2021年考研（数学二）真题试卷 （含答案解析）

选择题---为题目类型

?

1.当x—O时，/(e-1)

(A)低阶无穷小

(B)等价无穷小

(C)高阶无穷小

(D)同阶但非等价无穷小

fex—1,打

2.函数f(x)=1工

11,X=0

(A)连续且取极大值

(B)连续且取极小值

(C)可导且导数为0

(D)可导且导数不为0

3.有一圆柱体底面半径与高随时间变化的速率分别为2cm/s,-3cm/s,当底面半径为

10cm,高为5cm时，圆柱体的体积与表面积随时间变化的速率分别为()

(A)125ncm3/s,40ncm2/s

(B)125ncm3/s,-40ncm2/s

(C)-lOOncm3/s,40ncm2/s

(D)-lOOncm3/s,-40ncm2/s

4.设函数f(x)=ax-bInx(a>0)有两个零点，则b/a的取值范围是()

(A)(e,+8)

(B)(0,e)

(C)(0.1/e)

(D)(1/e,+8)

5.设函数f(x)=secx在x=0处的2次泰勒多项式为1+ax+bx2,则()

(A)a=l,b=-1/2

(B)a=1,b=1/2

(C)a=0,b=-1/2

(D)a=0,b=1/2

6.设函数f(x,y)可微，且f(x+l,e*)=x(x+l)z,f(x,x2)=2x2lnx,则df(l,1)=()

(A)dx+dy

(B)dx-dy

(C)dy

(D)-dy

7.设函数f(x)在区间［0,1］上连续，贝IJJo!f(x)dx=()

(A)

(B)

(C)

(D)

8.二次型f(Xl,X2,X3)=(Xl+X2)，(X2+X3)2-(X3-Xl)2的正惯性指数与负惯性指数依次为()

(A)2.0

(B)1,1

(C)2,1

(D)1,2

9.设3阶矩阵A=(ai,a2,o(3),B=(Pi,仇，的)，若向量组ou,a2,o(3可以由向量组团，仇

线性表出，则()

(A)Ax=0的解均为Bx=O的解

(B)A'x=O的解均为BTx=O的解

(C)Bx=O的解均为Ax=0的解

(D)8、=0的解均为人'=0的解

「10—]-|

10.已知矩阵A=21,若下三角可逆矩阵P和上三角可逆矩阵Q,使PAQ

一25

为对角矩阵则PQ可以分别取)

(B)

(C)

(D)

填空题---为题目类型

11f|X|3r*dx

J-oo

2e‘+r+1,

12.设函数y=y(x)由参数方程确定,

4(1—1)e'+"嗑L

13.设函数z=z(x,y)由方程(x+l)z+yInz-arctan(2xy)=l确定，贝U交|

dJCI<0.2)

15.微分方程y“'-y=0的通解y=

.r,r12j-

1.r2-1

16.多项式f(x)=

21,r1

2-11J-

解答题---为题目类型

1-I-山r

17.求极限limJ?L

、e*—1sinx.

18.已知f(x)=?!仔」

1十N

19.f(x)满足.dz：=4-

J/z6

y=y(x)(x>0)是微分方程xy'-6y=-6满足v必.

20.求y(x).

21.P为曲线y=y(x)上的一点，曲线y=y(x)在点P的法线在y轴上的截距为IP,为使卜最小,

求P的坐标.

23.曲线(xQy2)2=x2-y2(xN0,yNO)与x轴围成的区域为D,求

D

-210

24.设矩阵人=120

_1ab.

选择题---为题目类型

1.当X—*0时，，

(A)低阶无穷小

(B)等价无穷小

(C)高阶无穷小

(D)同阶但非等价无穷小

【正确答案】C

[试题解析]

(C*—l)d/«z1、97.

lirn-----；.....—lim红一:g------与lim%=0.即|(e1—1)d/=o(x').

2^0xLO7X7r-oJCJo

x

fe-l>n

2.函数f(x)=«T

、1,x=0

(A)连续且取极大值

(B)连续且取极小值

(C)可导且导数为0

(D)可导且导数不为0

【正确答案】D

【试题解析】lini/(jr)=lim----=l=f(O),故f(x)在x=0处连续.又f'(0)=

J-M)X-0X

lim皿=lirn史工R

I〉Tl。XL

3.有一圆柱体底面半径与高随时间变化的速率分别为2cm/s.-3cm/s,当底面半径为

10cm,高为5cm时，圆柱体的体积与表面积随时间变化的速率分别为()

(A)125ncm3/s,40ncm'/s

(B)125Trcm3/s,-40ncm2/s

(C)-lOOncm3/s,40TTCITI2/s

(D)-lOOncm3/s,-407rcm2/s

【正确答案】C

【试题解析】设圆柱体底面半径是R,高为h,则R=2,h1=-3.体积V=nR2h、表面

积S=2nRh+2nR2,故V'=2TTRRh+R/h',S'=2nR'h+2TTRh,+4TrRR,,即V'kmh=5=-

IOOTT,S'k=K>,h=5=40n.

