七年级数学上册知识点练习专题4.7 动角问题专项训练（40道）（举一反三）（华东师大版）（解析版）

第页专题4.7动角问题专项训练（40道）【华东师大版】考卷信息：本套训练卷共40题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，涵盖了动角的综合问题的所有类型！一．解答题（共40小题）1．（2022·吉林白山·七年级期末）如果两个角的差的绝对值等于90°，就称这两个角互为垂角，例如：∠1＝120°，|∠1﹣∠2|＝90°，则∠1和∠2互为垂角．(本题中所有角都是指大于0°且小于180°的角)(1)如图1所示，O为直线AB上一点，∠AOC＝90°，则∠AOD垂角为和；(2)如果一个角的垂角等于这个角的补角的23(3)如图2所示，O为直线AB上一点，∠AOC＝90°，∠BOD＝30°，且射线OC绕点O以9°/s的速度逆时针旋转，射线OD绕点O以6°/s的速度顺时针旋转，两条射线OC、OD同时运动，运动时间为ts(0＜t＜20)，试求当t为何值时，∠AOC和∠AOD互为垂角．【答案】(1)∠COD，∠AOE(2)18°或126°(3)2s或14s【分析】（1）根据互为垂角的定义即可求解；（2）利用题中的“一个角的垂角等于这个角的补角的23(3)根据所有角都是指大于0且小于180°的角，可分0＜t＜5，5＜t＜10，10＜t＜20三种情况讨论，并建立相应的方程求解后可得符合题意的t的值．(1)∵∠AOC＝90°，∠EOD＝90°，∴∠AOD﹣∠COD＝90°，∠AOD﹣∠AOE＝90°，∴AOD的垂角是∠COD和∠AOE；故答案为：∠COD，∠AOE；(2)设这个角的度数为x度，则①当0＜x＜90时，它的垂角是(90+x)度，根据题意得：90+x＝23(180﹣x解得：x＝18；②当90＜x＜180时，它的垂角是(x﹣90)度，根据题意得：x﹣90＝23(180﹣x解得：x＝126，∴这个角的度数为18°或126°；(3)分三种情况：①当0＜t＜5时，∠AOC＝(90﹣9t)°，∠AOD＝(150+6t)°，∴(150+6t)﹣(90﹣9t)＝90，解得t＝2；②当5＜t＜10时，∠AOC＝(90﹣9t)°，∠AOD＝(210﹣6t)°，∴(210﹣6t)﹣(90﹣9t)＝90，解得t＝﹣10(舍去)；③当10＜t＜20时，∠AOC＝(9t﹣90)°，∠AOD＝(210﹣6t)°，∴(210﹣6t)﹣(9t﹣90)＝90，解得：t＝14．综上所述：t的值为2s或14s时，∠AOC和∠AOD互为垂角．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用和新定义以及角的有关计算等知识，解此题的关键是理解题意，能准确从图中找出角之间的关系，并利用方程模型计算出结果．2．（2022·四川成都·七年级期末）如图1，点D、O、A共线且∠COD＝20°，∠BOC＝80°，射线OM，ON分别平分∠AOB和∠BOD．如图2，将射线OD以每秒6°的速度绕点O顺时针旋转一周，同时将∠BOC以每秒4°的速度绕点O顺时针旋转，当射线OC与射线OA重合时，∠BOC停止运动．设射线OD的运动时间为t．(1)运动开始前，如图1，∠AOM＝°，∠DON＝°；(2)旋转过程中，当t为何值时，射线OB平分∠AON？(3)旋转过程中，是否存在某一时刻使得∠MON＝35°？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)40°，50°(2)当t为10时，射线OB平分∠AON；(3)存在，符合条件的t的值为553【分析】（1）根据角平分线的定义直接计算即可；（2）根据∠AOB=∠NOB列方程求解即可；（3）分情况根据∠MON=35°列方程求解即可．(1)解：∵∠COD=20°，∠BOC=80°，∴∠BOD=20°+80°=100°，∠AOB=180°-∠BOD=180°-100°=80°，∵射线OM，ON分别平分∠AOB和∠BOD，∴∠AOM=12∠AOB=40°，∠DON=12∠故答案为：40，50；(2)解：∵射线OD以每秒6°的速度绕点O顺时针旋转，∠BOC以每秒4°的速度绕点O顺时针旋转，∴∠BOD=100°+4°t-6°t=100°-2°t，∵∠AOB=180°-80°-20°-4°t=80°-4°t，∴12×（100°-2°t）=80°-4°t解得：t=10，∴当t为10时，射线OB平分∠AON；(3)解：存在某一时刻使得∠MON=35°，分以下两种情况：①OM在OA上方，此时∠NOB+∠BOM=35°，即12×（100°-2°t）+12×（80°-4°解得t=553②OM在OA下方，即12×（100°-2°t）+12（4°解得t=25，综上，符合条件的t的值为553【点睛】本题主要考查一元一次方程的知识，熟练根据角的关系列方程求解是解题的关键．