【谷速软件】matlab源码-GMM的EM算法实现

在

聚类算法K-Means,K-Medoids,GMM,Spectralclustering，Ncut一文中我们给出了GMM算法的根本模型与似然函数，在EM算法原理中对EM算法的实现与收敛性证明进行了详细说明。本文主要针对如何用EM算法在混合高斯模型下进行聚类进行代码上的分析说明。

1.GMM模型：每个GMM由K

个Gaussian分布组成，每个Gaussian称为一个“Component〞，这些Component线性加成在一起就组成了GMM的概率密度函数：

根据上面的式子，如果我们要从GMM的分布中随机地取一个点的话，实际上可以分为两步：首先随机地在这K个GaussianComponent之中选一个，每个Component被选中的概率实际上就是它的系数pi(k)

，选中了Component之后，再单独地考虑从这个Component的分布中选取一个点就可以了──这里已经回到了普通的Gaussian分布，转化为了的问题。那么如何用GMM来做clustering呢？其实很简单，现在我们有了数据，假定它们是由GMM生成出来的，那么我们只要根据数据推出GMM的概率分布来就可以了，然后GMM的K

个Component实际上就对应了K

个cluster了。根据数据来推算概率密度通常被称作densityestimation，特别地，当我们在〔或假定〕了概率密度函数的形式，而要估计其中的参数的过程被称作“参数估计〞。

2.参数与似然函数：现在假设我们有N

个数据点，并假设它们服从某个分布〔记作p(x)

〕，现在要确定里面的一些参数的值，例如，在GMM中，我们就需要确定影响因子pi(k)、各类均值pMiu(k)

和各类协方差pSigma(k)

这些参数。我们的想法是，找到这样一组参数，它所确定的概率分布生成这些给定的数据点的概率最大，而这个概率实际上就等于

，我们把这个乘积称作似然函数(LikelihoodFunction)。通常单个点的概率都很小，许多很小的数字相乘起来在计算机里很容易造成浮点数下溢，因此我们通常会对其取对数，把乘积变成加和

，得到log-likelihoodfunction。接下来我们只要将这个函数最大化〔通常的做法是求导并令导数等于零，然后解方程〕，亦即找到这样一组参数值，它让似然函数取得最大值，我们就认为这是最适宜的参数，这样就完成了参数估计的过程。下面让我们来看一看GMM的log-likelihoodfunction：

由于在对数函数里面又有加和，我们没法直接用求导解方程的方法直接求得最大值。为了解决这个问题，我们采取之前从GMM中随机选点的方法：分成两步，实际上也就类似于K-means

的两步。

3.算法流程：1.

估计数据由每个Component生成的概率〔并不是每个Component被选中的概率〕：对于每个数据

来说，它由第

个Component生成的概率为

其中N〔xi|μk,Σk〕就是后验概率。

2.通过极大似然估计可以通过求到令参数=0得到参数pMiu，pSigma的值。具体请见这篇文章第三局部。

其中

，并且

也顺理成章地可以估计为

。

3.

重复迭代前面两步，直到似然函数的值收敛为止。

4.matlab实现GMM聚类代码与解释：

说明：fea为训练样本数据，gnd为样本标号。算法中的思想和上面写的一模一样，在最后的判断accuracy方面，由于聚类和分类不同，只是得到一些cluster，而并不知道这些cluster应该被打上什么标签，或者说。由于我们的目的是衡量聚类算法的performance，因此直接假定这一步能实现最优的对应关系，将每个cluster对应到一类上去。一种方法是枚举所有可能的情况并选出最优解，另外，对于这样的问题，我们还可以用

Hungarianalgorithm

来求解。具体的Hungarian代码我放在了资源里，调用方法已经写在下面函数中了。

注意：资源里我放的是Kmeans的代码，大家下载的时候只要用bestMap.m等几个文件就好~

1.gmm.m，最核心的函数，进行模型与参数确定。[cpp]

\o"viewplain"viewplain\o"copy"copy\o"print"print\o"?"?function

varargout

=

gmm(X,

K_or_centroids)

%

============================================================

%

Expectation-Maximization

iteration

implementation

of

%

Gaussian

Mixture

Model.

%

%

PX

=

GMM(X,

K_OR_CENTROIDS)

%

[PX

MODEL]

=

GMM(X,

K_OR_CENTROIDS)

%

%

-

X:

N-by-D

data

matrix.

%

-

K_OR_CENTROIDS:

either

K

indicating

the

number

of

%

components

or

a

K-by-D

matrix

indicating

the

%

choosing

of

the

initial

K

centroids.

%

%

-

PX:

N-by-K

matrix

indicating

the

probability

of

each

%

component

generating

each

point.