4.设函数f(x)=ax-bInx(a>0)有两个零点，则b/a的取值范围是()

(A)(e,+8)

(B)(0,e)

(C)(0,1/e)

(D)(1/e,+8)

【正确答案】A

【试题解析】f(x)=ax-bInx的定义域为x>0,则f'(x)=a-".令f(x)=O,Wx=—.欲

使函数f(x)在(0,—),(―,+8)有两个零点，必有即b-bln(-"-)<o.从而有

5.设函数f(x)=secx在x=0处的2次泰勒多项式为1+ax+bx2,则()

(A)a=l,b=-1/2

(B)a=l,b=l/2

(C)a=0,b=-1/2

(D)a=0,b=l/2

【正确答案】D

【试题解析】设，f(x)=secx,则f(x)在x=0处的二阶泰勒展式为f(x)=f(0)+f(0)x+f

6设.函数f(x,y)可微，且f(x+l,e')=x0<+l)2,f(x,x2)=2x2lnx,则df(l,1)=()

(A)dx+dy

(B)dx-dy

(C)dy

(D)-dy

【正确答案】C

【试题解析】函数f(x,y)可微，且f(x+l,e)=x(x+l)2,则fi+efz=(x+l)2+2x(x+l).令

22

x=0,则有l)+f'2(l,1)=1.①由f(x,x)=2xlnx,贝IJf'i+f'z2x=4xInx+2x.令

x=l,则有f'i(Ll)+2f,2(l,1)=2.②结合①式,②式可得：f2(l,1)=1,fiU，1)=0.故

df(l,1)=储(1,l)dx+f2(l,l)dy=dy.

7.设函数f(x)在区间［0,1］上连续，贝IJJo1f(x)dx=()

A.limy26—1_1

2n277

k-1

2〃

(A)

(B)

(C)

(D)

【正确答案】B

【试题解析】f(x)在［0,1］上连续，故/"(x)dx存在.将［0,1］平均n等分：［0,1］=

n

取各区间中点n=k/n-l/2n.故

°4]uLn〃」▼-u1—nTl

fl2k

J02n

222

8.二次型f(xi,x2,X3)=(X1+X2)+(X2+X3)-(X3-X1)的正惯性指数与负惯性指数依次为()

(A)2,0

(B)1.1

(C)2,1

(D)1.2

【正确答案】B

>1=勾+12J-110-

【试题解析】作变换FX=彳2+23；则北=011,记A=

-101.

J3=g一；2U

110-

011,则|A|=0,故变换不可逆.二次型展开得：f(Xi,x2,X3)=

L-1o1J

X)ir

22

X2+2X1X2+X2+2X2X3+2XIX3,故二次型矩阵为8=121,|入E-B|=

,110.

A—1-1

-1A-2-1

-1—1A

9.设3阶矩阵A=(0(1,0(2,0(3),B=(pi,p2,由)，若向量组0(*0(2,0(3可以由向量组由，p2

线性表出，则()

(A)Ax=0的解均为Bx=0的解

(B)A'x=0的解均为BTx=0的解

(C)Bx=0的解均为Ax=0的解

(D)B,x=0的解均为A『=0的解

【正确答案】D

T

【试题解析】由条件知(co,a2,C(3)=(BI,p21p3)P,即A=BP.故AT=PB[从而B『x=0

的解是A’x=0的解.

rio一口

10.已知矩阵A=2—11,若下三角可逆矩阵P和上三角可逆矩阵Q,使PAQ

12-5.

为对角电阵，则p、Q可以分别取()

10010「-100-100-

A.0109013B.210010

,00lj.001.321..00L

r1oo-P°r口00112-3'

C.2-10,0I3D.010,0-12

-321,00i.131.001.

(A)

(B)

(C)

(D)

【正确答案】C

100o-r

【试题解析】代入验证：A.PAQ=2-10为非对角矩阵；B.PAQ=01-3

-120.000.