3．（2022·重庆·西南大学附中七年级期中）如图①，已知∠AOB，在∠AOB内部画射线OC，得到三个角，分别为∠AOC、∠BOC、∠AOB．若这三个角中有一个角是另外一个角的3倍，则称射线OC为∠AOB的“幸福线”．（本题中所研究的角都是大于0°而小于180°的角．）(1)角的三等分线________这个角的“幸福线”（填“是”或“不是”）；(2)如图①，∠AOB=45°，射线OC为∠AOB的“幸福线”，求∠AOC的度数；(3)如图②，已知∠AOB=60°，射线OM从OA出发，以每秒20°的速度绕O点逆时针旋转，同时，射线ON从OB出发，以每秒15°的速度绕O点逆时针旋转，设运动的时间为t秒（0<t<9）．若OM、ON、OA三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸福线”，求出所有可能的t值．【答案】(1)是；(2)15°，33.75°，11.25°，30°；(3)t=3613或t=4【分析】（1）若OC为∠AOB的三等分线，则有∠AOB=3∠AOC，符合“幸福线”的定义；（2）根据“幸福线”的定义可得当∠AOB=3∠AOC时，当∠AOC=3∠BOC时，当∠BOC=3∠AOC时，当∠AOB=3∠BOC时，然后根据角的和差关系进行求解即可；（3）由题意可分①当0<t<4时ON在与OA重合之前，则有∠MOA=20t，∠AON=60−15t，由OA是∠MON的“幸福线”可进行分类求解；②当4<t<9时，ON在与OA重合之后，则有∠AON=15t−60，∠MON=5t+60，由ON是∠AOM的“幸福线”可分类进行求解．（1）解：若OC为∠AOB的三等分线，则有∠AOB=3∠AOC，符合“幸福线”的定义，所以角的三等分线是这个角的“幸福线”；故答案为：是．（2）解：由题意得：∵∠AOB=45°，射线OC为∠AOB的“幸福线”，∴①当∠AOB=3∠AOC时，则有：∠AOC=15°；②当∠AOC=3∠BOC时，则有∠AOC=3③当∠BOC=3∠AOC时，则有∠AOC=1④当∠AOB=3∠BOC时，则有：∠BOC=15°；∠AOC=30°；综上所述：当射线OC为∠AOB的“幸福线”时，∠AOC的度数为15°，33.75°，11.25°，30°；（3）解：∵∠AOB=60°，∴射线ON与OA重合的时间为60°÷15°=4（秒），∴当0<t≤4时ON在与OA重合之前，如图所示：∴∠MOA=20t°，∠AON=（60−15t）°，OA是∠MON的“幸福线”，则有以下三类情况：①∠MOA=3∠MON，即20t=320t+60−15t，t=36②∠MOA=3∠AON，即20t=360−15t，t=③∠AON=3∠MOA，即60−15t=3×20t，t=4④∠AON=3∠MON，即60−15t=3×60+5t，t=−4当4<t<9时，ON在与OA重合之后，如图所示：∴∠MON=（5t+60）°，∠AON=（15t−60）°，ON是∠AOM的“幸福线”，则有以下三类情况：①∠MON=3∠MOA，即5t+60=3×20t，t=12②∠NOA=3∠MOA，即15t−60=3×20t，t=−4③∠MON=3∠NOA，即5t+60=315t−60，t=6④∠NOA=3∠MON，即15t−60=35t+60，t综上：t=3613或t=4【点睛】本题主要考查角的三等分点的计算及角的动点问题，熟练掌握角的三等分点的计算及角之间的和差关系是解题的关键．4．（2022·四川成都·七年级期末）【阅读理解】定义：在一条直线同侧的三条具有公共端点的射线之间若满足以下关系，其中一条射线分别与另外两条射线组成的角恰好满足2倍的数量关系，则称该射线是另外两条射线的“双倍和谐线”．如图1，点P在直线l上，射线PR，PS，PT位于直线l同侧，若PS平分∠RPT，则有∠RPT＝2∠RPS，所以我们称射线PR是射线PS，PT的“双倍和谐线”．【迁移运用】(1)如图1，射线PS（选填“是”或“不是”）射线PR，PT的“双倍和谐线”；射线PT（选填“是”或“不是”）射线PS，PR的“双倍和谐线”；(2)如图2，点O在直线MN上，OA⊥MN，∠AOB＝40°，射线OC从ON出发，绕点O以每秒4°的速度逆时针旋转，运动时间为t秒，当射线OC与射线OA重合时，运动停止．①当射线OA是射线OB，OC的“双倍和谐线”时，求t的值；②若在射线OC旋转的同时，∠AOB绕点O以每秒2°的速度逆时针旋转，且在旋转过程中，射线OD平分∠AOB．当射线OC位于射线OD左侧且射线OC是射线OM，OD的“双倍和谐线”时，求∠CON的度数．