2023-2024学年湘教版必修第一册 形形色色的函数模型 课件（38张）

1.会用已知函数模型解决实际问题.2.能建立函数模型，求出模型的解，验证模型的合理性，解决实际问题.课标要求素养要求通过建立数学模型解决实际问题，培养学生数学建模素养和数学运算素养.课前预习课堂互动分层训练内容索引课前预习知识探究1常见的函数模型常用函数模型(1)一次函数模型y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)(2)二次函数模型y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)(3)指数函数模型y＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)(4)对数函数模型y＝mlogax＋n(m，a，n为常数，m≠0，a>0且a≠1)(5)幂函数模型y＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0)(6)分段函数模型

点睛(1)建立函数模型应把握的三个关口①事理关：通过阅读、理解，明白问题讲什么，熟悉实际背景，为解题打开突破口.②文理关：将实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达数学关系.③数理关：在构建数学模型的过程中，对已有的数学知识进行检验，从而认定或构建相应的数学问题.(2)不同的函数模型能刻画现实世界中不同的变化规律①线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律.②指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律.③对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律.④幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律，因此，需抓住题中蕴含的数学信息，恰当、准确地建立相应变化规律的函数模型来解决实际问题.

1.思考辨析，判断正误 (1)一个好的函数模型，既能与现有数据高度符合，又能很好地推演和预测.() (2)当x每增加一个单位时，y增加或减少的量为定值，则y是x的一次函数.() (3)随x的增大，函数值增长越来越快的一定是指数函数模型.()

提示

也可能为幂函数y＝xα(α>1).√√×2.某商场在销售空调旺季的4天内的利润如下表所示.B时间1234利润(千元)23.988.0115.99现构建一个销售这种空调利润的函数模型，应是下列函数中的(

)A.y＝log2x B.y＝2x

C.y＝x2 D.y＝2x解析逐个检验可得答案为B.3.某公司为了适应市场需求对产品结构进行了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用(

)A.一次函数

B.二次函数C.指数型函数 D.对数型函数解析

对数函数的增长速度是先快后慢，故D符合题意.D①4.下列选项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的生意是________(填序号).①y＝10×1.05x；②y＝20＋x1.5；③y＝30＋lg(x＋1)；④y＝50.解析

指数函数的增大越来越快.课堂互动题型剖析2题型一已知函数模型解决问题【例1】

通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间.讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，分析结果和实验表明，用f(x)表示学生掌握和接受概念的能力(f(x)值越大，表示接受的能力越强)，x表示提出和讲授概念的时间(单位：min)，可有以下的公式：解当0＜x≤10时，f(x)＝－0.1x2＋2.6x＋43＝－0.1(x－13)2＋59.9.故f(x)在(0，10]上单调递增，最大值为f(10)＝－0.1×(－3)2＋59.9＝59；当16＜x≤30时，f(x)单调递减，f(x)＜－3×16＋107＝59.因此，开讲后10min，学生达到最强的接受能力(值为59)，并维持6min.(2)开讲后5min与开讲后20min比较，学生的接受能力何时强一些？解f(5)＝－0.1×(5－13)2＋59.9＝59.9－6.4＝53.5，f(20)＝－3×20＋107＝47＜53.5＝f(5).因此，开讲后5min学生的接受能力比开讲后20min强一些.(3)一个数学难题，需要55的接受能力以及13min时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题？解当0＜x≤10时，令f(x)＝55，则－0.1·(x－13)2＝－4.9，(x－13)2＝49.所以x＝20或x＝6.但0＜x≤10，故x＝6.当16＜x≤30时，令f(x)＝55，则－3x＋107＝55.因此，学生达到(或超过)55的接受能力的时间为所以老师来不及在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这道难题.解决已给出函数模型的实际应用题，关键是考虑该题考查的是哪种函数，并要注意定义域，然后结合其实际意义作出解答.思维升华【训练1】

为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费用y(元)的关系如图所示.(1)分别求出通话费用y1，y2与通话时间x之间的函数解析式；(2)请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜.当x＝90时，y1＝y2，两种卡收费一致；当x<90时，y1>y2，使用便民卡便宜；当x>90时，y1<y2，使用如意卡便宜.题型二函数模型的选择【例2】

某化工厂开发研制了一种新产品，在前三个月的月生产量依次为100t，120t，130t.为了预测今后各个月的生产量，需要以这三个月的月产量为依据，用一个函数来模拟月产量y与月序数x之间的关系.对此模拟函数可选用二次函数y＝f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c均为待定系数，x∈N＋)或函数y＝g(x)＝pqx＋r(p，q，r均为待定系数，x∈N＋)，现在已知该厂这种新产品在第四个月的月产量为137t，则选用这两个函数中的哪一个作为模拟函数较好？所以y＝f(x)＝－5x2＋35x＋70.①同理y＝g(x)＝－80×0.5x＋140.②再将x＝4分别代入①式与②式得f(4)＝－5×42＋35×4＋70＝130(t)，g(4)＝－80×0.54＋140＝135(t).与f(4)相比，g(4)在数值上更为接近第四个月的实际月产量，所以②式作为模拟函数比①式更好，故选用函数y＝g(x)＝pqx＋r作为模拟函数较好.建立函数模型应遵循的三个原则(1)简化原则：建立函数模型，原型一定要简化，抓主要因素，主要变量，尽量建立较低阶、较简便的模型.(2)可推演原则：建立模型，一定要有意义，既能作理论分析，又能计算、推理，且能得出正确结论.(3)反映性原则：建立模型，应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明问题的功能，能回到具体问题中解决问题.思维升华【训练2】

