福建省漳州市第一外国语学校（漳州八中）2021-2022学年高二下学期期末考试数学试题

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页福建省漳州市第一外国语学校（漳州八中）2021-2022学年高二下学期期末考试数学试题第I卷（选择题）评卷人得分一、单选题1．若集合，则（

）A．或 B．或C． D．2．设，是实数，则“”是“”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．有一道数学难题，学生A解出的概率为，学生B解出的概率为，学生C解出的概率为．若A、B，C三人独立去解答此题，则恰有1人解出的概率为（

）A． B． C． D．4．某社区医院为了了解社区老人与儿童每月患感冒的人数（人）与月平均气温（）之间的关系，随机统计了某4个月的患病（感冒）人数与当月平均气温，其数据如下表：月平均气温171382月患病（人）24334055由表中数据算出线性回归方程中的，气象部门预测下个月的平均气温约为，据此估计该社区下个月老年人与儿童患病人数约为（

）A．38 B．40 C．46 D．585．在正方体中，E，F，G分别是，的中点，则（

）A．平面 B．平面C．平面 D．平面6．已知函数，则函数的单调递增区间为（

）A． B．，C． D．7．函数在处有极大值，则的值等于（

）A．0 B．6 C．3 D．28．已知为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（

）A． B． C． D．评卷人得分二、多选题9．设，均为正数，且，则下列结论正确的是（

）A．有最大值 B．有最大值C．有最小值 D．有最小值10．下列结论正确的是（

）A．若随机变量x服从两点分布，，则B．若随机变量Y的方差，则C．若随机变量ζ服从二项分布，则D．若随机变量η服从正态分布，，则11．关于空间向量，以下说法正确的是（

）A．向量，，若，则B．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面C．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底D．若空间四个点，，，，，则，，三点共线12．若函数的定义域为内的某个区间上是增函数，且在上也是增函数，则称是上的“完美函数”，已知，若函数是区间，上的“完美函数”，则正整数的值可能为（

）A．1 B．2 C．3 D．4第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分三、填空题13．命题“”的否定是______.14．为了判断某高中学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到列联表：理科文科男1310女720根据表中数据，得到，则认为选修文科与性别有关系出错的概率约为___________.（参考数据：，）15．如图所示，长方体的底面是边长为1的正方形，长方体的高为2，E､F分别在､AC上，且，则直线EF与直线的距离为___________.评卷人得分四、双空题16．先后掷两次骰子（骰子的六个面上的点数分别是1､2､3､4､5､6），落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x､y，记事件A为“为偶数”，事件B为“x､y中有偶数且”，则概率___________，___________.评卷人得分五、解答题17．已知全集，非空集合，．（1）当时，求；（2）命题：，命题：，若是的必要条件，求实数的取值范围．18．某地政府为解除空巢老年人缺少日常护理和社会照料的困境，大力培育和发展养老护理服务市场.从2016年开始新建社区养老机构，下表是该地近五年新建社区养老机构数量对照表：年份20162017201820192020年份代码（）12345新建社区养老机构（）1215202528（1）根据上表数据可知，与之间存在线性相关关系，用最小二乘法求关于的经验回归方程；（2）若该地参与社区养老的老人，他们的年龄近似服从正态分布，其中年龄的有人，试估计该地参与社区养老的老人有多少人？参考公式：线性回归方程，，.参考数据：，19．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE＝2．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图2．