%

-

MODEL:

a

structure

containing

the

parameters

for

a

GMM:

%

MODEL.Miu:

a

K-by-D

matrix.

%

MODEL.Sigma:

a

D-by-D-by-K

matrix.

%

MODEL.Pi:

a

1-by-K

vector.

%

============================================================

%

@SourceCode

Author:

Pluskid

()

%

@Appended

by

:

Sophia_qing

(/abcjennifer)

%%

Generate

Initial

Centroids

threshold

=

1e-15;

[N,

D]

=

size(X);

if

isscalar(K_or_centroids)

%if

K_or_centroid

is

a

1*1

number

K

=

K_or_centroids;

Rn_index

=

randperm(N);

%random

index

N

samples

centroids

=

X(Rn_index(1:K),

:);

%generate

K

random

centroid

else

%

K_or_centroid

is

a

initial

K

centroid

K

=

size(K_or_centroids,

1);

centroids

=

K_or_centroids;

end

%%

initial

values

[pMiu

pPi

pSigma]

=

init_params();

Lprev

=

-inf;

%上一次聚类的误差

%%

EM

Algorithm

while

true

%%

Estimation

Step

Px

=

calc_prob();

%

new

value

for

pGamma(N*k),

pGamma(i,k)

=

Xi由第k个Gaussian生成的概率

%

或者说xi中有pGamma(i,k)是由第k个Gaussian生成的

pGamma

=

Px

.*

repmat(pPi,

N,

1);

%分子

=

pi(k)

*

N(xi

|

pMiu(k),

pSigma(k))

pGamma

=

pGamma

./

repmat(sum(pGamma,

2),

1,

K);

%分母

=

pi(j)

*

N(xi

|

pMiu(j),

pSigma(j))对所有j求和

%%

Maximization

Step

-

through

Maximize

likelihood

Estimation

Nk

=

sum(pGamma,

1);

%Nk(1*k)

=

第k个高斯生成每个样本的概率的和，所有Nk的总和为N。

%

update

pMiu

pMiu

=

diag(1./Nk)

*

pGamma'

*

X;

%update

pMiu

through

MLE(通过令导数

=

0得到)

pPi

=

Nk/N;

%

update

k个

pSigma

for

kk

=

1:K

Xshift

=

X-repmat(pMiu(kk,

:),

N,

1);

pSigma(:,

:,

kk)

=

(Xshift'

*

...

(diag(pGamma(:,

kk))

*

Xshift))

/

Nk(kk);

end

%

check

for

convergence

L

=

sum(log(Px*pPi'));

if

L-Lprev

<

threshold

break;

end

Lprev

=

L;

end

if

nargout

==

1

varargout

=

{Px};

else

model

=

[];

model.Miu

=

pMiu;

model.Sigma

=

pSigma;

model.Pi

=

pPi;

varargout

=

{Px,

model};

end

%%

Function

Definition

function

[pMiu

pPi

pSigma]

=

init_params()

pMiu

=

centroids;

%k*D,

即k类的中心点

pPi

=

zeros(1,

K);

%k类GMM所占权重〔influence

factor〕

pSigma

=

zeros(D,

D,

K);

%k类GMM的协方差矩阵，每个是D*D的

%

距离矩阵，计算N*K的矩阵〔x-pMiu〕^2

=

x^2+pMiu^2-2*x*Miu

distmat

=

repmat(sum(X.*X,

2),

1,

K)

+

...

%x^2,

N*1的矩阵replicateK列

repmat(sum(pMiu.*pMiu,

2)',

N,

1)

-

...%pMiu^2，1*K的矩阵replicateN行

2*X*pMiu';

[~,

labels]

=

min(distmat,

[],

2);%Return

the

minimum

from

each

row

for

k=1:K

Xk

=

X(labels

==

k,

:);

pPi(k)

=

size(Xk,

1)/N;

pSigma(:,

:,

k)

=

cov(Xk);

end

end

function

Px

=

calc_prob()

%Gaussian

posterior

probability

%N(x|pMiu,pSigma)

=

1/((2pi)^(D/2))*(1/(abs(sigma))^0.5)*exp(-1/2*(x-pMiu)'pSigma^(-1)*(x-pMiu))

Px

=

zeros(N,

K);

for

k

=

1:K

Xshift

=

X-repmat(pMiu(k,

:),

N,

1);

%X-pMiu

inv_pSigma

=

inv(pSigma(:,

:,

k));

tmp

=

sum((Xshift*inv_pSigma)

.*

Xshift,

2);

coef

=

(2*pi)^(-D/2)

*

sqrt(det(inv_pSigma));