2024届一轮复习人教A版 数列专题 作业（四）

人教版2024届高二下学期一轮复习数列专题（四）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知数列的前项和为，若，，则（

）A． B． C． D．2．古代数学著作《九章算术》有如下的问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上述已知条件，若要使织布的总尺数不少于50尺，则至少需要A．7天 B．8天 C．9天 D．10天3．已知1，a，x，b，16这五个实数成等比数列，则x的值为（

）A．4 B．－4 C．±4 D．不确定4．若为等差数列，是数列的前项和，，，则等于（

）A．7 B．6 C．5 D．45．已知是数列的前n项和，且对任意的正整数n，都满足：，若，则（

）A． B． C． D．6．已知数列的通项公式为，那么满足的整数A．有3个 B．有2个 C．有1个 D．不存在7．已知函数，数列满足，则（

）A．2022 B．2023 C．4044 D．40468．等比数列2，4，8，…的公比为（

）A． B． C．2 D．4二、多选题9．已知公差为d的等差数列的前n项和为，则（

）A．是等差数列 B．是关于n的二次函数C．不可能是等差数列 D．“”是“”的充要条件10．设正整数，其中，记．则（

）A． B．C． D．11．设d，Sn分别为等差数列{an}的公差与前n项和，若S10＝S20，则下列论断中正确的有（

）A．当n＝15时，Sn取最大值 B．当n＝30时，Sn＝0C．当d＞0时，a10+a22＞0 D．当d＜0时，|a10|＞|a22|12．在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，则下列说法正确的是（）A． B．数列是公差为2的等差数列C．数列的前项和的最大值为1 D．数列是等比数列三、填空题13．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，讲的是一个关于整除的问题．现有这样一个整除问题：将1到2021这2021个数中，能被3除余2且被5除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，则此数列所有项中，中间项的值为______．14．如图，给出一个直角三角形数阵，满足每一列的数成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第行第列的数为，则________.15．裴波那契数列的前7项是1，1，2，3，5，8，13，则该数列的第8项为________．16．已知数列是等差数列，，，，则的最大值是______．四、解答题17．已知数列是各项均为正数的等差数列.（1）若，且成等比数列，求数列的通项公式；（2）在（1）的条件下，数列的前和为，设，若对任意的，不等式恒成立，求实数的最小值；（3）若数列中有两项可以表示为某个整数的不同正整数次幂，求证:数列中存在无穷多项构成等比数列.18．已知数列满足，．(1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；(2)记，，．证明：当时，．19．已知首项大于的等差数列的公差，且满足；等比数列的前项和为.若、、成等差数列，且，.（1）求数列和的通项公式；（2）求的最大值，并求出此时的值；（3）记，求数列的前项和.20．已知等差数列的前n项和为，，.（1）求数列的通项公式；（2）求的最大值.21．已知两个正项数列，满足，．(1)求，的通项公式；(2)用表示不超过的最大整数，求数列的前项和．22．已知等比数列的各项均为正数，且，．(1)求数列的通项公式；(2)设，记为的前项和，证明：．参考答案：1．B【分析】根据与的关系可得，从而可得为等比数列，再利用等比数列的通项公式即可求解.【详解】由得，即，所以为等比数列，又，所以，故选：B.【点睛】本题考查了与的关系、等比数列的定义、等比数列的通项公式，需熟记公式，属于基础题.2．C【分析】设所需天数为n天，第一天3为尺，先由等比数列前n项和公式求出，在利用前n项和，便可求出天数n的最小值．【详解】设该女子所需天数至少为n天，第一天织布尺，由题意得：，解得，，解得，，所以要织布的总尺数不少于50尺，该女子所需天数至少为9天，故选C.【点睛】本题考查等比数列的前n项和，直接两次利用等比数列前n项和公式便可得到答案．3．A【解析】根据等比中项的性质有，而由等比通项公式知，即可求得x的值.【详解】由题意知：，且若令公比为时有，∴，故选：A4．D【分析】根据题意，设等差数列的公差为，进而建立方程组求解得，再计算即可.【详解】解：根据题意，设等差数列的公差为，因为，所以，解得，所以.故选：D5．A【分析】运用累加法求得的通项公式，再运用裂项相消法求和即可.【详解】解：当时，由累加法可得：，所以（），又因为，所以（），当时，，符合，所以（），所以，所以．故选：A.6．B【详解】因为，检验，时，，不合题意.时，，满足题意由对称性知，.所以，均满足题意7．A【分析】先求得，然后利用倒序相加法求得正确答案.【详解】∵，∴．∵，∴．令，则，两式相加得，∴．故选:A8．C【分析】利用等比数列的定义求公比即可.【详解】由已知2，4，8，…为等比数列，则公比.故选：C.【点睛】本题主要考查了等比数列的概念.属于容易题.9．AD【分析】根据等差数列前项公式及函数特征结合等差数列的定义即可判断ABC，再结合充分条件和必要条件的定义即可判断D.【详解】解：由知，，则，所以是等差数列，故A正确；当时，不是n的二次函数，故B不正确；当时，，则，所以是等差数列，故C不正确；当时，，故，，所以“”是“”的充要条件，故D正确.故选：AD.10．ACD【分析】利用的定义可判断ACD选项的正误，利用特殊值法可判断B选项的正误.