福建省厦门市高三数学一模试卷（文科）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2017年福建省厦门市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x｜x2﹣3x+2＜0}，B={x｜y=lg（3﹣x）｝,则A∩B=（）A．{x｜1＜x＜2} B．{x｜1＜x＜3} C．｛x｜2＜x＜3｝ D．｛x|x＜3}2．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为，则双曲线的离心率为（）A． B．2 C． D．3．如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为（0，4），(2,0），（6,4），则f（1)+f（3）=(）A．3 B．0 C．1 D．24．中国将于今年9月3日至5日在福建省厦门市主办金砖国家领导人第九次会晤．某志愿者队伍共有5人负责接待,其中3人担任英语翻译，另2人担任俄语翻译．现从中随机选取2人，恰有1个英语翻译，1个俄语翻译的概率是（）A． B． C． D．5．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点（﹣，2)，则tan（α﹣）的值为（）A．﹣3 B．﹣ C．﹣ D．﹣6．我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一问题：“今有蒲生一日，长三尺．莞生一日，长一尺．蒲生日自半．莞生日自倍．问几何日而长等？”（蒲常指一种多年生草本植物,莞指水葱一类的植物)现欲知几日后，莞高超过蒲高一倍．为了解决这个新问题，设计右面的程序框图，输入A=3，a=1．那么在①处应填()A．T＞2S? B．S＞2T？ C．S＜2T？ D．T＜2S？7．实数x,y满足,则z=4x+3y的最大值为(）A．3 B．4 C．18 D．248．在平行四边形ABCD中，AB=3，AD=2,=，=,若•=12，则∠BAD=（)A． B． C． D．9．当x＞0时，函数f（x）=（aex+b）（x﹣2）单调递增，且函数y=f(x﹣1）的图象关于直线x=1对称，则使得f（2﹣m）＞0成立的m的取值范围是（）A．｛m|m＜﹣2或m＞2} B．{m|﹣2＜m＜2｝ C．{m|m＜0或m＞4｝ D．{m|0＜m＜4｝10．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，已知其俯视图是正三角形，则该四棱锥的外接球的表面积是(）A． B． C．19π D．22π11．已知抛物线C：y2=2px（p＞0)的焦点为F，准线为l，A，B是C上两动点，且∠AFB=α（α为常数），线段AB中点为M，过点M作l的垂线,垂足为N,若的最小值为1,则α=（)A． B． C． D．12．已知数列｛an｝的前n项和为Sn，直线y=x﹣2与圆x2+y2=2an+2交于An，Bn（n∈N*)两点，且．若a1+2a2+3a3+…+nan＜λan2+2对任意n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围是（）A．（0，+∞） B． C．［0，+∞） D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．复数z满足z（1+i)=2﹣i（i为虚数单位），则z的模为．14．已知{an}是等差数列,其前n项和为Sn,a1+a3+a5=15，a2+a4+a6=0，则Sn的最大值为．15．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，BC=2，CC1=1，直线BC1与平面A1ABB1所成角等于60°，则三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面积为为_____．16．∃x0∈（2，+∞），k（x0﹣2）＞x0（lnx0+1），则正整数k的最小值为．（参考数据:ln2≈0.6931，ln3≈1.0986，ln5≈1.6094）三、解答题：本大题共5小题，每小题分数见旁注，共70分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=Msin(ωx+φ）(M＞0,ω＞0，｜φ|＜）的图象与x轴的两个相邻交点是A（0，0），B（6，0），C是函数f（x）图象的一个最高点．a,b,c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边,满足(a+c）（sinC﹣sinA)=（a+b）sinB．（Ⅰ)求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）将函数f（x)的图象向左平移1个单位后，纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）的单调递减区间．