分析不能用公式求导.法一故第二章导数与微分习题课25法二由导数的定义消参数t第二章导数与微分习题课26例解先去掉绝对值第二章导数与微分习题课27第二章导数与微分习题课28在处连续,且求例解第二章导数与微分习题课,32)(lim2=-®xxfx[]2lim®x)2()(-xxf2)2()(lim)2(2--=¢®xfxffx29例解第二章导数与微分习题课30试确定常数a,b使f(x)处处可导,并求例解第二章导数与微分习题课1lim)()1()1(2+++=--¥®xnxnnebaxexxf设,bxa+31利用在处可导,即是否为连续函数?应有思考第二章导数与微分习题课32

函数

在该区间上存在,但

也在该区间上连续.例则肯定导函数注解不能断定在某区间上连续并可导,第二章导数与微分习题课33显然当为初等函数是连续的.但当不趋向于任何极限.因此,第二章导数与微分习题课34例解第二章导数与微分习题课35故第二章导数与微分习题课36例解两边取对数第二章导数与微分习题课37第二章导数与微分习题课作业总习题二(124页)3.4.5.6.7.(1)(3)(5)8.(2)9.(2)10.11.(2)13.14.15.38第三章微分中值定理与导数的应用习题课教学要求典型例题39一、教学要求1.理解罗尔(Rolle)定理和拉格朗日(Lagrange)2.了解柯西(Cauchy)定理和泰勒(Tayloy)定理.3.理解函数的极值概念,掌握用导数判断函数定理.的单调性和求极值的方法.第三章微分中值定理与导数的应用习题课40

5.会用洛必达(L,Hospital)法则求不定式的极限.

6.了解曲率和曲率半径的概念并会计算曲率和曲率半径.

4.会用导数判断函数图形的凹凸性,会求拐点,会求解最大值和最小值的应用问题.会描绘函数的图形(包括水平,铅直和斜渐近线).第三章微分中值定理与导数的应用习题课411.微分中值定理及其相互关系

罗尔定理

拉格朗日中值定理

柯西中值定理

泰勒中值定理第三章微分中值定理与导数的应用习题课422.微分中值定理的主要应用(1)

研究函数或导数的性态(3)

证明恒等式或不等式(4)

证明有关中值问题的结论(2)证明方程根的存在性第三章微分中值定理与导数的应用习题课43利用一般解题方法:证明含一个中值的等式或根的存在,若结论中涉及到含中值的两个不同函数,可考虑用若已知条件中含高阶导数,若结论中含两个或两个以上的中值,3.有关中值问题的解题方法(1)可用原函数法找辅助函数.(2)柯西中值定理.中值定理.(3)(4)有时也可考虑多考虑用泰勒公式,逆向思维,设辅助函数.多用罗尔定理,必须多次应用对导数用中值定理.第三章微分中值定理与导数的应用习题课44(1)

研究函数的性态:增减,极值,凹凸,拐点,渐近线,曲率(2)

解决最值问题

目标函数的建立

最值的判别问题(3)其他应用:求不定式极限;几何应用;相关变化率;证明不等式;研究方程实根等.4.导数应用第三章微分中值定理与导数的应用习题课45二、典型例题在内可导,且证明在内有界.证再取异于的点在以为端点的区间上用定数对任意即证.例取点拉氏定理,第三章微分中值定理与导数的应用习题课)(xf46在内可导,且证明至少存在一点使上连续,在问题转化为证设辅助函数用罗尔定理,使即有例证分析?第三章微分中值定理与导数的应用习题课0)(2)(=+¢xxxff0)()(2)(2=¢+=¢xxxxxffF47在内可导,且试证存在使上连续,在例欲证f(x)在[a,b]上用故有即要证证又

f(x)及在[a,b]上用将(1)代入(2),化简得故有拉氏定理,柯西定理,(1)(2)第三章微分中值定理与导数的应用习题课48例证

介值定理上分别用使得拉氏定理,(1)(2)第三章微分中值定理与导数的应用习题课49由(1),有得(1)(2)由(2),有第三章微分中值定理与导数的应用习题课50提示设路程函数为起始速度为0,即终止速度为0,即例证一阶泰勒公式证明:第三章微分中值定理与导数的应用习题课51(1)(2)

