中考数学复习：专题(六)　与圆有关的证明与计算

专题(六)与圆有关的证明与计算1．(2021·湖州)如图，已知AB是⊙O的直径，∠ACD是eq\x\to(AD)所对的圆周角，∠ACD＝30°.(1)求∠DAB的度数；(2)过点D作DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交⊙O于点F.若AB＝4，求DF的长．解：(1)连接BD，∵∠ACD＝30°，∴∠B＝∠ACD＝30°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB＝90°－∠B＝60°(2)∵∠ADB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，∴AD＝eq\f(1,2)AB＝2，∵∠DAB＝60°，DE⊥AB，且AB是直径，∴EF＝DE＝ADsin60°＝eq\r(3)，∴DF＝2DE＝2eq\r(3)2．(2021·北京)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，AD⊥BC于点E.(1)求证：∠BAD＝∠CAD；(2)连接BO并延长，交AC于点F，交⊙O于点G，连接GC.若⊙O的半径为5，OE＝3，求GC和OF的长．解：(1)∵AD是⊙O的直径，AD⊥BC，∴eq\x\to(BD)＝eq\x\to(CD)，∴∠BAD＝∠CAD(2)在Rt△BOE中，OB＝5，OE＝3，∴BE＝eq\r(OB2－OE2)＝4，∵AD是⊙O的直径，AD⊥BC，∴BC＝2BE＝8，∵BG是⊙O的直径，∴∠BCG＝90°，∴GC＝eq\r(BG2－BC2)＝6，∵AD⊥BC，∠BCG＝90°，∴AE∥GC，∴△AFO∽△CFG，∴eq\f(OA,GC)＝eq\f(OF,FG)，即eq\f(5,6)＝eq\f(OF,5－OF)，解得OF＝eq\f(25,11)3．(2021·齐齐哈尔)如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，AE和过点C的切线CD互相垂直，垂足为E，AE与⊙O相交于点F，连接AC.(1)求证：AC平分∠EAB；(2)若AE＝12，tan∠CAB＝eq\f(\r(3),3)，求OB的长．解：(1)连接OC，∵CD为⊙O的切线，∴OC⊥DE，∵AE⊥DE，∴OC∥AE，∴∠EAC＝∠OCA，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠EAC＝∠OAC，即AC平分∠EAB(2)连接BC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵tan∠CAB＝eq\f(\r(3),3)，∠EAC＝∠OAC，∴tan∠EAC＝eq\f(\r(3),3)，即eq\f(EC,AE)＝eq\f(\r(3),3)，∴eq\f(EC,12)＝eq\f(\r(3),3)，∴EC＝4eq\r(3)，在Rt△AEC中，AC＝eq\r(AE2＋EC2)＝eq\r(122＋（4\r(3)）2)＝8eq\r(3)，∵tan∠CAB＝eq\f(BC,AC)＝eq\f(\r(3),3)，∴BC＝8，在Rt△ABC中，AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝eq\r(（8\r(3)）2＋82)＝16，∴OB＝84．(2021·鄂州)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，O为BC边上一点，以O为圆心，OB长为半径的⊙O与AC边相切于点D，交BC于点E.(1)求证：AB＝AD；(2)连接DE，若tan∠EDC＝eq\f(1,2)，DE＝2，求线段EC的长．解：(1)∵∠ABC＝90°，∴AB⊥OB，又∵AB经过半径⊙O的外端点B，∴AB切⊙O于点B，又∵⊙O与AC边相切于点D，∴AB＝AD(2)连接BD，∵BE为⊙O的直径，∴∠BDE＝90°，∴∠CDE＋∠ADB＝90°，又∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABD，∴∠CDE＋∠ABD＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠ABD＋∠EBD＝90°，∴∠EBD＝∠EDC，又∵tan∠EDC＝eq\f(1,2)，∴tan∠EBD＝eq\f(1,2)，即eq\f(DE,BD)＝eq\f(1,2)，∵DE＝2，∴BD＝4，BE＝2eq\r(5)，又∵∠C＝∠C，∠CBD＝∠EDC，∴△CDE∽△CBD，∴eq\f(EC,DC)＝eq\f(DC,BC)＝eq\f(DE,BD)＝eq\f(1,2)，设EC＝x，则DC＝2x，∴(2x)2＝x(x＋2eq\r(5))，∴x1＝0(舍去)，x2＝eq\f(2\r(5),3)，即线段EC的长为eq\f(2\r(5),3)5．