18．为了响应厦门市政府“低碳生活,绿色出行"的号召,思明区委文明办率先全市发起“少开一天车,呵护厦门蓝”绿色出行活动．“从今天开始,从我做起，力争每周至少一天不开车，上下班或公务活动带头选择步行、骑车或乘坐公交车，鼓励拼车…”铿锵有力的话语，传递了绿色出行、低碳生活的理念．某机构随机调查了本市部分成年市民某月骑车次数，统计如下：［0，10）［10,20）[20，30）[30，40）［40,50)［50，60］18岁至31岁812206014015032岁至44岁1228201406015045岁至59岁25508010022545060岁及以上2510101852联合国世界卫生组织于2013年确定新的年龄分段：44岁及以下为青年人，45岁至59岁为中年人，60岁及以上为老年人．用样本估计总体的思想，解决如下问题：（Ⅰ）估计本市一个18岁以上青年人每月骑车的平均次数;（Ⅱ）若月骑车次数不少于30次者称为“骑行爱好者”，根据这些数据，能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“骑行爱好者"与“青年人"有关？P（K2≥k)0.500。400.250.150。100.050.0250。0100.0050。001k0.4550.7081。3232。0722。7063.8415。0246。6357.87910.828K2=．19．如图，正方形ABCD的边长等于2，平面ABCD⊥平面ABEF,AF∥BE，BE=2AF=2，EF=．（Ⅰ）求证:AC∥平面DEF；（Ⅱ)求三棱锥C﹣DEF的体积．20．已知函数f(x)=(x2﹣ax+a+1）ex．（Ⅰ)讨论函数f（x)的单调性；（Ⅱ）函数f(x)有两个极值点，x1,x2（x1＜x2)，其中a＞0．若mx1﹣＞0恒成立，求实数m的取值范围．21．已知椭圆Γ：+y2=1（a＞1）与圆E：x2+（y﹣）2=4相交于A,B两点，且|AB|=2，圆E交y轴负半轴于点D．(Ⅰ）求椭圆Γ的离心率；（Ⅱ)过点D的直线交椭圆Γ于M，N两点,点N与点N'关于y轴对称,求证:直线MN’过定点，并求该定点坐标．选修4-4:坐标系与参数方程22．在直角坐标系xOy中,曲线C1:(α为参数）．以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=8cosθ，直线l的极坐标方程为．（Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程与直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与C1，C2在第一象限分别交于A，B两点，P为C2上的动点，求△PAB面积的最大值．选修4-5:不等式选讲23．已知函数f（x）=｜x﹣1|+｜x﹣m|(m＞1），若f（x）＞4的解集是｛x|x＜0或x＞4｝．(Ⅰ)求m的值；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜a2+a﹣4有解，求实数a的取值范围．

2017年福建省厦门市高考数学一模试卷(文科）参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x｜x2﹣3x+2＜0}，B={x｜y=lg（3﹣x）}，则A∩B=(）A．｛x|1＜x＜2｝ B．{x｜1＜x＜3} C．｛x|2＜x＜3｝ D．｛x|x＜3}【考点】交集及其运算．【分析】解不等式求出集合A,求定义域得出B,再根据交集的定义写出A∩B．【解答】解：集合A=｛x｜x2﹣3x+2＜0}={x|1＜x＜2}，B=｛x|y=lg（3﹣x）｝=｛x|3﹣x＞0｝=｛x｜x＜3｝，则A∩B={x｜1＜x＜2}．故选：A．2．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为，则双曲线的离心率为（)A． B．2 C． D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的渐近线方程得到a,b的关系，再根据离心率公式计算即可．【解答】解:∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0)的一条渐近线为，∴=,∴双曲线的离心率为e===故选：D．3．如图，函数f（x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为（0，4）,（2，0),（6，4)，则f（1）+f（3）=（）A．3 B．0 C．1 D．2【考点】函数的图象．【分析】由已知中函数的图象，求出f（1)，f（3）的值，可得答案．【解答】解：由已知中的函数f(x）的图象可得：f（1）=2,f(3）=1,故f（1）+f(3）=3，故选:A4．