我国的烟花名目繁多，花色品种繁杂.其中“菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂，通过研究，发现该型烟花爆裂时距地面的高度h(单位：米)与时间t(单位：秒)存在函数关系，并得到相关数据如下表：(1)根据上表数据，从下列函数中，选取一个函数描述该型烟花爆裂时距地面的高度h与时间t的变化关系：y1＝kt＋b，y2＝at2＋bt＋c，y3＝abt，确定此函数解析式，并简单说明理由；解由表中数据分析可知，烟花距地面的高度随时间的变化呈先上升再下降的趋势，则在给定的三类函数中，只有y2可能满足，故选取该函数.∴h(t)＝－4t2＋20t＋1(t≥0).(2)利用你选取的函数，判断烟花爆裂的最佳时刻，并求出此时烟花距地面的高度.解h(t)＝－4t2＋20t＋1∴当烟花冲出后2.5s时是爆裂的最佳时刻，此时烟花距地面的高度为26米.1.通过建立数学模型解决实际问题，提升数学建模素养和数学运算素养.2.函数模型的选取(1)当增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型.(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型.(3)当要求增长速度比较均匀，常常选用一次函数模型.(4)幂函数模型y＝xn(n>0)，则可以描述增长幅度不同的变化：n值较小(n≤1)时，增长较慢；n值较大(n>1)时，增长较快.

课堂小结分层训练素养提升3一、选择题1.某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，设这种动物第一年有100只，到第7年它们发展到(

)A.300只 B.400只C.500只 D.600只解析由已知第一年有100只，得a＝100.将a＝100，x＝7代入y＝alog2(x＋1)，得y＝300.A2.某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是(

)A.310元 B.300元

C.390元 D.280元B解析由图象知，该一次函数过(1，800)，(2，1300)，可求得解析式y＝500x＋300(x≥0)，当x＝0时，y＝300.3.某同学家门前有一笔直公路直通长城，星期天，他骑自行车匀速前往，他先前进了akm，觉得有点累，就休息了一段时间，想想路途遥远，有些泄气，就沿原路返回骑了bkm(b＜a)，当他记起诗句“不到长城非好汉”，便调转车头继续前进，则该同学离起点的距离与时间的函数关系图象大致为(

)C解析由题意可知，s是关于时间t的一次函数，所以其图象特征是直线上升.由于中间休息了一段时间，该段时间的图象应是平行于横轴的一条线段.然后原路返回，图象下降，再调转车头继续前进，则直线一致上升.A.75，25 B.75，16 C.60，25 D.60，16DA.125 B.100 C.75 D.50C二、填空题6.在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由微机记录后显示的图象如图所示.现给出下列说法：①前5min温度增加的速度越来越快；②前5min温度增加的速度越来越慢；③5min以后温度保持匀速增加；④5min以后温度保持不变.②④其中正确的说法是________.解析因为温度y关于时间t的图象是先凸后平，即5min前每当t增加一个单位增量Δt，则y相应的增量Δy越来越小，而5min后y关于t的增量保持为0，则②④正确.7.某商场2020年一月份到十二月份销售额呈现先下降后上升的趋势，现有三种函数模型： ①f(x)＝p·qx(q>0，q≠1)；②f(x)＝logpx＋q(p>0，p≠1)；③f(x)＝x2＋px＋q.

能较准确反映商场月销售额f(x)与月份x关系的函数模型为________(填写相应函数的序号)，若所选函数满足f(1)＝10，f(3)＝2，则f(x)＝_____________.③x2－8x＋17解析

由函数图象知，二次函数f(x)＝x2＋px＋q是先下降后上升，所以选③.则f(x)＝x2－8x＋17.8.已测得(x，y)的两组值为(1，2)，(2，5)，现有两个拟合模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1.若又测得(x，y)的一组对应值为(3，10.2)，则选用________作为拟合模型较好.解析对于甲：x＝3时，y＝32＋1＝10，对于乙：x＝3时，y＝8，因此用甲作为拟合模型较好.甲解设家庭中孩子数为x(x≥1，x∈N＋)，旅游收费为y，旅游原价为a.∴当x＝1时，两家旅行社收费相等.当x＞1时，甲旅行社更优惠.10.某公司为了实现1000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且资金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但资金总数不超过5万元，同时资金不超过利润的25%，现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y