【答案】(1)不是；是(2)①52或35【分析】（1）利用“双倍和谐线”的意义结合图形进行判断即可；（2）①由题意得：∠AOC=90°-4°t，∠AOB=40°，利用分类讨论的思想方法分∠AOC=2∠AOB或∠AOB=2∠AOC两种情况讨论解答，依据上述等式列出方程，解方程即可求得结论；②由题意得：∠CON=4°t，∠AON=90°+2°t，∠AOD=20°，∠DON=∠AON-∠AOD=70°+2°t，利用分类讨论的思想方法分∠COM=2∠COD或∠COD=2∠COM两种情况讨论解答，依据上述等式列出方程，解方程即可求得结论．（1）解：∵PS平分∠RPT，∴∠RPS=∠TPS，∴射线PS不是射线PR，PT的“双倍和谐线”；∵PS平分∠RPT，∴∠TPR=2∠TPS．∴射线PT是射线PS，PR的“双倍和谐线”．故答案为：不是；是；（2）①由题意得：∠AOC=90°-4°t，∠AOB=40°．∵射线OA是射线OB，OC的“双倍和谐线”，∴∠AOC=2∠AOB或∠AOB=2∠AOC．当∠AOC=2∠AOB时，如图，则：90-4t=2×40．解得：t=52，当∠AOB=2∠AOC时，如图，则：40=2（90-4t）．解得：t=352，综上，当射线OA是射线OB，OC的“双倍和谐线”时，t的值为52或352；②由题意得：∠CON=4°t，∠AON=90°+2°t，∠AOD=20°，∠DON=∠AON-∠AOD=70°+2°t．∵当射线OC与射线OA重合时，运动停止，∴此时∠AON=∠CON．∴90+2t=4t．∴t=45．∴当t=45秒时，运动停止，此时∠AON=180°．∵射线OC位于射线OD左侧且射线OC是射线OM，OD的“双倍和谐线”，∴∠COM=2∠COD或∠COD=2∠COM．当∠COM=2∠COD时，如图，即：180°-∠CON=2（∠CON-∠DON），则：180-4t=2（4t-70-2t）．解得：t=40．∴∠CON=4°×40=160°．当∠COD=2∠COM时，如图，即：∠CON-∠DON=2（180°-∠CON）．则：4t-（70+2t）=2（180-4t）．解得：t=43．∴∠CON=4°×43=172°．综上，当射线OC位于射线OD左侧且射线OC是射线OM，OD的“双倍和谐线”时，∠CON的度数为160°或172°．【点睛】本题主要考查了角的计算，角平分线的定义，本题是新定义型，理解并熟练应用新定义是解题的关键．5．（2022·浙江金华·七年级期末）阅读理解：在钟面上，把一周分成12个大格，每个大格分成5个小格，所以每个大格对应的是30°角，每个小格对应的是6°角，时针每分钟转过的角度是0.5度，分针每分针转过的角度是6度．(1)解决问题：当时钟的时刻是8：30时，求此时分针与时针所夹的锐角的度数．(2)8：00开始几分钟后分针第一次追上时针．(3)设在8：00时，分针的位置为OA，时针的位置为OB，运动后的分针为OP，时针为OQ．问：在8：00~9：00之间，从8：00开始运动几分钟，OB，OP，OQ这三条射线，其中一条射线是另外两条射线所夹的角的平分线？【答案】(1)75°(2)48011(3)48013分钟或960【分析】（1）根据8：30时，时针与分针的夹角是2.5个大格，可得所夹的锐角的度数；（2）计算出8：00时时针与分针所夹钝角的度数，设x分钟后分针第一次追上时针，利用追击问题列方程，即可求解；（3）分OB平分∠QOP，OP平分∠QOB，OQ平分∠POB三种情况，利用角的和、差、倍数关系列方程，即可求解．（1）解：8：30时，时针与分针的夹角是2.5个大格，2.5×30°=75°，即分针与时针所夹的锐角的度数是75°．（2）解：设x分钟后分针第一次追上时针．8：00时，时针与分针所夹钝角是8个大格，8×30°=240°，由题意，6x−0.5x=240，解得x=48011，即8：00开始（3）解：设运动m分钟后，OB，OP，OQ这三条射线，其中一条射线是另外两条射线所夹的角的平分线．分三种情况：如图①，当OB平分∠QOP时，∠QOB=∠POB，∴0.5m=240−6m，解得m=48013；如图②，当OP平分∠QOB时，∠QOB=2∠POB，∴0.5m=26m−240，解得m=96023；如图③，当OQ平分∠POB时，∠POB=2∠QOB，∴6m−240=2×0.5m，解得m=48；综上，运动48013分钟或96023分钟或48分钟后，【点睛】本题考查一元一次方程的应用，以及角平分线的定义，能够计算出任一时刻时针与分针之间的角度是解题的关键．6．（2022·贵州铜仁·七年级期末）沿河县某初中七年级的数学老师在课外活动中组织学生进行实践探究，用一副三角尺（分别含45°，45°，90°和30°，60°，90°的角）按如图所示摆放在量角器上，边PD与量角器180°刻度线重合，边AP与量角器0°刻度线重合，将三角尺ABP绕量角器中心点P以每秒10°的速度顺时针旋转，当边PB与180°刻度线重合时停止运动，设三角尺ABP的运动时间为t秒．