(1)求证：A1C⊥平面BCDE；(2)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；(3)线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由．20．为普及传染病防治知识，增强学生的疾病防范意识，提高自身保护能力，校委会在全校学生范围内，组织了一次传染病及个人卫生相关知识有奖竞赛（满分100分），竞赛奖励规则如下：得分在内的学生获三等奖，得分在内的学生获二等奖，得分在内的学生获一等奖，其它学生不得奖.教务处为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取了100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如图所示的频率分布表.竞赛成绩人数61218341686(1)从该样本中随机抽取2名学生的竞赛成绩，求这2名学生恰有一名学生获奖的概率；(2)若该校所有参赛学生的成绩X近似地服从正态分布，若从所有参赛学生中（参赛学生人数大于10000）随机抽取4名学生进行座谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生人数为，求随机变量的分布列和数学期望.21．如图，在三棱锥中，．(1)证明：平面平面．(2)若点Q在棱上，且与平面所成角的正弦值为，求二面角的平面角的余弦值．22．已知函数．(1)若，求a的取值范围；(2)证明：若有两个零点，则．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．A【解析】【分析】先求出集合A，再求其补集【详解】解：因为，所以或，故选：A2．D【解析】【详解】本题采用特殊值法：当时，，但，故是不充分条件；当时，，但，故是不必要条件.所以“”是“”的既不充分也不必要条件.故选D.考点：1.充分条件、必要条件；2.不等式的性质.3．D【解析】【分析】利用相互独立事件概率计算公式，计算出所求的概率.【详解】一道数学难题，恰有1人解出，包括：①A解出，B．C解不出，概率为；②B解出，A、C解不出，概率为；③C解出，A，B解不出，概率为．所以恰有1人解出的概率为．故选：D4．C【解析】【分析】由表格数据求样本中心，根据线性回归方程过样本中心点，将点代入方程求参数，写出回归方程，进而估计下个月老年人与儿童患病人数.【详解】由表格得为，由回归方程中的，∴，解得，即，当时，.故选：C.5．A【解析】【分析】取、、的中点分别记为、、，画出图形根据线面平行的判定定理及空间向量法证明即可；【详解】解：取、、的中点分别记为、、，连接、、、，根据正方体的性质可得面即为平面，对于A：如图，，平面，平面，所以平面，故A正确；对于B：如图，在平面中，，则平面，所以B错误；对于C、D：如图，平面，因为过平面外一点作（）仅能作一条垂线垂直该平面，故C、D错误；其中平面可按如下证明：如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则，，，，，所以，，，所以，，即，，又，平面，所以平面；故选：A6．C【解析】【分析】判断定义域，求导函数，分析的解，从而得单调递增区间.【详解】定义域为，，解得，当时，，所以的单调递增区间为.故选：C7．A【解析】【分析】求导，根据列方程组求解可得.【详解】因为在处有极大值，所以，解得所以故选：A8．B【解析】【分析】先由奇函数求得，进而求出，再求导求出，由点斜式方程写出切线方程即可.【详解】由可得，整理得，则；则，，，，则曲线在点处的切线方程为，整理得.故选：B.9．ABC【解析】【分析】利用基本不等式求A、B中的最大值，用二次函数的性质判断C，D．【详解】，∴，当且仅当，即时等号成立，A正确；由前面推导可知，即，当且仅当时等号成立，B正确；由已知，，时，取得最小值，C正确；，，，，没有最小值．D错误．故选：ABC．【点睛】本题考查基本不等式求最值，考查用二次函数的性质求最值．对于有前提条件的二元二次式的最值问题用代入法化为一元二次函数，然后由二次函数知识求得最值，是一种快速求解的方法，消元后注意剩下的元的取值范围．10．AD【解析】【分析】根据两点分布的期望公式，方差公式，二项分布概率公式，正态分布的对称性，判断选项.【详解】由条件可知，，，故A正确；，故B错误；若随机变量ζ服从二项分布，则，故C错误；根据对称性可知，正态分布曲线关于对称，所以，故D正确.故选：AD11．BCD【解析】【分析】根据空间向量基本定理及基底的基本概念，判断每个选项即可.【详解】解：对于选项A，由，也可能是或，故错误；对于选项B，因为对空间中任意一点，，则，整理得.由空间向量基本定理可知点，，，四点共面，故正确；对于选项C，由是空间中的一组基底，则，向量，，不共面，可得向量，，也不共面，所以也是空间的一组基底，故正确；对于选项D，若空间四个点，，，，，可得，即，则，，三点共线，故正确.故选：BCD.12．CD【解析】【分析】通过求导求出和的单调区间，在结合完美函数的定义求出m的范围即可.【详解】∵，，∴在单调递增，，∴可以得出：在，上是单调递增．∵，∴，，设，，在上单调递增，，（1），，∴在，上，有成立，∴函数在，上是单调递增函数，综合判断：，与在，上都是单调递增函数，，与在，上不是都为单调递增函数，∵函数是区间，上的“完美函数”，∴，所以C，D符合题意.故选：CD13．，【解析】【分析】利用全称命题的否是特称命题，直接写出命题的否定即可.【详解】由全称命题的否定可知，命题“”的否定是：“，”.故答案为：，.【点睛】本题考查命题的否定的应用，全称命题与特称命题互为否定关系，考查基础知识的应用.14．【解析】【分析】根据独立性检验的方法即可求解.【详解】因为，，所以认为选修文科与性别有关系出错的概率约为.故答案为：.15．【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设，求出，由求得，连接并延长交于，在中，作于，由余弦定理求得，再由三角形知识求得即可求解.【详解】如图，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，设，又，则，则，又，则，解得，则，连接并延长交于，由得为中点，同理可得连接并延长也交于点，，画出的平面图，作于，由余弦定理得，则，，又，则直线EF与直线的距离为.故答案为：.【点睛】本题关键点在于先建立空间直角坐标系，利用空间向量共线的坐标运算求得，进而在中，由余弦定理及平方关系求得，再由三角形知识求解即可.16．