(2021·乐山)如图，已知点C是以AB为直径的半圆上一点，D是AB延长线上一点，过点D作BD的垂线交AC的延长线于点E，连接CD，且CD＝ED.(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若tan∠DCE＝2，BD＝1，求⊙O的半径．解：(1)连接OC，∵CD＝DE，OC＝OA，∴∠DCE＝∠E，∠OCA＝∠OAC，∵ED⊥AD，∴∠ADE＝90°，∠OAC＋∠E＝90°，∴∠OCA＋∠DCE＝90°，∴∠DCO＝90°，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线(2)连接BC，由(1)知∠DCE＝∠E，∴tan∠DCE＝tanE＝2，即eq\f(AD,ED)＝2，设⊙O的半径为x，则OA＝OB＝OC＝x，∵BD＝1，∴AD＝2x＋1，∴ED＝x＋eq\f(1,2)＝CD，OD＝x＋1，由(1)知CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，∴CD2＋OC2＝OD2，即(x＋eq\f(1,2))2＋x2＝(x＋1)2，解得x＝eq\f(3,2)或x＝－eq\f(1,2)(舍去)，∴⊙O的半径为eq\f(3,2)6．(2021·云南)如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上异于A，B的点，连接AC，BC，点D在BA的延长线上，且∠DCA＝∠ABC，点E在DC的延长线上，且BE⊥DC.(1)求证：DC是⊙O的切线；(2)若eq\f(OA,OD)＝eq\f(2,3)，BE＝3，求DA的长．解：(1)连接OC，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∵∠ABC＝∠DCA，∴∠OCB＝∠DCA，又∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACO＋∠OCB＝90°，∴∠DCA＋∠ACO＝90°，即∠DCO＝90°，∴DC⊥OC，∵OC是半径，∴DC是⊙O的切线(2)∵eq\f(OA,OD)＝eq\f(2,3)，且OA＝OB，设OA＝OB＝2x，OD＝3x，∴DB＝OD＋OB＝5x，∴eq\f(OD,DB)＝eq\f(3,5)，又∵BE⊥DC，DC⊥OC，∴OC∥BE，∴△DCO∽△DEB，∴eq\f(OC,BE)＝eq\f(OD,DB)＝eq\f(3,5)，∵BE＝3，∴OC＝eq\f(9,5)，∴2x＝eq\f(9,5)，∴x＝eq\f(9,10)，∴AD＝OD－OA＝x＝eq\f(9,10)7．(2021·襄阳)如图，直线AB经过⊙O上的点C，直线BO与⊙O交于点F和点D，OA与⊙O交于点E，与DC交于点G，OA＝OB，CA＝CB.(1)求证：AB是⊙O的切线；(2)若FC∥OA，CD＝6，求图中阴影部分面积．解：(1)连接OC，∵OA＝OB，CA＝CB，∴OC⊥AB，∵OC是⊙O的半径，∴AB是⊙O的切线(2)∵DF是⊙O的直径，∴∠DCF＝90°，∵FC∥OA，∴∠DGO＝∠DCF＝90°，∴OG⊥CD，∴DG＝eq\f(1,2)CD＝eq\f(1,2)×6＝3，∵OD＝OC，∴∠DOG＝∠COG，∵OA＝OB，AC＝CB，∴∠AOC＝∠BOC，∴∠DOE＝∠AOC＝∠BOC＝eq\f(1,3)×180°＝60°，在Rt△ODG中，tan∠DOG＝eq\f(DG,OG)，即OG＝eq\f(DG,tan∠DOG)＝eq\f(3,\r(3))＝eq\r(3)，∴DO＝2OG＝2eq\r(3)，∴S阴影＝S扇形ODE－S△DOG＝eq\f(60π·（2\r(3)）2,360)－eq\f(1,2)×eq\r(3)×3＝2π－eq\f(3\r(3),2)8．(2021·河南)在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．小明受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图①，两个固定长度的“连杆”AP，BP的连接点P在⊙O上，当点P在⊙O上转动时，带动点A，B分别在射线OM，ON上滑动，OM⊥ON.当AP与⊙O相切时，点B恰好落在⊙O上，如图②.请仅就图②的情形解答下列问题．(1)求证：∠PAO＝2∠PBO；(2)若⊙O的半径为5，AP＝eq\f(20,3)，求BP的长．解：(1)如图②，连接OP，延长BO与⊙O交于点C，则OP＝OB＝OC，∵AP与⊙O相切于点P，∴∠APO＝90°，∴∠PAO＋∠AOP＝90°，∵MO⊥CN，∴∠AOP＋∠POC＝90°，∴∠PAO＝∠POC，∵∠POC＝2∠PBO，∴∠PAO＝2∠PBO(2)如图②，过点P作PD⊥OC于点D，则有：AO＝eq\r(AP2＋OP2)＝eq\f(25,3)，由(1)可知∠P