高等数学12数列极限含weierstrass定理以及单调递增

第一章二、收敛数列的性质三、极限存在准那么一、数列极限的定义第二节数列的极限1、割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，那么与圆周合体而无所失矣〞——刘徽2、截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭〞

引例割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，那么与圆周合体而无所失矣〞——刘徽正六边形的面积正十二边形的面积正边形的面积“用逼近未知,用近似逼近精确〞无限接近（圆的真实面积）LLLL一数列的概念如果按照某一法那么,对每一对应着一个确定的实数那么得到一个序列这一序列称为数列,记为第项叫做数列的一般项.数列举例:注：数列可以看作自变量为正整数

的函数:数列的概念如果按照某一法那么,对每一对应着一个确定的实数那么得到一个序列这一序列称为数列,记为第项叫做数列的一般项.x1x5x4x3x2xn数列的几何意义次位于数轴上的坐标

数列可以看作数轴上的一个动点,它依次数列的极限观察数列的变化趋势。数列的极限观察数列的变化趋势。数列的极限观察数列的变化趋势。数列的极限观察数列的变化趋势。数列的极限观察数列的变化趋势。数列的极限观察数列的变化趋势。数列的极限观察数列的变化趋势。数列的极限观察数列的变化趋势。通过演示实验的观察:当无限增大时，无限接近于数列的极限观察数列的变化趋势。例如数列极限的通俗定义问题:如何用数学语言刻画它？当无限增大时，如果数列的一般项无限接近于常数则称常数是数列的极限

或者称记为趋势不定收敛于数列“当无限增大时，无限接近于”是什么意思？分析当无限增大时，无限接近于无限接近于无限变小,要多小就能多小.任意给定一个正数(无论多么小)，当足够大时，总能小于事先给定的那个正数.当无限增大时，当无限增大时，任意给定一个正数(无论多么小)，当足够大时，总能小于事先给定的那个正数.增大时，无限接近于当无限只要足够大，就能足够小,要多小就能多小.等价于只要，就如上例给定给定任意给定给定由只要时，有有只要时，只要时，有有由数列极限的精确定义如果存在常数对于任意给定总存在正整数使得当

时

总有成立

则称常数是数列的极限

或者称数列收敛于记为极限定义的简记形式设为一数列

或当

时

的正数aa-ea+e()数列极限的几何意义1.任意给定的有的邻域；2.存在当

时

全都落在3.当时，一般落在邻域外边。内部；邻域当

时

例如,趋势不定收敛发散例1证明证明例2.证明证:欲使只要即取那么当时,就有故故也可取也可由N

与

有关,但不唯一.不一定取最小的N.说明:

取二.收敛数列的性质定理2.1收敛数列必有界证当时，有取所以，收敛数列必有界.

证:

用反证法.及且取因故存在N1,从而同理,因故存在N2,使当n>N2时,有定理2.2

收敛数列的极限唯一使当n>N1时,假设从而矛盾,因此收敛数列的极限必唯一.那么当n>N时,故假设不真!满足的不等式那么证定理2.3有理运算法那么定理2.4

收敛数列具有保号性.假设且同号。并且假设证:当a>0,取推论:〔保序性〕设恒有若恒有，则29例2求解由于根据有理运算法那么得例3

求解因为根据有理运算法那么得例4

求解因为所以三.收敛准那么定理2.5单调有界数列必有极限单调增，上有界数列必有极限单调减，下有界数列必有极限证明：不仿设数列为单调增加且有上界，根据确〔1〕〔2〕界存在定理，由构成的数集必有上确界ß,满足：因而于是*********************证:设数列是数列的任一子数列.假设那么当时,有现取正整数K,

使于是当时,有从而有由此证明*********************定理2.6

收敛数列的任一子数列收敛于同一极限.******************************************数列的子数列〔子列〕由此性质可知,假设数列有两个子数列收敛于不同的极限,例如，

发散!那么原数列一定发散.36单调有界数列必有极限证明单调减，下有界例5(1)

证明单调有界数列必有极限证明单调增，有上界例5(2)

证明那么定理2.7〔夹逼定理〕如果证例6

证明证例7

计算解定理

2.8(Weierstrass定理)有界数列必有收敛子列.为一有界数列,那么必存在使得证:

设根据单调有界原那么，为了证明定理的结论，只要在任何情况下都能从逻辑上看，那么都有或为有限集；为无限集。仅有两种情况：在该数列中找到一个单调的子列就行了。设，或为有限集，那么(1)假设同理使的定义，大于如此继续下去，所以根据中所有的数.因为得到根据故为一个无限子集，设该无限子集中的元素按严格单调递增的顺序排列为(3)假设综上可知在任何情况下定理都是成立的。是一个收敛子列。的严格单调递增子数列，所以的定义，那么有是定理2.9〔Cauchy收敛原理〕数列极限存在的充要条件是:存在正整数N,使当时,证:“必要性〞.设那么时,有使当因此“充分性〞证明从略.有柯西

例设证明数列证:

要证收敛，只要证明它满足Cauchy条件。由于柯西收敛。46所以，故原数列满足Cauchy柯西只要取那么及恒有条件，所以收敛。

例设证明数列证：要证发散，只要证明它不满足Cauchy条件，使也就是说，只要证明就行了，对于取发散。47由于故不满足Cauchy条件，发散.内容小结1.数列