##0.5

【解析】【分析】由古典概率公式求出、，利用条件概率公式可得结果.【详解】解：若为偶数，则、全为奇数或全为偶数，所以，，事件为“为偶数且、中有偶数，”，则、为两个不等的偶数，所以，，因此，.故答案为：；.17．（1）；（2）．【解析】（1）先解分式不等式和二次不等式得集合,再求补集和交集即可；（2）先判断得，再根据必要条件得到集合的包含关系，列不等式求解即可.【详解】（1）∵时，，，全集，∴或．∴．（2）∵命题：，命题：，是的必要条件，∴．∵，∴，∵，，∴，解得或，故实数的取值范围．【点睛】本题主要考查了集合的运算及求参问题，涉及必要条件的转化，属于基础题.18．（1）；（2）人．【解析】【分析】（1）利用条件及回归直线方程公式即求；（2）由题可求，结合条件即求.【详解】（1）由题意知，，，，所以，，故所求经验回归方程为；（2）由题可知，该地参与社区养老的老人有（人）该地参与社区养老的老人约有人.19．（1）略（2）(3)见解析【考点定位】此题第二问是对基本功的考查，对于知识掌握不牢靠的学生可能不能顺利解答．第三问的创新式问法，难度非常大【解析】【详解】试题分析：（1）证明A1C⊥平面BCDE，因为A1C⊥CD，只需证明A1C⊥DE，即证明DE⊥平面A1CD；（2）建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出平面A1BE法向量，=（﹣1，0，），利用向量的夹角公式，即可求得CM与平面A1BE所成角的大小；（3）设线段BC上存在点P，设P点坐标为（0，a，0），则a∈[0，3]，求出平面A1DP法向量为假设平面A1DP与平面A1BE垂直，则，可求得0≤a≤3，从而可得结论．（1）证明：∵CD⊥DE，A1D⊥DE，CD∩A1D=D，∴DE⊥平面A1CD，又∵A1C⊂平面A1CD，∴A1C⊥DE又A1C⊥CD，CD∩DE=D∴A1C⊥平面BCDE（2）解：如图建系，则C（0，0，0），D（﹣2，0，0），A1（0，0，2），B（0，3，0），E（﹣2，2，0）∴，设平面A1BE法向量为则∴∴∴又∵M（﹣1，0，），∴=（﹣1，0，）∴∴CM与平面A1BE所成角的大小45°（3）解：设线段BC上存在点P，设P点坐标为（0，a，0），则a∈[0，3]∴，设平面A1DP法向量为则∴∴假设平面A1DP与平面A1BE垂直，则，∴3a+12+3a=0，6a=﹣12，a=﹣2∵0≤a≤3∴不存在线段BC上存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直考点：向量语言表述面面的垂直、平行关系；直线与平面垂直的判定；用空间向量求直线与平面的夹角．20．(1)(2)的分布列见解析，【解析】【分析】（1）由样本频率分布表可知，样本中获一等奖的6人，获二等奖的8人，获三等奖的16人，共30人，70人没有获奖，再结合古典概型的概率公式可求得结果，（2）由可得，即从所有参赛学生中随机抽取1名学生，该生成绩在64分以上的概率为，所以随机变量，的所有取值为0，1，2，3，4，分别求出对应的概率，即可得的分布列，从而可求出期望（1）由样本频率分布表可知，样本中获一等奖的6人，获二等奖的8人，获三等奖的1