(1)当t=5时，∠BPD=__________°；(2)若在三角尺ABP开始旋转的同时，三角尺PCD也绕点P以每秒2°的速度逆时针旋转，当三角尺ABP停止旋转时，三角尺PCD也停止旋转．①当t为何值时，边PB平分∠CPD；②在旋转过程中，是否存在某一时刻使∠BPD=2∠APC，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)85(2)①当t=354时，边PB平分∠CPD；②当t=12512或t=354时，∠BPD【分析】（1）当t=5秒时，计算出边BP旋转的角度的大小即可得出结论；（2）①如图1，根据PB平分∠CPD，利用角平分线的定义可得∠CPB=∠BPD=12∠CPD=30°，利用含t的代数式分别表示出∠MPB和∠BPD的度数，列出关于t②设时间为t秒，则∠APM=10°t，∠DPN=2°t，分两种情况说明：Ⅰ）当PA在PC左侧时，如图2所示：Ⅱ）当PA在PC右侧时，如图3，根据旋转过程得出的角度的大小列出方程即可求得结论．（1）解：当t=5秒时，由旋转知，边BP旋转的角度为：10°×5=50°，∴∠BPD=180°-（45°+50°）=85°，故答案为：85；（2）解：①如图1所示：由题意得：∠MPB=10°t+45°，∠DPN=2°t．∵PB平分∠CPD；∴∠CPB=∠BPD=12∠CPD由∠MPN=∠MPB+∠BPD+∠DPN=180°得：10°t+45°+30°+2°t=180°，解得，t=354∴当t=354时，边PB平分∠CPD②在旋转过程中，存在某一时刻使∠BPD=2∠APC．∵运动时间为t秒，则∠APM=10°t，∠DPN=2°t，Ⅰ）当PA在PC左侧时，如图2所示：此时，∠APC=180°-10°t-60°-2°t=120°-12°t，∠BPD=180°-45°-10°t-2°t=135°-12°t，∵∠BPD=2∠APC，∴135°-12°t=2（120°-12°t），解得：t=354因为当t=354此时∠BPD=30°，∠APC=15°，∠BPD=2∠APC．是成立的；Ⅱ）当PA在PC右侧时，如图3所示：此时，∠APC=10°t+2°t+60°-180°=12°t-120°，∠BPD=180°-45°-10°t-2°t=135°-12°t，∵∠BPD=2∠APC，∴135°-12°t=2（12°t-120°），解得：t=12512当PB在PD的右侧时，∠APC=12°t-120°，∠BPD=12°t-135°，则12°t-135°=2（12°t-120°），解得：t=354此时PB在PD的左侧，所以和假设情况矛盾，不符合题意，舍去．综上所述，当t=12512或t=354时，∠BPD=2∠【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的变化，量角器的识别，角平分线的定义，角的计算，一元一次方程的应用，设运动的时间为t，用含t的代数式表示出∠APC与∠BPD的值是解本题的关键．7．（2022·浙江宁波·七年级期末）如图1,已知∠AOB=120°，射线OP从OA位置出发，以每秒2°的速度按顺时针方向向射线OB旋转；与此同时，射线OQ以每秒4°的速度，从OB位置出发按逆时针方向向射线OA旋转，到达射线OA后又以同样的速度按顺时针方向返回，当射线OP与射线OB重合时，两条射线同时停止运动，设旋转时间为t（s）．(1)当t=5时，求∠POQ的度数；(2)当OP与OQ重合时，求t的值；(3)如图2，在旋转过程中，若射线OC始终平分∠AOQ，问：是否存在t的值，使得∠POQ=∠COQ?

若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)∠POQ的度数为90°(2)t的值为20或60(3)存在，t的值为15或22.5或45【分析】（1）根据题意可得：当t=5时，∠AOP=10°，∠BOQ=20°，即可求解；（2）分两种情况：当射线OQ没有到达射线OA，OP与OQ重合时，当射线OQ到达射线OA后返回，OP与OQ重合时，即可求解；（3）分三种情况：当0<t≤20时，当20<t≤30时，当30<t≤60时，即可求解．