2023-2024学年湘教版必修第二册 　 投影及数量积的运算律 课件（37张）

1.理解投影的概念.2.掌握平面向量数量积的运算律及常用公式.3.会用数量积的运算律进行计算或证明.课标要求素养要求通过引入投影及数量积的运算律，体会数学抽象素养及数学运算素养.课前预习课堂互动分层训练内容索引课前预习知识探究11.投影向量投影向量投影长点睛a在b上的投影向量与b在a上的投影向量是不一样的.2.数量积的几何意义一般地，a与b的数量积等于a的长度|a|与b在a方向上的投影__________的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上的投影___________的乘积，即a·b＝|a||b|·cosα.b在a方向上的投影|b|·cosα的公式|b|·cosα＝_________. |a|·cosα|b|·cosα3.向量数量积的运算律运算律实数乘法向量数量积交换律ab＝baa·b＝b·a与数乘的结合律a·(λb)＝λ(a·b)a·(λb)＝λ(a·b)分配律a(b＋c)＝ab＋aca·(b＋c)＝a·b＋a·c1.思考辨析，判断正误×(1)向量a在b方向上的投影一定是正数.(

)提示当a与b夹角为钝角时，投影是负数.(2)a·(b·c)＝(a·b)·c.(

)提示三个向量的数量积的结合律不成立，即a·(b·c)≠(a·b)·c.×√提示由数量积的分配律可知其正确性.(4)λ(a·b)＝λa·b.(

)提示由数量积的运算律可知λ(a·b)＝λa·b.√2.若a·c＝b·c(c≠0)，则(

) A.a＝b B.a≠b C.|a|＝|b| D.a在c方向上的投影与b在c方向上的投影必相等

解析由向量数量积的几何意义可知选D.D3.已知非零向量a，b满足(a＋b)⊥(a－b)，则(

) A.a＝b B.|a|＝|b| C.a⊥b D.a∥b

解析∵(a＋b)⊥(a－b)，∴(a＋b)·(a－b)＝0， ∴|a|2－|b|2＝0，∴|a|＝|b|.BB课堂互动题型剖析2题型一向量数量积的几何意义【例1】

已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°. (1)求a·b； (2)求a在b上的投影.解(1)a·b＝|a||b|cosθ＝5×4×cos120°＝－10.【迁移】

(1)(变结论)在例题条件不变的情况下，求b在a上的投影. (2)(变条件)把例题中“a与b的夹角θ＝120°”换成“a∥b”，求a·b.

(2)∵a∥b，∴a与b的夹角θ＝0°或180°.当θ＝0°时，a·b＝|a||b|cos0°＝20.当θ＝180°时，a·b＝|a||b|cos180°＝－20.任意的非零向量a在另一非零向量b上的投影等于|a|cosθ(θ为向量a，b的夹角)，即该投影与b的模无关.思维升华

【训练1】

已知向量a，b满足|b|＝2，a与b的夹角为60°，则b在a方向上的投影是________.1解析已知向量a，b的夹角θ＝60°，【例2】

设a，b，c是任意的非零向量，且它们不共线，给出下列结论： ①a·c－b·c＝(a－b)·c； ②(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直； ③|a|－|b|<|a－b|； ④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.

其中正确结论的序号是________.

解析根据数量积的分配律知①正确；

因为[(b·c)·a－(c·a)·b]·c ＝(b·c)·(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0， ∴(b·c)·a－(c·a)·b与c垂直，②错误；

因为a，b不共线，所以|a|，|b|，|a－b|组成三角形三边， ∴|a|－|b|<|a－b|成立，③正确； ④正确.故正确结论的序号是①③④.题型二向量数量积的运算性质①③④向量的数量积a·b与实数a，b的乘积a·b有许多不同之处.例如，由a·b＝0并不能得出a＝0或b＝0.特别是向量的数量积不满足结合律：(a·b)·c≠a·(b·c).思维升华D解析因为a·b＝|a||b|cosθ，所以|a·b|≤|a||b|，所以A错误；根据向量加法的平行四边形法则，|a＋b|≤|a|＋|b|，只有当a，b同向时取“＝”，所以B错误；因为(a·b)c是向量，其方向与向量c相同，a(b·c)是向量，其方向与向量a的方向相同，所以C错误；因为a·a＝|a||a|cos0＝|a|2，题型三求向量的模思维升华【训练3】

已知|a|＝1，|b|＝3，且|a－b|＝2，求|a＋b|.

解法一∵|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝1＋9－2a·b＝4， ∴a·b＝3. ∴|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋9＋2×3＝16，∴|a＋b|＝4.

法二∵|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2，|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2， ∴|a－b|2＋|a＋b|2＝2a2＋2b2＝2×1＋2×9＝20.

又|a－b|＝2，∴|a＋b|2＝16，∴|a＋b|＝4.【例4】

设n和m是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角.

解∵|n|＝|m|＝1且m与n的夹角是60°，题型四求向量的夹角设a与b的夹角为θ，思维升华【训练4】

已知|a|＝|b|＝2，(a＋2b)·(a－b)＝－2，求a与b的夹角.

解∵(a＋2b)·(a－b)＝|a|2－2|b|2＋a·b＝－2. |a|＝|b|＝2，∴a·b＝2，课堂小结分层训练素养提升3

一、选择题1.设非零向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则a与b的夹角θ为(

) A.150° B.120° C.60° D.30°

解析由|a|＝|b|＝|c|且a＋b＝c，得|a＋b|＝|b|，

平方得|a|2＋|b|2＋2a·b＝|b|2，∴2a·b＝－|a|2，BB解析b·c＝|b||c|cos45°＝1.∴a·(b·c)＝a.A解析∵(3a＋2b)·(λa－b)＝3λa2＋(2λ－3)a·b－2b24.已知a，b方向相同，且|a|＝2，|b|＝4，则|2a＋3b|＝(

) A.16 B.256 C.8 D.64

解析∵|2a＋3b|2＝4a2＋9b2＋12a·b＝16＋144＋96＝256，∴|2a＋3b|＝16.A5.已知|a|＝6，|b|＝8，a与b的夹角为60°，则向量b在a方向上的投影为(

) A.4 B.－4 C.2 D.－2

解析向量b在a方向上的投影为 |b|cosθ＝8×cos60°＝4.A二、填空题6.已知向量a，b满足(a＋2b)·(5a－4b)＝0，且|a|＝|b|＝1，则a与b的夹角θ为________.解析∵a⊥b，∴a·b＝0，(a＋2b)·(a－2b)＝a2－4b2，三、解答题9.已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是60°，计算： (1)(2a＋b)·(2a－b)；(2)|4a－