中国将于今年9月3日至5日在福建省厦门市主办金砖国家领导人第九次会晤．某志愿者队伍共有5人负责接待，其中3人担任英语翻译,另2人担任俄语翻译．现从中随机选取2人，恰有1个英语翻译，1个俄语翻译的概率是()A． B． C． D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】利用古典概率计算公式计算即可．【解答】解：P（恰有1个英语翻译，1个俄语翻译）==，故选：C．5．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点（﹣，2），则tan（α﹣）的值为（)A．﹣3 B．﹣ C．﹣ D．﹣【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】利用任意角的三角函数的定义求得tanα的值，再利用两角差的正切公式求得tan(α﹣)的值．【解答】解：∵角α的顶点在坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点（﹣，2）,∴tanα==﹣，则tan（α﹣）===﹣3，故选：A．6．我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一问题：“今有蒲生一日，长三尺．莞生一日，长一尺．蒲生日自半．莞生日自倍．问几何日而长等?"（蒲常指一种多年生草本植物,莞指水葱一类的植物）现欲知几日后，莞高超过蒲高一倍．为了解决这个新问题，设计右面的程序框图，输入A=3,a=1．那么在①处应填（）A．T＞2S? B．S＞2T？ C．S＜2T？ D．T＜2S？【考点】程序框图．【分析】由题意，S表示莞高,T表示蒲高,现欲知几日后，莞高超过蒲高一倍，即可得出结论．【解答】解:由题意，S表示莞高，T表示蒲高，现欲知几日后，莞高超过蒲高一倍，故①处应填S＞2T？．故选B．7．实数x，y满足，则z=4x+3y的最大值为(）A．3 B．4 C．18 D．24【考点】简单线性规划．【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标,结合函数的图象求出z的最大值即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域,如图示：,由，解得A(3，4）,由z=4x+3y得：y=﹣x+z，结合图象得直线过A（3，4）时，z最大，z的最大值是24，故选：D．8．在平行四边形ABCD中，AB=3,AD=2，=，=，若•=12，则∠BAD=（)A． B． C． D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据平行四边形的性质，利用平面向量的线性表示与数量积运算，即可求出答案．【解答】解:如图所示，平行四边形ABCD中，AB=3，AD=2，=，=，∴=+=﹣﹣，=+=﹣﹣若•=12，则•=（﹣﹣）•（﹣﹣）=++•=×32+×22+×3×2×cos∠BAD=12,cos∠BAD=，∴∠BAD=．故选：B．9．当x＞0时，函数f（x）=（aex+b）（x﹣2）单调递增，且函数y=f(x﹣1）的图象关于直线x=1对称,则使得f（2﹣m）＞0成立的m的取值范围是(）A．{m｜m＜﹣2或m＞2｝ B．｛m|﹣2＜m＜2} C．{m|m＜0或m＞4｝ D．{m|0＜m＜4｝【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】根据函数的对称性得到函数f（x）是偶函数，根据f（2）=f(﹣2）=0，问题转化为｜2﹣m|＞2,求出m的范围即可．【解答】解：函数y=f（x﹣1）的图象关于直线x=1对称,即函数y=f（x）的图象关于y轴对称，函数f（x）是偶函数，而f（2）=0,故x＞2时，f(x)＞0，x＜﹣2时，f（x）＞0，故f(2﹣m）＞0，即|2﹣m｜＞2，解得：m＞4或m＜0，故选:C．10．如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某四棱锥的三视图,已知其俯视图是正三角形，则该四棱锥的外接球的表面积是（）A． B． C．19π D．22π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据四棱锥的三视图知该四棱锥底面为矩形，高为的四棱锥;还原出长方体，设该四棱锥的外接球球心为O，求出外接球的半径，计算外接球的表面积．【解答】解:根据四棱锥的三视图，知该四棱锥底面为矩形，高为的四棱锥；且侧面PAB⊥底面ABCD,如图所示;还原出长方体是长为2，宽为1,高为．设该四棱锥的外接球球心为O,则过O作OM⊥平面PAB,M为△PAB的外心，作ON⊥平面ABCD，则N为矩形ABCD对角线的交点;∴OM=，ON=×=；∴外接球的半径满足R2=ON2+AN2=+=，∴外接球的表面积为S=4πR2=4π×=．故选：A．11．