(1)解：当t=5时，∠AOP=2°×5=10°，∠BOQ=4°×5=20°，∵∠AOB=120°，∴∠POQ=∠AOB−∠AOP−∠BOQ=90°；(2)解：当射线OQ没有到达射线OA，OP与OQ重合时，∠AOP+∠BOQ=∠AOB=120°，根据题意得：∠AOP=2°×t，∠BOQ=4°×t，∴2°×t+4°×t=120°，解得：t=20；当射线OQ到达射线OA后返回，OP与OQ重合时，∠AOQ=∠AOP，根据题意得：∠AOQ=4°×t−120°，∠AOP=2°×t，∴2°×t=4°×t−120°，解得：t=60；综上所述，当OP与OQ重合时，t的值为20或60；(3)解：存在，t的值为15或22.5或45，使得∠POQ=∠COQ，理由如下：由（2）得：当t=20时，OP与OQ第一次重合，当t=120°4°=30时，OQ到达射线OA，当t=120°2°当0<t≤20时，∠AOP=2°×t，∠BOQ=4°×t，∴∠POQ=120°−2°×t−4°×t=120°−6°×t，∠AOQ=120°−4°×t，∵射线OC平分∠AOQ，∴∠COQ=1∵∠POQ=∠COQ，∴120°−6°×t=60°−2°×t，解得：t=15；如图，当20<t≤30时，∠AOP=2°×t，∠BOQ=4°×t，∴∠BOP=120°−2°×t,∠AOQ=120°−4°×t，∴∠POQ=6°×t−120°，∠COQ=1∵∠POQ=∠COQ，∴6°×t−120°=60°−2°×t，解得：t=22.5；如图，当30<t≤60时，∠AOP=2°×t，∠AOQ=4°×t−120°，∴∠BOP=120°−2°×t，∠COQ=1∴∠POQ=120°−4°×t−120°∴120°−2°×t=2°×t−60°，解得：t=45；综上所述，当t的值为15或22.5或45时，使得∠POQ=∠COQ．【点睛】本题主要考查了有关角平线的计算，角的和与差，利用方程思想解答和分类讨论思想解答是解题的关键．8．（2022·福建·厦门市逸夫中学七年级期末）如图，两条直线AB，CD相交于点O，且∠AOC=90°，射线OM从OB开始绕O点逆时针方向旋转，速度为15°/s，射线ON同时从OD开始绕O点顺时针方向旋转，速度为12°/s．两条射线OM，ON同时运动，运动时间为t秒．（本题出现的角均小于平角）(1)当t=2时，∠MON=_______，∠AON=_______；(2)当0＜t＜12时，若∠AOM=3∠AON=60°．试求出t的值；(3)当0＜t＜6时，探究∠BON−∠COM+∠AOC∠MON的值，问：t【答案】(1)144°，66°(2)107(3)当0＜t＜103时，∠BON−∠COM+∠AOC∠MON的值是1；当103【分析】（1）根据时间和速度分别计算∠BOM和∠DON的度数，再根据角的和与差可得结论；（2）分两种情况：①如图所示，当0＜t≤7.5时，②如图所示，当7.5＜t＜12时，分别根据已知条件列等式可得t的值；（3）分两种情况，分别计算∠BON、∠COM和∠MON的度数，代入可得结论．(1)由题意得：当t=2时，∠MON=∠BOM+∠BOD+∠DON=2×15°+90°+2×12°=144°，∠AON=∠AOD-∠DON=90°-24°=66°，故答案为：144°，66°；(2)当ON与OA重合时，t=90÷12=7.5（s）当OM与OA重合时，t=180°÷15=12（s）如图所示，①当0＜t≤7.5时，∠AON=90°-12t°，∠AOM=180°-15t°由∠AOM=3∠AON-60°，可得180-15t=3（90-12t）-60，解得t=107②当7.5＜t＜12时，∠AON=12t°-90°，∠AOM=180°-15t°，由∠AOM=3∠AON-60°，可得180-15t=3（12t-90）-60，解得t=10，综上，t的值为107(3)当∠MON=180°时，∠BOM+∠BOD+∠DON=180°，∴15t+90+12t=180，解得t=103如图所示，①当0＜t＜103时，∠COM=90°-15t°，∠BON=90°+12t∠MON=∠BOM+∠BOD+∠DON=15t°+90°+12t°，∴∠BON−∠COM+∠AOC∠MON②当103＜t＜6时，∠COM=90°-15t°，∠BON=90°+12t∠MON=360°-（∠BOM+∠BOD+∠DON）=360°-（15t°+90°+12t°）=270°-27t°，∠BON−∠COM+∠AOC==90∴（不是定值）．综上所述，当0＜t＜103时，∠BON−∠COM+∠AOC∠MON的值是1；当103＜t【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，角的和差关系的计算，解决问题的关键是将相关的角用含t的代数式表示出来，并根据题意列出方程进行求解，以及进行分类讨论，解题时注意方程思想和分类思想的灵活运用．9．（2022·福建·泉州七中七年级期末）如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠AOC＝30°，将一直角三角尺（∠M＝30°）的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM与OC都在直线AB的上方．