相减第三章微分中值定理与导数的应用习题课52记为所以,第三章微分中值定理与导数的应用习题课53例分析构造辅助函数F(x),则问题转化为的零点存在问题.证设设

罗尔定理使得因此必定有第三章微分中值定理与导数的应用习题课54且在上存在,并单调递减,证明对一切有证则所以当时,令得即所证不等式成立.设例设第三章微分中值定理与导数的应用习题课55例解第三章微分中值定理与导数的应用习题课56例证法一用单调性设即由证明不等式第三章微分中值定理与导数的应用习题课57可知,即法二用拉格朗日定理设拉格朗日定理由得即第三章微分中值定理与导数的应用习题课58例判断方程有几个实根,并指出各个根所在的区间.解(1)即设令得驻点唯一的驻点又所以,是最小值点,最小值为第三章微分中值定理与导数的应用习题课59所以,所以,(2)自己证!第三章微分中值定理与导数的应用习题课60例1994年考研数学二,9分解设又且且其图形必与x轴有一个交点.所以,第三章微分中值定理与导数的应用习题课61第三章微分中值定理与导数的应用习题课得令所以有极小值所以,令函数图形与x轴相切,函数图形与x轴无交点或有两个交点.又综上所述,或则62例解奇函数第三章微分中值定理与导数的应用习题课63第三章微分中值定理与导数的应用习题课64列表如下:第三章微分中值定理与导数的应用习题课65极大值拐点极小值第三章微分中值定理与导数的应用习题课66作图第三章微分中值定理与导数的应用习题课67作业总习题三(180页)4.5.6.7.9.10.(1)(3)(4)11.(1)(2)12.13.14.15.17.18.19.20.第三章微分中值定理与导数的应用习题课68第四章不定积分习题课69

主要内容为微分的逆运算—不定积分法.1.基本概念2.计算(1)基本积分法第一换元积分法又叫凑微分法.凑第二换元积分法又叫代换法.换2)分部积分法关键是要恰当选取u和dv.1)换元积分法原函数与不定积分.第四章不定积分