10(T42—4

为非对角矩阵；C.PAQ二010为对角矩阵；D.PAQ=25-7

.000.£1321

填空题---为题目类型

2

11Ix\3rdr

J-oo

【正确答案】J

ln3

【试题解析

Ix[•34dz—J。3一'd(xz)=一焉・3r

2e'+r+1,

12.设函数y=y(x)由参数方程确定,

4(f—1)e'+/

【正确答案】2/3

【试题解析】由x=2e'+t+l可知,=2e'+l；由y=4(t-l)e'+t?可知，=4te'+2t,

dZ山

故

*=&/苴=2/(2-+1)=2cHv=_d/dj*\/dr=2

dr-dtldt~2e'+l_2匕&2-dJdJ/d/-2e'+l

.令t=o,贝ij2

13.设函数z=z(x,y)由方程(x+l)z+yInz-arctan(2xy)=l确定,则;7-|

dJCI(0.2)

【正确答案】1

【试题解析】将y=2代入，得(x+l)z+2Inz-arctan4x=1.对x求导得：

z+(x+l)受'H----•―~--2=0・将x=。代入，得z=l,故

,dz

.3/(0.21

p*r；

14已知函数f(t)=drsin—dy•则，

JiJ/7y

【正确答案】-^cos—

CK

【试题解析1

2

"ppc?工

zw

f(t)=drsin—~dysin—dr-—V•cos一

Ji“GyJ।J।y.V

・

='(>cos1-----ycosy)dy

Ji丁’

故/，(7)=I(cos—cos/),

15.微分方程y”'-y=0的通解y=.

-

【正确答案】y=Qe*+C2cos停n+C3e2sin

【试题解析】特征方程为入3-1=(入-1)(入，入+1)=0,则特征根入！=1,入2=

二J土画,入3—1~叵,故方程通解为y=

22

-

Qe+C2cos号工+C3e2sin

x12w

1.r2--1

16.多项式f(x)=

21,r1

2-11jr

【正确答案】-5

Ijr12x

1x2-1

【试题解析】f(x)=

21x1

2-11x

解答题---为题目类型

17.求极限[im1o_]

l。、e1—1sinx

【正确答案]

「1Isirir4-siar-d出—e*T1

limJo1—lim------------：-------------

z匕:二1一0」…e-Dsm

..fx2Cx2

sinr+siixr-ddf-e"+1,cosx+COSJT•elc

lim------------4------------=4lim------------"一

DI'r-0X

~5lim—+-\lim------!lim(-sinr-e')T

，JCZ0JCZ4^-*0

18.已知f(x)=

1+1

z30,

【正确答案】(l)f(x)=]

1

工V0且JCx-1.

当xNO时，f(x)=l-1>0；当-1<X<O时，f'(x)

(1+Z)2'

1~2

-1.f"(x)=<0；当x<-1时，f"(x)=

(1+工)2(14-x)3

>0.故当xC(O.+8)时，曲线y=f(x)是凹的，xG(-l,0)时，曲线y=f(x)是凸的；当x

口/一])时，曲线…仅)是凹的.(叱。当x=-l时，无定义，且如")=-8,

故x=-l为垂直渐近线•2。由加%f(x)=+8-0f(x)=+8,故设)无水平渐近线.3。

由

lim/(")=lim1,lim[/(x)—j-]=lim7匚

XTonX-*|<x>Li十N

1,故y为正向渐近线，由

-JCr

lim这=—1♦limE/(x)-x]=lim

1+Xn

19.f(x)满足J分^)du：=

【正确答案】

函数f(幻满足J修业=和2—1+C,则/(工)=yxi一工+,

进而有/G)=}(丘一月.

s=J：，1+尸⑴人=fJ1+扑+:2辰=j：J扑+A2M

/FT，

y=y(x)(x>0)是微分方程xy'-6y=-6满足v限

【正确答案】

20.求y(x).

【正确答案】原方程整理为y1=-y--,故通解为v

XX

(1—《・+C)eHd,=Cx6+l.由y(V3)=10,知C%故特解

为丫石1

21.P为曲线y=y(x)上的一点，曲线y=y(x)在点P的法线在y轴上的截距为IP,为使IP最小,

求P的坐标.

【正确答案】设P点坐标为(x,1+^-x6),则过P点的法线方程为：Y-(l+-i-x6)=--!-(X

332JC

-x).令X=0,得丫ulLx-Ly+l-xe+l.由丫'(