（1）若将图1中的三角尺绕点O以每秒5°的速度，沿顺时针方向旋转t秒，当OM恰好平分∠BOC时，如图2．①求t值；②试说明此时ON平分∠AOC；（2）将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转，设∠AON＝α，∠COM＝β，当ON在∠AOC内部时，试求α与β的数量关系；（3）如图3若∠AOC＝60°，将三角尺从图1的位置开始绕点O以每秒5°的速度沿顺时针方向旋转．当ON与OC重合时，射线OC开始绕点O以每秒20°的速度沿顺时针方向旋转，三角尺按原来的速度和方向继续旋转，当三角板运动到OM边与OA第一次重合时停止运动．当射线OC运动到与OA第一次重合时停止运动．设三角形运动的时间为t．那么在旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得ON，OM两条边所在的射线及射线OC，三条射线中的某一条射线是另两条射线的角平分线？若存在，直接写出所有满足条件的t的值，若不存在，请说明理由．【答案】（1）①t=3；②见解析；（2）β=α+60°；（3）t=15或t=24或t=54【分析】（1）①求出∠BOC，利用角平分线的定义求出∠BOM，进而求出∠AON，然后列方程求解；②求出∠CON=15°即可求解；（2）用含t的代数式表示出α和β，消去t即可得出结论；（3）分三种情况列方程求解即可．【详解】解：（1）①∵∠AOC＝30°，∴∠COM=60°，∠BOC=150°，∵OM恰好平分∠BOC，∴∠BOM=12∠BOC∴∠AON=180°-90°-75°=15°，∴5t=15，∴t=3；②∵∠AOC=30°，∠AON=15°，∴∠CON=15°，∴此时ON平分∠AOC；（2）由旋转的性质得，∠AON＝α=5t①，∠COM＝β=60°+5t②，把①代入②，得β=α+60°；（3）当ON与OC重合时，60÷5=12秒，当OC与OA重合时，(360-60)÷20+12=27秒，当OC平分∠MON，且OC未与OA重合时，则∠CON=45°，由题意得，60+20(t-12)-5t=45，解得t=15；当OM平分∠CON，且OC未转到OA时，则∠CON=180°，由题意得，60+20(t-12)-5t=180，解得t=24；当OM平分∠CON，且OC转到OA时，则∠AOM=90°，由题意得，∴360-90=5t，∴t=54，综上可知，当t=15或t=24或t=54时，ON，OM两条边所在的射线及射线OC，三条射线中的某一条射线是另两条射线的角平分线．【点睛】本题考查了角的和差，角平分线的定义，以及一元一次方程的定义，正确识图是解答本题的关键．10．（2022·江苏盐城·七年级期末）【阅读理解】射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠COA＝12∠BOC，则称射线OC是射线OA在∠AOB内的一条“友好线”．如图1，∠AOB＝60°，∠AOC＝20°，则∠AOC＝12∠BOC，所以射线OC是射线OA在∠【解决问题】（1）在图1中，若作∠BOC的平分线OD，则射线OD射线OB在∠AOB内的一条“友好线”；（填“是”或“不是”）（2）如图2，∠AOB的度数为n，射线OM是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”，ON平分∠AOB，则∠MON的度数为；（用含n的代数式表示）（3）如图3，射线OB从与射线OA重合的位置出发，绕点O以每秒3°的速度逆时针旋转；同时，射线OC从与射线OA的反向延长线重合的位置出发，绕点O以每秒5°的速度顺时针旋转，当射线OC与射线OA重合时，运动停止．问：当运动时间为多少秒时，射线OA、OB、OC中恰好有一条射线是余下两条射线中某条射线在余下两条射线所组成的角内的一条“友好线”？【答案】（1）是；（2）16n；（3）907或36019【分析】（1）根据“友好线”定义即可作出判断；（2）根据“友好线”定义即可求解；（3）利用分类讨论思想，分四种情况进行计算即可．【详解】解：（1）∵OB是∠BOC的平分线，∴∠BOD＝∠COD，∵∠COA＝12∠BOC∴∠BOD＝12∠AOD∴射线OD是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”．（2）∵射线OM是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”，∠AOB的度数为n，∴∠BOM＝13∠AOB＝13∵ON平分∠AOB，∴∠BON＝12∠AOB＝12∴∠MON＝∠BON﹣∠BOM＝12n﹣13n＝1（3）设运动时间为x（x≤36）秒时，射线OA、OB、OC中恰好有一条射线是其余两条射线中某条射线的“友好线”．