习题课70(2)特殊类型函数的积分1)有理函数积分2)三角函数有理式积分3)简单无理函数的积分

有理函数积分是关键,一定要很好掌握.一方面,另一方面,

第四章不定积分

习题课注有理函数的原函数都是初等函数;三角函数有理式,无理函数的积分最后总是归结为一个有理函数的积分.71例

分步凑例

显凑第四章不定积分

习题课72例分析解

隐凑第四章不定积分

习题课想用凑微分法,但不明显.应试一下.=÷øöçèæ-+xx11lnd73第四章不定积分

习题课例解对方程两边求导得74第四章不定积分

习题课例解分子分母同除以75第四章不定积分

习题课例解76第四章不定积分

习题课例解更为复杂取?77解第四章不定积分

习题课例

分项78例解第四章不定积分

习题课79例解第四章不定积分

习题课80例解第四章不定积分

习题课81例解第四章不定积分

习题课82例解第四章不定积分

习题课83第四章不定积分

习题课84第四章不定积分

习题课85

选择题1.下列等式中正确的是DD第四章不定积分

习题课86例解第四章不定积分

习题课87练习解解

分部积分

凑微分第四章不定积分

习题课88解

回代!第四章不定积分

习题课89解第四章不定积分

习题课90解第四章不定积分

习题课91解解第四章不定积分

习题课92解第四章不定积分

习题课93解第四章不定积分

习题课94解

分部积分第四章不定积分

习题课95解

分部积分第四章不定积分

习题课96解第四章不定积分

习题课97例解第四章不定积分

习题课98例解第四章不定积分

习题课99第四章不定积分

习题课作业总习题四(221页)1--40100第五章定积分习题课小结典型例题101特殊形式的定积分计算小结1.对称区间上的积分考察被积函数是否为奇偶函数,第五章定积分习题课注意用奇偶函数的“特性”处理.2.分段函数的积分认清积分限是被积函数定义域的哪个区间的端点,然后按段积分求和.3.被积函数带有绝对值符号的积分在作积分运算之前设法去掉绝对值.(注意符号!)4.被积函数中含有“积分上限的函数”的积分用分部积分法做,将积分上限的函数取作u.102二、典型例题例计算解分析被积函数含有抽象因子的积分,通常是用奇偶性积分的“特性”处理.下面证明为奇函数.令则又即可知为奇函数.于是第五章定积分习题课有且对任何上连续在设yxxf,,),()(¥+-¥103例解第五章定积分习题课104例解计算定积分令第五章定积分习题课105例解第五章定积分习题课106例证作辅助函数总习题五6.第五章定积分习题课107第五章定积分习题课108例解则第五章定积分习题课109例解设则满足关系:第五章定积分习题课110例解而其中第五章定积分习题课111例解可用洛必达法则吗?第五章定积分习题课,dd2utt=-,d21dutt-=)(212xfx2×112

证明(1)

是偶函数,

则

也是偶函数;(2)

是单调递减,

则

也是单调递减.例证

(1)由于

也是偶函数;

则第五章定积分习题课113

证明(2)

是单调递减,

也是单调递减.例

则证

积分中值定理(2)第五章定积分习题课114例2002年考研数学(四)6分

利用闭区间上连续函数的性质,

证明存在一点证最值定理

有最大值M

和最小值m,介值定理即证.第五章定积分习题课115例解对一切实数t,函数f(t)是连续的正函数,且可导,函数证明(1)是单调增加的;(2)(3)将函数的最小值作为a的函数,它等于时,(1)求出使函数取最小值的x值;第五章定积分习题课116故函数f(t)是连续的正函数第五章定积分习题课117(2)求出使函数取最小值的x值;即第五章定积分习题课118(3)将函数的最小值作为a的函数,它等于时,即两边对a求导,得第五章定积分习题课119两边积分,得代入上式,得故即第五章定积分习题课120例证由积分中值定理得用罗尔定理得,使得第五章定积分习题课121

因为时,所以利用夹逼准则得例解

此类问题放大或缩小时一般应保留含参数的项.注

如总习题五P265题4:证明第五章定积分习题课122因为依赖于且下列做法对吗?利用积分中值定理原式例思考第五章定积分习题课123作业总习题五(264页)2.(1)(2)(3)4.5.7.8.9.10.11.第五章定积分习题课124第六章定积分的应用习题课125上每一点处线密度的大小等于该点到原点距离的立方,在点O处有一单位质点,求星形线在第一象限的弧段对这质点的引力.第六章定积分应用习题课例总习题六288页第9题设星形线解建立坐标系.126故星形线在第一象限的弧段对该质点的引力为第六章定积分应用习题课127例证分析由于是t的连续函数,该函数只要证明有零点即可.辅助函数第六章定积分应用习题课128连续,又零点定理使得故即第六章定积分应用习题课129例证长方体器皿下半部盛水,上半部盛油,设油和水水的比重是油的2倍,此时侧壁压力若全部盛油,记侧壁压力为证明建立坐标系.油的比重为1,则全盛油时若油水各半时,在上半部在下半部的体积相等,记为第六章定积分应用习题课130故第六章定积分应用习题课131例过坐标原点作曲线y=lnx的切线,2003年考研数学(一)10分该切线与曲线y=lnx及x轴围成平面图形D.(1)求D的面积A;(2)求D的绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积

V.解(1)设切点的横坐标为则曲线处的切线方程是由该切线过原点知从而所以该切线的方程为第六章定积分应用习题课132过坐标原点作曲线y=lnx的切线,2003年考研数学(一)10分该切线与曲线y=lnx及x轴围成平面图形D.(1)求D的面积A;(2)求D的绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积V.平面图形D的面积(2)切线与x轴及直线x=e所围成的三角形绕直线x=e旋转所得旋转所得的圆锥体积为第六章定积分应用习题课133过坐标原点作曲线y=lnx的切线,2003年考研数学(一)10分该切线与曲线y=lnx及x轴围成平面图形D.(1)求D的面积A