【详解】对于A选项，，，所以，，A选项正确；对于B选项，取，，，而，则，即，B选项错误；对于C选项，，所以，，，所以，，因此，，C选项正确；对于D选项，，故，D选项正确.故选：ACD.11．BC【分析】根据等差数列前n项和公式，结合二次函数的性质、等差数列的通项公式逐一判断即可.【详解】∵d，Sn分别为等差数列{an}的公差与前n项和，S10＝S20，∴10a120a1d，解得a1＝﹣14.5d，Sn＝na114.5nd（n﹣15）2，当d＞0时，当n＝15时，Sn取最小值；当d＜0时，当n＝15时，Sn取最大值，故A错误；当n＝30时，Sn（n﹣15）20，故B正确；当d＞0时，a10+a22＝2a1+30d＝d＞0，故C正确；当d＜0时，|a10|＝|a1+9d|＝﹣5.5d，|a22|＝|a1+21d|＝﹣6.5d，∴当d＜0时，|a10|＜|a22|，故D错误．故选：BC．12．AD【分析】利用等比数列通项公式求解，，进而求得，，，从而判断各选项．【详解】由等比数列通项公式得，解得，或，又公比为整数，故，，故A选项正确；，故数列是公差为的等差数列，故B选项错误；数列是以为首项和公比为的等比数列，故前项和为，故C选项错误；，故为等比数列，即D选项正确；故选：AD．【点睛】本题的解题关键在于结合等比数列的通项公式求得基本量．13．1007【分析】由题可得，可判断共有135项，且中间项为第68项，即可求出.【详解】由题意可知，既是3的倍数，又是5的倍数，所以是15的倍数，即，所以，当时，，当时，，故，数列共有135项，因此数列中间项为第68项，且．故中间项的值为1007．故答案为：1007.14．【分析】先根据等差数列求，再根据等比数列求，即得.【详解】因为每一列的数成等差数列，且第一列公差为，所以，因为从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等为，所以，因此.【点睛】本题考查等差数列以及等比数列通项公式，考查基本分析求解能力.属基本题.15．21【分析】观察裴波那契数列的前面的项,总结出规律,求得正确答案.【详解】观察裴波那契数列的前7项可以发现：前两项都是，从第三项起，每一项都是前两项的和，故第项为.故答案为：16．【解析】由等差数列得通项公式可的设，，则不等式组等价为，，利用线性规划知识求最值即可.【详解】设等差数列的公差为，由题设知，，设，，则不等式组等价为，对应的可行域为如图所示的三角形及其内部，由，由可得，作沿着可行域的方向平移，当直线过点时，取得最大值．由解得，所以，故答案为：【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是设，，将转化为，进而转化为利用线性规划求最值.17．（1）；（2）；（3）证明见解析.【分析】（1）根据给定条件列式，求出等差数列的公差即可计算作答．（2）由（1）求出，进而求得，再求出的最大值即可作答.（3）用c的两个不同次幂表示数列的两项，由此分析、推理计算存在无穷多项是与某一项的差是公差的正整数倍作答.【详解】（1）因为是正项等差数列，则其公差，依题意，，即，解得或(舍去)，因此，，所以数列的通项公式.（2）由（1）知，，即，则，因函数在上是增函数，于是得数列是递增数列，，，当且仅当时取“=”，因此，，依题意，，所以实数的最小值为.（3）正项数列中有两项可以表示为某个整数的不同正整数次幂，则有公差，令，其中是数列的项，是大于1的整数，，，令，则，即有是的正整数倍，对的次幂，则，而c是大于1的整数，且，则有是正整数，又是的正整数倍，因此，是的正整数倍，即所有形如的数是数列中某一项，而也是的一项且满足上式，从而有等比数列，其中，公比，所以数列中存在无穷多项构成等比数列.【点睛】关键点睛：数列是一类特殊的函数，准确构造相应的函数，借助函数研究数列单调性是解题的关键，背景函数的条件，应紧扣题中的限制条件.18．(1)证明见解析；(2)证明见解析【分析】（1）对题干条件变形整理为，根据定义即可证明，并求出通项公式；（2）放缩法和裂项相消法进行证明.【详解】（1）当时，，当时，；相除得整理为：，即，为等差数列，公差，首项为；所以，整理为：，经检验，符合要求.（2）由（1）得：．，，，所以，当时，．19．（1），；（2）的最大值为，此时或；（3）.【分析】（1）根据条件得出关于的方程，解出的值，可得出数列的通项公式，利用已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，由此可得出数列的通项公式；（2）令，利用定义分析数列的单调性，由此可得出数列的最大值及其对应的的值；（3）求得，利用错位相减法求得数列的前项和，利用裂项相消法可求得数列的前项和，由此可得出.【详解】（1），整理可得，，解得，.设等比数列的公比为，则，由题意可得，即，，则，解得或.若，则，解得，不合乎题意.所以，，则，解得，；（2）令，则.当时，，则；当时，，则；当时，，此时，数列单调递减，即，所以，当或时，取最大值，且最大值为；（3）.令，，设数列、的前项和分别为、.则，，上式下式得，所以，，，所以，，因此，.【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和；（3）对于结构，利用分组求和法；（4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和.20．（1）；（2）【分析】（1）由题，等差数列的前n项和为，，，求得，可求得通项公式；（2）先利用求和公式，求得，即可求得最大值.【详解】（1）由题，因为等差数列，，所以又，所以解得所以（2）由（1）可得：可得当n=25时，取最大值为625【点睛】本题考查了数列，熟悉等差数列的通项和求和公式是解题的关键，熟记基础题.21．(1)，(2)【分析】（1）由递推公式列方程求出得通项公式；（2）根据高斯函数先推出得解析式，再运用错位相减法求解.【详解】（1）由，得，由，得，，因为是正项数