当射线OB是射线OA在∠AOC内的一条“友好线”时，则∠AOB＝12∠COB所以3x＝12（180﹣5x﹣3x解得x＝907即运动时间为907秒时，射线OB是射线OA当射线OB是射线OC在∠AOC内的一条“友好线”时，则∠COB＝12∠AOB所以180﹣5x﹣3x＝12×3x解得x＝36019即运动时间为36019秒时，射线OB是射线OC当射线OC是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”时，则∠COB＝12∠AOC所以3x+5x﹣180＝12（180﹣5x解得x＝1807即运动时间为1807秒时，射线OC是射线OB当射线OC是射线OA在∠AOB内的一条“友好线”时，则∠AOC＝12∠COB所以180﹣5x＝12（5x+3x解得x＝30（符合题意），即运动时间为30秒时，射线OC是射线OA的“友好线”．综上所述，当运动时间为907或36019或【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，角的运算，理解新定义，并用数形结合思想解答是解题的关键．11．（2022·湖北武汉·七年级期末）定义：过角的顶点在角的内部作一条射线，得到三个角，若这三个角中有一个角是另外一个角的两倍，则称这条射线为这个角的“二倍角线”．（1）如图1，∠AOB＝120°，射线OC为∠AOB的“二倍角线”，则∠AOC＝．（2）如图2，射线OB为∠COD的“二倍角线”，且∠DOB＝2∠BOC．射线OM、ON分别为∠AOC、∠BOD的平分线，问∠AOD+∠BOC∠MON（3）如图3．已知∠AOB＝120°，射线OC、OD为∠AOB的“二倍角线”，且∠COB＝2∠AOC．∠AOD＝2∠BOD，将∠COD绕点O以10°/秒的速度顺时针转动，运动时间为t秒（0≤t≤14），射线OM、ON分别为∠AOC、∠BOD的平分线．OB、OM、ON三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边组成的角的“二倍角线”，直接写出t所有可能的值．【答案】（1）60°或80°或40°．；（2）∠AOD+∠BOC∠MON的值是定值，定值为2；（3）12秒或28【分析】（1）根据“二倍角线”的概念分三种情况讨论，分别求解即可；（2）根据角平分线的定义得到∠AOM=∠COM,∠BON=∠DON，然后由∠DOB＝2∠BOC进一步得到∠BOC=∠BON=∠DON，设∠AOM=x,∠BOC=y，根据题意分别表示出∠AOD+∠BOC和∠MON，即可求出（3）首先根据∠COB＝2∠AOC．∠AOD＝2∠BOD，得出∠COD=1【详解】解：（1）当∠AOB=2∠AOC时，∠AOC=1当∠AOC=2∠BOC时，∵∠AOC+∠BOC=∠AOB=120°，∵∠AOC+12∠AOC=120°当∠BOC=2∠AOC时，∵∠AOC+∠BOC=∠AOB=120°，∵∠AOC+2∠AOC=120°，解得：∠AOC=40°；故答案为：60°或80°或40°．（2）∵射线OM、ON分别为∠AOC、∠BOD的平分线，∴∠AOM=∠COM,∠BON=∠DON，又∵∠DOB＝2∠BOC，∠BOD=∠BON+∠DON，∴∠BOC=∠BON=∠DON，∴设∠AOM=∴∠AOD+∠BOC∴∠AOD+∠BOC∠MON（3）∵∠COB＝2∠AOC．∠AOD＝2∠BOD，又∵∠AOC+∠BOC=∠AOB=120°，∠AOD+∠BOD=∠AOB=120°，∴∠AOC=1∴∠AOC=∠BOD=∠COD=1∵射线OM、ON分别为∠AOC、∠BOD的平分线，∴∠AOM=12∠AOC=20°∴∠BOM=∠AOB−∠AOM=100°，将∠COD绕点O以10°/秒的速度顺时针转动，运动时间为t秒（0≤t≤14），∴当0≤t≤4时，∠COD在∠AOB内部，∵∠MON=∠AOB−∠AOM+∠BON∠BON=1∠MOB=∠MON+∠BON=80°+20°−5t=100°−5t，∴当∠MOB=2∠BON时，100°−5t=2×20°−5t，解得：t=−12当∠MON=2∠BON时，80°=2×20°−5t，解得：t=−4当∠BON=2∠MON时，20°−5t=2×80°，解得：t=−28，舍去当4<t<8时，此时OB∴∠AOC=40°+10t，∠BOD=10t−40°，∴∠AOM=∠COM=12∠AOC=20°+5t∴∠MOD=∠MOC+∠COD=20°+5t+40°=60°+5t，∴∠MOB=∠MOD−∠BOD=60°+5t−10t−40°∴∠MON=∠MOB+∠BON=100°−5t+5t−20°=80°，∴当∠MON=2∠BON时，即80°=2