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，A,B是C上两动点，且∠AFB=α(α为常数），线段AB中点为M，过点M作l的垂线，垂足为N，若的最小值为1，则α=（）A． B． C． D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先画出图象、做出辅助线,设｜AF|=a、|BF｜=b，由抛物线定义得2｜MN|=a+b，由题意和余弦定理可得｜AB｜2=a2+b2﹣2abcosα，再根据的最小值为1，即可得到答案．【解答】解：如右图：过A、B分别作准线的垂线AQ、BP，垂足分别是Q、P，设｜AF|=a，｜BF｜=b，连接AF、BF,由抛物线定义，得|AF｜=｜AQ|，|BF｜=|BP｜在梯形ABPQ中,2|MN｜=|AQ｜+|BP|=a+b．由余弦定理得，|AB|2=a2+b2﹣2abcosα，∵的最小值为1,∴a2+b2﹣2abcosα≥,α=时，不等式恒成立．故选：C．12．已知数列｛an}的前n项和为Sn，直线y=x﹣2与圆x2+y2=2an+2交于An,Bn（n∈N*）两点，且．若a1+2a2+3a3+…+nan＜λan2+2对任意n∈N＊恒成立，则实数λ的取值范围是(）A．(0,+∞) B． C．［0，+∞） D．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由已知得到关于数列{an}的递推式，进一步得到{Sn+2}是以a1+2为首项，2为公比的等比数列．求出数列｛an｝的前n项和为Sn,进一步求得数列{an}的通项，然后利用错位相减法求得a1+2a2+3a3+…+nan，代入a1+2a2+3a3+…+nan＜λan2+2，分离参数λ，求出得最大值得答案．【解答】解：圆心O（0,0）到直线y=x﹣2,即x﹣y﹣2=0的距离d==2，由d2+=r2，且，得22+Sn=2an+2，∴4+Sn=2（Sn﹣Sn﹣1)+2，即Sn+2=2（Sn﹣1+2）且n≥2；∴｛Sn+2}是以a1+2为首项，2为公比的等比数列．由22+Sn=2an+2，取n=1，解得a1=2，∴Sn+2=（a1+2）•2n﹣1，则Sn=2n+1﹣2；∴（n≥2）．a1=2适合上式，∴．令Tn=a1+2a2+3a3+…+nan=1•2+2•22+3•23+…+（n﹣1）•2n﹣1+n•2n，∴，两式作差可得:==（1﹣n）•2n+1﹣2，∴，由a1+2a2+3a3+…+nan＜λan2+2对任意n∈N*恒成立,可得（n﹣1）•2n+1+2＜λ•22n+2对任意n∈N*恒成立，即λ＞对任意n∈N*恒成立,当n=1时，=0；由,知，n=2时，=0,∴当n=2、3时，最大为．∴λ＞．∴λ的取值范围为：．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．复数z满足z（1+i）=2﹣i（i为虚数单位）,则z的模为．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：z（1+i）=2﹣i（i为虚数单位），∴z（1+i）(1﹣i）=（2﹣i）（1﹣i），∴2z=1﹣3i，则z=，∴|z|==．故答案为：．14．已知{an｝是等差数列，其前n项和为Sn，a1+a3+a5=15，a2+a4+a6=0,则Sn的最大值为30．【考点】等差数列的前n项和．【分析】设等差数列｛an}的公差为d，根据a1+a3+a5=15，a2+a4+a6=0,可得3d=﹣15，3a1+6d=15，解得d，a1．令an≥0，解得n，进而得出．【解答】解：设等差数列{an｝的公差为d,∵a1+a3+a5=15,a2+a4+a6=0，∴3d=﹣15，3a1+6d=15,解得d=﹣5，a1=15．∴an=15﹣5（n﹣1）=20﹣5n，令an=20﹣5n≥0，解得n≤4．则Sn的最大值为S4=S3=3×15+=30．故答案为：30．15．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，BC=2，CC1=1,直线BC1与平面A1ABB1所成角等于60°,则三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面积为为_____．【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】由题意，BC1==，∠A1BC1=60°，求出底面的边长，即可求出三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面积．【解答】解:由题意,BC1==，∠A1BC1=60°,∴A1C1=，A1B=,∴AB=，∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面积为（2++)×1=，故答案为．16．∃x0∈（2，+∞），k(x0﹣2）＞x0（lnx0+1）,则正整数k的最小值为5．