分离变量法1课件

第二章别离变量法第一讲数学物理方程与特殊函数上节课内容回忆数学物理方程的导出步骤〔偏微分方程〕定解条件的推导定解问题的概念三类初始条件边界条件(1)首先确定所要研究的物理量(2)根据物理规律分析微元和相邻部分的相互作用(抓住主要影响，忽略次要影响)，这种相互作用在一个短时间段里如何影响物理量数学物理方程的导出步骤：(3)用数学语言表达出这种相互影响，经简化整理就得到数学物理方程。三种典型的偏微分方程定解条件初始条件：能够用来说明某一具体物理现象初始状态

的条件。边界条件：能够用来说明某一具体物理现象边界上

约束情况的条件。A、弦振动方程的边界条件(1)固定端：振动过程中端点(x=a)保持不动，其边界条件为：或：(2)自由端：x=a端既不固定，又不受位移方向力的作用。(3)弹性支承端：在x=a端受到弹性系数为k的弹簧支承或第一类边界条件第二类边界条件第三类边界条件B、热传导方程的边界条件(以S表示某物体V的边界)(1)边界S上的温度为函数f(x,y,z,t)(f是定义在边界S上的函数)(2)绝热状态(即在S上的热量流速为零)或流速(3)热交换状态牛顿冷却定律：单位时间内物体单位外表积与周围介质交换的热量，同物体外表温度与周围介质温度差成正比。热交换系数；周围介质的温度第一类边界条件第二类边界条件第三类边界条件本节课内容微分方程的分类叠加原理别离变量法有界弦的自由振动1、偏微分方程一般分类

(2)按未知函数及其导数是否线性，分为线性微分方程和非线性微分方程；(1)按方程中未知函数导数的最高阶数，分为一阶、二阶和高阶微分方程。(3)线性微分方程按自由项是否为零，分为齐次方程和

非齐次方程思考判断以下方程的类型二阶、线性、非齐次二阶、线性、齐次二阶、非线性一个含n个变量的二阶线性偏微分方程的一般形式：2、叠加原理

线性微分方程的解具有叠加性几种不同的原因的综合所产生的效果等于这些不同原因单独产生的效果的累加。(物理上)3、二阶线性偏微分方程的分类

思考判断以下方程的类型椭圆型双曲型抛物型定解问题的最常用解法——别离变量法核心思想：将未知函数按多个单元函数分开偏微分方程假设干常微分方程求解常微分方程：特解线性无关的特解叠加出通解用定解条件定出叠加系数求解一阶线性偏微分方程：转化为一阶线性常微分方程二阶及高阶偏微分方程：难以求出待定系数别离变量法：满足方程及一局部定解问题的全部特解用另一局部定解条件求出叠加系数2.1两端固定弦的自由振动〔波动方程〕长为l、两端固定的弦，发生自由振动方程及定解条件为方程和边界条件是齐次的，初始条件为非齐次的。齐次偏微分方程一类边界条件〔齐次〕初始条件第一步：别离变量…………所希望的特解代入方程

得

移项，两端同除以

有

与x无关的函数=

与t无关的函数

与x、t均无关的常数可知

一维波动方程

两个常微分方程

选取相应的齐次定解条件，与其中一个常微分方程构本钱征值问题。将代入边界条件，得∵∴常微分方程含有一个待定常数

定解条件是一对齐次边界条件

X(x)

的常微分方程的定解问题称为本征值问题当时，方程为

既满足齐次常微分方程，又满足齐次边界条件的非零解

X(x)

，称为本征函数，相应的

值称为本征值。

第二步：求解本征值方程的通解为

由边界条件，知

即

因此，不是本征值。

当时，常微分方程的通解是

由边界条件，知

即得∵∴

即

当时，常微分方程的通解是

由边界条件，知，

相应的本征函数为

第三步：求特解，并进一步叠加出一般解将代入方程

得

可知满足偏微分方程和边界条件的特解为：

，特解有无穷多个，将特解叠加，只要保证级数收敛可得一般解。为什么将特解叠加即为一般解？叠加定理只是说叠加后也是另一个解但没说一定是通解？不明白为什么要叠加一般解既满足偏微分方程又满足边界条件，因而不同于通解。

将一般解代入初始条件，得

第四步：利用本征函数的正交性定出叠加系数本征函数的正交性：

对于

两端同乘以，并积分，得

定义：本征函数的模方

∴

同理，对于

可得两端同乘以，并逐项积分

由以上讨论可知该定解问题的解为：小结别离变量法求解偏微分方程的根本步骤：➊别离变量〔齐次条件〕➋求解本征值➌求出所有特解，叠加出一般解➍利用本征函数正交性定出叠加系数验证：解函数是否满足偏微方程——级数解的收敛性〔是否可以逐项求偏微分〕。解函数是否满足边界条件——级数解的和函数是否连续。定叠加系数时，逐项积分是否合法。别离变量法的先决条件：

本征值问题有解

定解问题的解一定可以按照本征函数展开——本征函数的全体是完备的

本征函数一定具有正交性对于任一时刻t，有界弦的总能量是：动能+势能将一般解代入E(t)，并利用正交性得显然与t无关，即弦的总能量守恒2.2别离变量法的物理诠释特解是一个驻波表示弦上各点的振幅分布表示相位因子是驻波的角频率，与初始条件无关，称为固有频率或本征频率为波数，〔单位长度上波的周期数〕是初位相，由初始条件决定波节：的各点上，振幅≡0共有n+1个波节〔含两个端点〕波峰：的各点上，振幅≡max共有n

个波峰这种解法也称为驻波法基频：固有频率中的最小值——决定音调〔，材料一定，改变张力T〕倍频：基频和倍频的叠加系数、的相对大小——频谱分布——声强例1：设有一根长为10个单位的弦，两端固定，初速为零，初位移为，,求弦作微小横向振动时的位移。解：2.3例题解析由利用初始条件利用初始条件有有弦的振动振幅放大100倍，红色、蓝色、绿色分别为n=1,2,3时的驻波。解：例2：求以下定解问题初始条件：初始条件：l=1,a=10时的震动〔二〕利用边界条件,得到特征值问题并求解〔三〕将特征值代入另一常微分方程，得到〔四〕将