2023届广东省肇庆市高三上学期第一次教学质量检测数学试题及答案

高三试题高三试题肇庆市2023届高中毕业班第一次教学质量检测数学本试题共4页，考试时间120分钟，满分150分注意事项：1.答题前，考生先将自己的信息填写清楚、准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处。2.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。3.答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不得使用涂改液、修正带、刮纸刀。考试结束后，请将本试题及答题卡交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.如图，已知全集，集合，，，图中阴影部分表示集合，则A. B.C. D.2.同时满足以下三个条件的一个复数是.①复数在复平面内对应的点位于第三象限；②复数的模为5；③复数的实部大于虚部.A. B. C. D.3.设，，，则下列关系正确的是A. B. C. D.4.已知是各项均为正数的等差数列，且，则的最大值为A.10 B.20 C.25 D.505.下列选项正确的是A.是的必要不充分条件B.在中，是的充要条件C.是的充要条件D.命题“，”的否定是：“，”6.已知函数，满足导函数恒成立，则下列选项正确的是A. B.C. D.7.的值为.A. B. C.1 D.28.《周髀算经》是我国最早的数学典籍，书中记载：我国早在商代时期，数学家商高就发现了勾股定理，亦称商高定理三国时期数学家赵爽创制了如图2（1）的“勾股圆方图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成），用数形结合法给出了勾股定理的详细证明.现将“勾股圆方图”中的四条股延长相同的长度得到图2（2）.在图2（2）中，若，，G，F两点间的距离为，则“勾股圆方图”中小正方形的面积为A.9 B.4 C.3 D.8二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.已知实数a，b，c满足且，则下列选项正确的是A. B.C. D.10.把函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象恰好关于y轴对称，则下列说法正确的是A.的最小正周期为B.关于点对称C.在上单调递增D.若在区间上存在最大值，则实数的取值范围为11.已知函数，则下列选项正确的是A.函数在区间上单调递增B.函数在区间上单调递增C.关于x的方程恰有两个根，则D.函数在上的最大值与最小值之和为12.定义两个非零平面向量的一种新运算：，其中表示，的夹角，则对于两个非零平面向量，，下列结论一定成立的是A. B.C. D.若，则与平行三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知等比数列的前项和为，且，，则_________.14.已知直线与曲线相切，则_________.15.已知函数若关于的方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围是_________.16.在中，点D、E分别在BC、AC上，且满足，，点F在AD上，且满足.若，，设，，则的最大值为_________.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（10分）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为，，.（1）若，求S的值；（2）若D是AC的中点，且，求的值.18.（12分）已知正项数列的前项和为，且满足.（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，证明：.19.（12分）已知函数.（1）是否存在实数，使得在处取得极小值，并说明理由；（2）证明：对任意都有成立.20.（12分）已知各项均不为零的数列满足，且，，设.（1）证明：为等比数列；（2）求的前项和.21.（12分）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知D是BC上的点，AD平分.（1）若，，，求的值；（2）若为锐角三角形，请从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求的取值范围.条件①：；条件②：；条件③：.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.22.（12分）已知函数.（1）当时，求的单调区间；（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.肇庆市2023届高中毕业班第一次教学质量检测参考答案及评分标准数学（参考答案解析）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.12345678DCBCBCAB1.D【解析】∵全集，，故答案选D.2.C【解析】∵复数在复平面内对应的点位于第三象限，∴实部、虛部都小于0，故排除A选项；∵复数的模为5，而，故排除B选项；∵复数的实部大于虚部，又-3>-4，∴C选项正确，故选C.3.B【解析】∵，∴，∴；，∴；，∴，∴.