(参考数据：ln2≈0。6931，ln3≈1.0986，ln5≈1。6094)【考点】特称命题．【分析】根据题意得出k＞，设f（x）=,其中x＞2；利用导数求出f（x）在x＞2的最小值，即可求出正整数k的最小值．【解答】解：∃x0∈（2，+∞），∴x0﹣2＞0，∴k（x0﹣2）＞x0（lnx0+1）可化为k＞，设f（x)=，其中x＞2;则f′（x)==；令f′（x)=0，得x﹣4﹣2lnx=0，设g（x）=x﹣4﹣2lnx,其中x＞2;则g′(x)=1﹣=,当x＞2时,g′(x）＞0，g（x)是单调增函数，∴g(x）≥g(2）；且g(2）=2﹣4﹣2ln2=﹣2﹣2×0。6931＜0，g（5）=5﹣4﹣2ln5=1﹣2×1.6094＜0,g（8）=8﹣4﹣2ln8=4﹣6ln2=4﹣6×0。6931＜0，g（9）=9﹣4﹣2ln9=5﹣4ln3=5﹣4×1.0986＞0；∴g（x）在（8，9）内有零点，且在零点处f（x)取得最小值m;∴f（8）==×（3ln2+1）=×（3×0.6931+1)≈4.1＞m,f（9）==×（2ln3+1)=×(2×1。0986+1）≈4。1＞m；∴k≥4.1；即正整数k的最小值为5．故答案为：5．三、解答题：本大题共5小题,每小题分数见旁注，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x)=Msin（ωx+φ）（M＞0,ω＞0，|φ|＜）的图象与x轴的两个相邻交点是A(0，0)，B（6,0），C是函数f（x）图象的一个最高点．a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边,满足（a+c）（sinC﹣sinA）=（a+b）sinB．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ)将函数f（x）的图象向左平移1个单位后，纵坐标不变,横坐标伸长为原来的倍,得到函数g(x)的图象,求函数g（x)的单调递减区间．【考点】函数y=Asin（ωx+φ)的图象变换;由y=Asin(ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】(Ⅰ)由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，解直角三角形求出A，可得f（x）的解析式．(Ⅱ）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g(x）的解析式，再利用正弦函数的单调性求得函数g(x）的单调递减区间．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f(x)=Msin(ωx+φ）（M＞0,ω＞0，|φ|＜）的图象与x轴的两个相邻交点是A（0，0），B（6，0），∴sinφ=0,∴φ=0，且==6,∴ω=,∴f（x）=Msin（x）．∵C是函数f（x）图象的一个最高点,a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，满足（a+c)（sinC﹣sinA)=（a+b）sinB，∴（a+c）（c﹣a）=(a+b)b，整理可得=﹣，即cosC=﹣,∴C=．由题意可得CA=CB，∴∠A=,设AB的中点为D，则CD⊥AB，且点D（3，0），点C(3，M），根据tan∠A=tan===,∴M=，∴f(x)=sin（x）．(Ⅱ)将函数f（x）=sin（x）的图象向左平移1个单位后，纵坐标不变,可得y=sin（x+1）=sin（x+）的图象；再把横坐标伸长为原来的倍，得到函数g（x)=sin（•x+)=sin（x+）的图象．令2kπ+≤+≤2kπ+，求得4kπ+≤x≤4kπ+，故函数g(x）的单调递减区间为［4kπ+，4kπ+］，k∈Z．18．为了响应厦门市政府“低碳生活，绿色出行”的号召，思明区委文明办率先全市发起“少开一天车，呵护厦门蓝”绿色出行活动．“从今天开始，从我做起，力争每周至少一天不开车，上下班或公务活动带头选择步行、骑车或乘坐公交车,鼓励拼车…”铿锵有力的话语，传递了绿色出行、低碳生活的理念．某机构随机调查了本市部分成年市民某月骑车次数，统计如下:[0，10）[10，20)[20，30）[30，40)［40，50）［50,60］18岁至31岁812206014015032岁至44岁1228201406015045岁至59岁25508010022545060岁及以上2510101852联合国世界卫生组织于2013年确定新的年龄分段:44岁及以下为青年人，45岁至59岁为中年人，60岁及以上为老年人．用样本估计总体的思想，解决如下问题：（Ⅰ)估计本市一个18岁以上青年人每月骑车的平均次数；（Ⅱ）若月骑车次数不少于30次者称为“骑行爱好者”，根据这些数据,能否在犯错误的概率不超过0。001的前提下认为“骑行爱好者”与“青年人”有关？P（K2≥k)0。500。400.250.150.100.050.0250.0100.0050。001k0.4550。7081.3232.0722.7063。8415.0246.6357.87910。828K2=．【考点】独立性检验的应用．【分析】（Ⅰ）利用组中值，即可估计本市一个18岁以上青年人每月骑车的平均次数；(Ⅱ)根据条件中所给的数据，列出列联表，把求得的数据代入求观测值的公式求出观测值，把观测值同临界值进行比较得到结论．【解答】解:（Ⅰ)估计本市一个18岁以上青年人每月骑车的平均次数为（20×5+40×15+40×25+200×35+200×45+300×55）÷（20+40+40+200+200+300）=42.75；(Ⅱ)列联表：骑行爱好者非骑行爱好者总计青年人700100800非青年人8002001000总2==18＞7.879,∴能否在犯错误的概率不超过0。001的前提下认为“骑行爱好者"与“青年人”有关．19．如图,正方形ABCD的边长等于2,平面ABCD⊥平面ABEF，AF∥BE，BE=2AF=2,EF=．（Ⅰ）求证：AC∥平面DEF；（Ⅱ）求三棱锥C﹣DEF的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】(Ⅰ)连结BD，记AC∩BD=O，取DE的中点G，连结OG、FG,推导出四边形AOGF是平行四边形,从而AC∥FG，由此能证明AC∥平面DEF．（Ⅱ)在面ABEF中，过F作FH∥AB,交BE于点H，推导出FE⊥EB，从而FE⊥AF，三棱锥C﹣DEF的体积VC﹣DEF=VA﹣DEF=VD﹣AEF,由此能求出三棱锥C﹣DEF的体积．【解答】证明：（Ⅰ)连结BD，记AC∩BD=O，取DE的中点G，连结OG、FG，∵点O、G分别是BD和ED的中点，∴OGBE，又AF，∴OGAF,∴四边形AOGF是平行四边形,∴AO∥FG，即AC∥FG，又AC⊄面DEF，FG⊂平面DEF，∴AC∥平面DEF．解：（Ⅱ）在面ABEF中，过F作FH∥AB，交BE于点H，由已知条件知,在梯形ABEF中，AB=FH=2，EF=，EH=1，∴FH2=EF2+EH2，即FE⊥EB，从而FE⊥AF，∵AC∥平面DEF，∴点C到平面DEF的距离为AF=BH=2﹣1=1，∠AFE=90°，∴．∴三棱锥C﹣DEF的体积VC﹣DEF=VA﹣DEF=VD﹣AEF===．20．已知函数f（x）=(x2﹣ax+a+1)ex．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性;（Ⅱ）函数f（x)有两个极值点，x1，x2(x1＜x2），其中a＞0．若mx1﹣＞0恒成立，求实数m的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ)求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；(Ⅱ）问题等价于m＞=恒成立，即m＞﹣+2x2+1恒成立，令t=a﹣2（t＞2），则x2=,令g（t）=，根据函数的单调性求出g（t）的最小值，从而求出m的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=[x2+（2﹣a）x+1］ex，令x2+（2﹣a）x+1=0(*），(1）△=（2﹣a）2﹣4＞0，即a＜0或a＞4时，方程(*）有2根，x1=，x2=，函数f（x）在(﹣∞，x1），(x2，+∞）递增，在（x1，x2）递减;（2）△≤0时,即0≤a≤4时，f′(x)≥0在R上恒成立,函数f(x）在R递增，综上，a＜0或a＞4时,函数f（x）在(﹣∞，x1)，（x2,+∞）递增,在(x1，x2）递减；0≤a≤4时，函数f（x)在R递增;（Ⅱ）∵f′（x）=0有2根x1，x2且a＞0，∴a＞4且，∴x1＞0，mx1﹣＞0恒成立等价于m＞=恒成立，即m＞﹣+2x2+1恒成立,令t=a﹣2(t＞2），则x2=，令g（t)=，t＞2时，函数g(t）=递增，g（t)＞g（2)=1，∴x2＞1，∴﹣+2x2+1＜2，故m的范围是［2，+∞）．21．已知椭圆Γ：+y2=1（a＞1)与圆E：x2+(y﹣）2=4相交于A，B两点,且｜AB｜=2，圆E交y轴负半轴于点D．（Ⅰ）求椭圆Γ的离心率；(Ⅱ)过点D的直线交椭圆Γ于M，N两点，点N与点N’关于y轴对称，求证：直线MN’过定点，并求该定点坐标．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）由题意的A、B两点关于y轴对称，圆心E到AB的距离为1，求出B坐标代入椭圆方程得a即可．（Ⅱ）设M（x1,y1），N（x2,y2），N′（﹣x2，y2）．圆E交y轴负半轴于点D（0，﹣），当直线MN斜率存在时，设其方程为：y=kx﹣,直线MN′的方程，依据椭圆的对称性，若直线MN'过定点,定点一定在y轴上，令x=0,==．【解答】解：（Ⅰ）由题意的A、B两点关于y轴对称，∵，