第四章 图形的相似-构造相似 同步练习 北师大版数学九年级上册

“十层相似”———相似十大技巧技巧十：构造相似类型一：构造旋转型相似1．已知点E在△ABC内，∠ABC＝∠EBD＝α，∠ACB＝∠EDB＝60°，∠AEB＝150°，∠BEC＝90°．（1）当α＝60°时（如图1），①判断△ABC的形状，并说明理由；②求证：BD＝AE；（2）当α＝90°时（如图2），求的值．2．已知△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，△ADE绕点A逆时针旋转一周．（1）如图1，连接BD，CE，则BD与CE的数量关系为；直线BD与CE所夹角的度数为；（2）当△ADE旋转至如图2所示的位置时，取BC，DE的中点M，N，连接MN，BD．试问：的值是否随△ADE的旋转而变化？若不变，请求出该值；若变化，请说明理由；3．已知：如图，正方形ABCD与正方形AEFG．（1）如图①，求证：BG＝DE；（2）如图②，求的值；（3）如图③，分别取CF、BE的中点M、N，试探究：MN与BE的关系，并说明理由．4．如图20﹣1，正方形AFEG与正方形ABCD有公共点A，点G，F分别在AD，AB上，点E在正方形ABCD的对角线AC上．将正方形AFEG绕A点逆时针方向旋转，旋转角为α（0°≤α≤360°）．（1）当α＝0°时，＝；（2）如图20﹣2，当0°＜α＜45°时，连接CE，DG，是否为定值？请说明理由；5．已知△ABC和△ADE有公共的顶点A，AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE．AC与DE相交于点G，连接BE，CD．（1）若点B，E，D在一条直线上，如图1，求证：∠BAC＝∠BDC；（2）将△ADE绕点A逆时针方向旋转一定的角度，DE的延长线交BC于点F，如图2①证明：AE•CG＝DG•CF；②若∠AEB＝∠BAC＝90°，求的值．类型二：做平行线构造“A”、“X”型相似1．如图，AD是△ABC的中线，点E在AC上，BE交AD于点F，＝，则＝．2．如图，在△ABC中，点D为边BC上一点，且＝，点E为AD的中点，延长BE交AC于点F，则＝．3．如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，点D在边AC上，满足CD＝2AD，作AE⊥BD于点F，则线段AE的长是．4．如图所示，过△ABC的顶点C任作一条直线，与边AB及中线AD分别交于点F和E求证：AE：ED＝2AF：FB．5．如图①，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D为BC边上的一点，连接AD，过点C作CE⊥AD于点F，交AB于点E，连接DE．（1）求证：△AFC∽△CFD；（2）若AE＝2BE，求证：AF＝2CF；（3）如图②，若AB＝，DE⊥BC，求的值．类型三：作垂线构造相似直角三角形1．如图．P是菱形ABCD的对角线BD上一点，E是BC边上一点，∠EAP＝∠ABD，AE交BD于点F．（1）求证：△ABP∽△FBE；（2）过点P作PH⊥AE于点H，若＝，求的值．2．如图，在正方形ABCD中，点E是边AD上一点，其中AE：ED＝1：2．线段BE的垂直平分线分别交AB、BE、CD于点F，G，H，则的值为．​3．如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，且∠ADE＝∠B．（1）如图1，若∠B＝∠C，求证：AB•CE＝BD•CD；（2）如图2，若∠B＝90°，AB＝BC＝10，BD＝4，求CE的长；4．（1）【问题发现】：如图1，在正方形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，CD，AD，BC上，且EF⊥GH，则＝1；（2）【类比探究】：如图2，在（1）的条件下，把“正方形ABCD”改为“矩形ABCD，且AB＝m，BC＝n”其它条件不变，则＝，证明你的结论；​类型四：构造空翻型相似（一线三等角）1．如图1，在正方形ABCD中，E是边BC的中点，F是CD上一点，已知∠AEF＝90°．（1）＝；（2）平行四边形ABCD中，E是边BC上一点，F是边CD上一点，∠AFE＝∠ADC，∠AEF＝90°．如图2，若∠AFE＝60°，求的值．2．点C在AB的延长线上，且∠DAB＝∠DBE．（1）如图（1），若∠C＝∠A，求证：△DAB∽△BCE；（2）如图（2），若CE∥AD，∠C＝45°，若，则的值为；（直接写出）（3）如图（3），连接AE，若△DAB∽△DBE，，求证：AE＝2BD．3．问题背景：（1）如图①，已知△ABC∽△ADE，点D在线段BE上，求证：△ABD∽△ACE；尝试运用：（2）如图②，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC