误差理论与数据处理

实验课的三个环节课前预习实验操作数据处理

课前预习

一.通过预习明确

做什么？怎么做？为什么？

二.在预习的基础上书写预习报告

1.实验题目；2.实验目的；3.实验仪器；4.实验原理（必要的定理、定律、简单的公导式推、光路图或电路图、受力分析等原理示意图以及相关的文字说明）；5.实验内容（实验步骤简写）；6.数据表格（P78）。注意：教材中的注意事项可以不写进实验报告，但也必须进行预习。实验操作

实验课堂上，经教师讲解后严格按照仪器的操作规程完成所要求的实验内容，采集实验数据的过程中务必要保证数据的原始性，原始数据经教师审核签字后方可生效。注意：实验过程中不要单纯追求数据的准确性，更主要的是培养大家动手能力、发现问题并解决问题的能力；如果实验不成功，一定要分析实验失败的原因，总结经验。

数据处理

经教师审查签字后的实验数据，根据教材或教师的要求，采用计算或作图等数据处理方法对采集到的实验数据进行分析，得出实验结论。

误差理论与数据处理误差理论

基本概念随机误差的正态分布有效数字

一.基本概念

1.测量

(1）测量的定义

测量是指借助一定的实验器具，通过一定的实验方法直接或间接的把待测量与选作标准单位的同类物理量进行比较得出其倍数的过程；测量结果包括比值和单位。

例如：L=25.00cm

（2）测量的分类

①按照测量值获得的方法：直接测量、间接测量直接测量:使用测量仪器能直接测得结果的测量。间接测量:先直接测量一些相关的物理量，再通过这些量之间的数学关系运算才能得到结果。

②按照测量条件：等精度测量、非等精度测量等精度测量:在相同条件下进行的测量。非等精度测量:不同的人使用不同的仪器采用不同的方法进行测量，则各测量结果的可靠程度自然也不相同。

③按照测量过程可重复性：单此测量、多次测量

（3）测量的目的：得出真值真值：我们把被测物理量在一定客观条件下的真实大小，称为该物理量的真值。

2.误差

（1）误差的定义我们把真值记为；把每次对应的测量值记为，那么与之差就称为测得值的误差,即误差是客观存在的，并且存在于测量过程的始终。

（2）误差的分类

①系统误差定义：在同一条件下多次测量同一物理量时，误差大小和符号始终保持不变，或者按照某种确定的规律变化，这种误差称为系统误差。分类：定值系统误差，变值系统误差。

来源：仪器，理论，观测者，环境。发现：理论分析法，对比法，数据分析法。

②随机误差定义：在同一条件下多次测量同一物理量时，测得值总有差异，并在消除系统误差以后，差异依然存在，即误差的绝对值和符号是变化不定、不可预知的，这种误差称为随机误差。产生原因：不确定的随机因素，难以控制，不可抗拒；如电磁场的微扰，观测者的心理等。

特点：服从正态分布。处理方法：多次测量取平均值，用最佳估计值表示结果

③粗大误差由于观测者的粗心大意或操作不当造成的人为差错，粗大误差也称为过失误差。

（3）

误差的表示方法绝对误差：

相对误差：绝对误差与真值之比，常用符号E

来表示，并表示成百分数。

（4）

研究误差的目的在测量过程中尽量减小误差，并对残存误差给出适当的估计值，提高测量精度。

3.精度通常用精度来反映测得值的可靠程度从而评价测量结果。按照误差的性质，精度可分为以下几种：

（1）

正确度

例正确度反映的是测量结果中系统误差的影响程度，即测量结果与真值的接近程度。

（2）精密度

例精密度反映的是测量结果中随机误差的影响程度，即测量结果之间的密集程度。

（3）

准确度

例（对比）准确度反映的是测量结果中系统误差和随机误差综合的影响程度。对于具体的测量，正确度高的测量其精密度不一定高，精密度高的测量其正确度也不一定高；但准确度高，则表示测量的正确度和精密度都高。二.随机误差的正态分布

1.正态分布规律

假设对某一被测量进行多次重复测量,测量结果,,…,被测量的真值为，则根据误差的定义，各次测量的误差大量的实验事实和统计理论都证明，在绝大多数物理测量中，随机误差服从正态分布（或称高斯分布）规律。

2.随机误差的性质

⑴

单峰性绝对值小的误差出现的机会（概率）大，绝对值大的误差出现的机会（概率）小。

⑵

对称性大小相等、符号相反的误差出现的概率相等。

⑶

有界性非常大的正误差出现的概率趋于零。

⑷抵偿性当测量次数非常多时，由于正负误差抵消，各误差的代数趋于零。

随机误差的正态分布曲线

根据统计理论误差的概率服从正态分布：

式中，σ是一个取决于具体测量条件的常数称为标准误差（或称均方误差），反映的是一组测量数据的离散程度，常称它为测量列的标准误差；它的数学表达式为：可以证明：这就是说，如果测量次数n很大，在所测得的数据中，任一个数据的误差落在区间±σ之内的概率为68.3％；区间±σ称为置信区间，其对应的概率(P=68.3％)称为置信概率。

3.随机误差的数学特征

(1)算术平均值根据随机误差的正态分布规律，测得值偏大或偏小的机会是相等的，即绝对值相等的正负误差出现的概率是相等的,因此，各次测得值的算术平均值是真值的最佳估计值。

（2）标准偏差算术平均值最接近真值，其本身具有离散性，为了评定算术平均值的离散性，我们引入算术平均值的标准偏差参与对标准误差σ的估计。

我们常用如下的贝塞尔公式去估计测量列的标准偏差：

贝塞尔公式是用残差去求标准误差的估计值，称此估计值为测量列的标准偏差。则算术平均值的标准偏差为：

3.被测量量的结果表示

单位

4.异常值（粗大误差）的剔除

⑴

拉依达准则：适用于测量次数n较大的测量。

⑵肖维涅准则：（P16）

⑶格拉布斯准则。三.有效数字

1.有效数字的概念我们把测量结果中准确数字和存疑数字的全体统称为测量结果的有效数字。

2.运算后的有效数字

（1）一般运算按以下原则处理（P18）：

①准确数字与准确数字相运算，其结果为准确数字；

②准确数字与存疑数字或存疑数字与存疑数字相运算，其结果为存疑数字；

③存疑数字一般取一位。

（2）计算误差时有效数字的确定

实验结果位数取舍：实验结果的末位必须与误差所在的位对齐。标准偏差只取一位有效数字，相对误差取两位有效数字，取位时一律进位（只进不舍）。

（3）不计算误差时有效数字的确定

示例

①加减运算后结果的末位和参加运算的各数值中最先出现的可疑位（小数位最少）一致。

②

乘除运算后所得数值的有效数字的位数可估计为和参加运算的各数值中有效数字最少的数值的位数相同。

③

函数运算后的有效数字由误差来决定。

3.使用有效数字运算规则时应注意的问题

⑴

在运算中，常数、无理数、常系数等他们的位数可以认为是无限制的。计算中所取的位数应足够多，以免引入计算误差。

⑵对数运算时，首数不算有效数字。

⑶

首数是8或9的m位数值的有效数字可多取一位（算作m+1位）

⑷

有多个数值参加运算时，在运算中途各数值的位数应比按有效数字运算规则规定的位数多取一位，以防止由于多次取舍引入计算误差，但运算最后仍应舍去。

4.数值的修约规则:四舍六入五凑偶（P20）要舍去的第一位数是1、2、3、4时就直接舍去。是6、7、8、9时，在舍去的同时向上一位进1。要舍去的一位是5，而保留的最后一位为奇数时，则舍5进1；如果要保留的最后一位是偶数，则舍去5不进位，但5的下一位不是零时仍然要进位。例如，将下列数值保留三位有效数字

3.5425—3.54（小于五舍去）

3.5450—3.54（等于五凑偶）

3.5466—3.55（大于五进位)3.54501—3.55（大于五进位）

3.5350—3.54（等于五凑偶）

3.5449—3.54（小于五舍去）

数据处理

大学物理实验课中常用的数据处理方法有以下几种：

直接测量量的数据处理；间接测量量的数据处理；列表作图法；逐差法。一.直接测量的数据处理步骤

示例1

1.计算被测量测量列的算术平均值；

2.用贝塞尔公式计算测量列的标准偏差；

3.用肖维涅准则审查实验数据，如发现有异常数据应予舍弃，舍弃该数据后再重复第1、2、3步；

4.计算算术平均值的标准偏差,将其与仪器误差限（可估读仪器为半精度，不可估读仪器为精度）进行比较，取较大值作为此次测量的误差；5.如有已知的系统误差，则将平均值减去修正值作为最后的测量结果；

6.计算相对误差：

7.实验结果表示为：单位

二.间接测量的数据处理步骤

示例2

设待测量,可测得测量列1.对已测得的各直接测量列进行数据处理得出其结果表达式（步骤见直接测量数据处理）；

2.将第1步算得的各测量列的平均值代入函数式计算间接测量量的算术平均值，即；

3.将第1步结果中各量的标准偏差或相对误差代入误差传递公式（公式表）计算间接测量量的标准偏差或相对误差；

4.写出间接测量量的结果表达式

单位

三.列表与作图法处理实验数据

1.实验数据计算并列表

在用作图法处理实验数据时，有些实验要求利用实验中采集到的数据直接作图；而有些实验则要求将采集到的数据进行计算，利用计算后得到的数据作图。前者可直接利用实验数据根据作图步骤作图；后者则应先对实验数据进行计算，再将计算后得到的数据列成数据列表，把列表中的数据作为作图依据根据作图步骤作图。数据列表可以简洁而明确地表示出有关物理量之间的对应关系，有助于找出有关物理量之间规律性的联系，便于及时检查测量结果是否合理、及时发现问题和分析问题。

2.作图步骤（P21)

（1）选择合适的直角坐标纸；（2）确定坐标轴和分度

根据列表中的数据选取合适的坐标原点及坐标比例，画出坐标轴线，标出箭头方向并注明坐标轴所代表的物理量符号及其单位，注明坐标分度值；（3）描点根据列表中的数据，在图上标出全部实验点，实验点可用“＋”“×”或“☉”等符号标出；（4）连线根据大部分实验点的分布趋势作直线或光滑曲线，切忌逐点连线（只有校正曲线是逐点连成折线），个别偏离较远的点连线时可不考虑；（5）图注和说明作完图后，在图的上方明显位置标明图名、作者、作图日期和图注；（6）粘贴图纸将作好图粘贴在实验报告上，图的位置要左右居中，并且图纸方向和报告本方向一致。

3.用作图法求直线的斜率、截距示例3求方程为y=kx+b的直线的斜率、截距的步骤：（1）在直线上任选两个非实验点A、B，并将两个点的坐标A(x1,y1)和B(x