故选B.4.C【解析】∵，∴，∴，当且仅当时等号成立，故选C.5.B【解析】若，则，若，则，∴是的充要条件，故A错误；若，则或（显然不成立），若，则，∴是的充要条件，故B正确；若，则，若，则，∴是的充分不必要条件，故C错误；命题“，”的否定是：“，”，故D错误.6.C【解析】令，则，∴在上单调递减，∴，∴，即，同理可得：，∴，∴，故答案选C.试题高三7.A【解析】，故选A.8.B【解析】由条件可得.在中，由余弦定理得，∴，∴，，∴，∴“勾股圆方图”中小正方形的边长为，∴面积为4，故选B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.（全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9101112ADACDBCAD9.AD【解析】由题意得或，，所以A正确；取，，，则，，故B不正确；取，，，故C不正确；因为，所以，函数在上是增函数，所以成立，故D正确.10.ACD【解析】把函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图像，因为它关于轴对称，所以，，即，，又因为，所以，，∴，故A正确；试题高三，故B错误；令，得，故C正确；∵函数在上存在最大值，∴实数的取值范围为，故D正确.11.BC【解析】当时，，∴，当时，，单调递减，当时，，单调递增，故A错误，B正确；∴当时，，且.当时，，∴，∵，∴，∴单调递增，又，∴结合草图可知，当时，关于的方程恰有两个根，故C正确；∵，，，∴在上的最大值为，最小值为0，故D错误.12.AD【解析】，∴A正确；对于选项B，如图，在平行四边形中，取，，，则表示的面积，表示的面积，表示平行四边形的面积，而，故B错误；对于选项C，，，当时，不成立，故C错误；由，∴，∴或，即与平行，故D正确.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.6414.15.16.1813.64【解析】依题意可得，，，，，，.试题高三14.【解析】设切点为，∵，∴，∴，∵，∴，解得，∴.15.【解析】利用数形结合可得，，∴，∴实数的取值范围为.16.18【解析】因为，所以，所以，所以，所以，当且仅当时等号成立.四、解答题：本题共6小题，共70分.17.（10分）解：由及正弦定理得，∵，所以.（1）在中，由余弦定理，得，∴，∴，∴.（2）因为D是AC的中点，且，记，在中，由余弦定理得，即，在中，由余弦定理得，即，整理可得，又因为，，所以.试题高三18.（12分）解：（1）依题意可得，当时，，，则；当时，，，两式相减，整理可得，可得，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以.（2）证明：由（1）可知，所以，.所以成立.19.（12分）解：（1）假设存在实数，使得在处取得极小值，则，，所以.所以，，则；，则；，则；在上是减函数，在上是增函数，所以当时，的极小值为.（2）证明：由（1）可知，当时，，即.令，则，，，…，，，所以，试题高三故命题成立.20.（12分）解：（1）证明：因为，所以，∴，即，∴，即，∴是以为首项，为公比的等比数列，∴.（2）解法1：由（1）知，即，∵，∴，∴是常数列，∴，∴，令，则①，②①式减②式得，试题高三，化简整理得.解法2：由（1）知，即，∵，∴，∴是常数列，∴，∴，，，，∴∴，∴为常数列.∵，∴.21.（12分）解：（1）解法1：依题意可得，可得，试题高三又因为平分，且，所以，则，整理可得.解法2：在中，由余弦定理可得，所以，在中，由正弦定理可得，所以；在中，由正弦定理可得，所以.故有，即，.在中，由余弦定理可得，即，解得或；在中，由余弦定理可得，即，解得或.综上可知.解法3：因为B，C，D三点共线，所以，因为平分，且，所以.，化简可得，，化简可得，解得，，所以.解法4：因为平分，且，所以，由角平分线性质得.试题高三又因为B，C，D三点共线，所以，则，所以.解法5：（几何法）作，交AD延长线于E，因为平分，且，所以.又因为，所以，所以为等边三角形，.又因为，所以，所以.则，所以.解法6：延长AD交CE于点E，使得，因为AD平分，所以，所以，所以，则有，即，又因为，，所以，所以，则，所以（这个是斯库顿定理），在中，由余弦定理可得，所以，因为平分，且，所以，由角平分线性质得，所以，，所以，解得.（2）选条件①∵，∴，∴，即，试题高三∵，∴，在中，由正弦定理得，∴，在中，由正弦定理得，∴，∵平分，与互补，∴.∵是锐角三角形，∴，∴，∴，即的取值范围为.选条件②∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，在中，由正弦定理得，∴，在中，由正弦定理得，∴，∵平分，与互补，∴.∵是锐角三角形，∴，∴，∴，试题高三∴的取值范围为.选条件③∵，∴，由正弦定理得，∴根据余弦定理的推论得，∵，∴，在中，由正弦定理得，∴，在中，由正弦定理得，∴，∵平分，与互补，∴.