×5t−20°，解得：t=12当∠MOB=2∠BON时，即100°−5t=2×5t−20°，解得：t=当∠BON=2∠MOB时，即5t−20°=2×100°−5t，解得：t=当8≤t≤12时，此时ON在∠COD内部，∴∠AOC=40°+10t，∠AOM=∠COM=1∴∠MOB=∠AOB−∠AOM=120°−20°+5t∴∠BOC=∠AOC−∠AOB=40°+10t−120°=10t−80°，∴∠BOD=∠BOC+∠COD=10t−80°+40°=10t−40°，∴∠BON=1∴∠MON=∠MOB+∠BON=100°−5t+5t−20°=80°，∴当∠MON=2∠BON时，即80°=2×5t−20°，解得：t=12当∠BON=2∠MOB时，即5t−20°=2×100°−5t，解得：t=当∠MOB=2∠BON时，即100°−5t=2×5t−20°，解得：t=当12<t≤14时，此时ON在∴∠AOC=40°+10t，∠AOM=∠COM=1∴∠MOB=∠AOB−∠AOM=120°−20°+5t∴∠AOD=∠AOC+∠COD=40°+10t+40°=80°+10t，∴∠BOD=∠AOD−∠AOB=80°+10t−120°=10t−40°，∴∠BON=1∴∠MON=∠MOB+∠BON=100°−5t+5t−20°=80°，∴当∠MON=2∠BON时，即80°=2×5t−20°，解得：t=12当∠BON=2∠MOB时，即5t−20°=2×100°−5t，解得：t=当∠MOB=2∠BON时，即100°−5t=2×5t−20°，解得：t=综上所述，t的值为12秒或283【点睛】此题考查了新定义角度问题，角平分线有关计算，解题的关键是正确分析题目中角度之间的等量关系，分情况讨论列出方程求解．12．（2022·天津南开·七年级期末）已知：如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC：∠BOC＝1：5．将一等腰直角三角板的直角顶点放在点O处，一直角边ON在射线OB上，另一直角边OM在直线AB的下方．（1）将图1中的等腰直角三角板绕点O以每秒3°的速度逆时针方向旋转一周，直角边ON旋转后的对应边为ON'，直角边OM旋转后的对应边为OM'．在此过程中，经过t秒后，OM'恰好平分∠BOC，求t的值；（2）如图2，在（1）问的条件下，若等腰直角三角板在转动的同时，射线OC也绕点O以每秒4°的速度顺时针方向旋转，射线OC旋转后的对应射线为OC'．当射线OC'落在射线OC的反向延长线上时，射线OC和等腰直角三角板同时停止运动．在此过程中，是否存在某一时刻t，使得OC'//M'N'．若存在，请求出t的值，若不存在，诮说明理由；（3）如图3，在（1）问的条件下，若等腰直角三角板在转动的同时，射线OC也绕点O以每秒5°的速度顺针方向旋转，射线OC旋转后的对应射线为OC'．当等腰直角三角板停止运动时，射线OC也停止运动．在整个运动过程中．经过l秒后，∠M'ON'的某一边恰好平分∠AOC'，请直接写出所有满足条件的t的值．【答案】（1）55；（2）15或2857；（3）t=30或69011或870【分析】（1）当OM'恰好平分∠BOC时，OM'需要旋转90°＋12∠BOC（2）第一种情况：当OC'∥M'N'时，∠C’OM’＝∠OM’N’＝45°，进而求解；第二种情况：当OC'∥M'N'时，∠C’OM’＝∠OM’N’＝45°，进而求解；（3）分四种情况：①当ON’平分∠AOC’，且ON’在直线AB上方时，②当ON’平分∠AOC’，且ON’在直线AB下方时，③当OM’平分∠AOC’，且OM’在直线AB上方时，④当OM’平分∠AOC’，且OM’在直线AB下时，分别画出图形，即可求解．【详解】解：（1）设∠AOC＝x，则∠BOC＝5x，x＋5x＝180°，∴∠AOC＝30°，则∠BOC＝150°．当OM'恰好平分∠BOC时，OM'需要旋转90°＋12∠BOC165°÷3＝55，所以，t＝55；（2）第一种情况：当OC'∥M'N'时，∠C’ON’＝∠ON’M’＝45°，此时t＝（150°−45°）÷（3°＋4°）＝15，第二种情况：当OC'∥M'N'时，∠C’OM’＝∠OM’N’＝45°，此时t＝（240°＋45°）÷（3°＋4°）＝2857（3）分四种情况：①当ON’平分∠AOC’，且ON’在直线AB上方时，则2∠AON’＝∠AOC’，即2(180°−3t)＝（30°＋5t），解得：t＝30，②当ON’平分∠AOC’，且ON’在直线AB下方时，则2∠AON’＝∠AOC’，即2(3t-180°)＝（360°-30°-5t），解得：t＝69011③当OM’平分∠AOC’，且OM’在直线AB上方时，则2∠AOM’＝∠AOC’，即2(270°-3t)＝（5t+30°-360°），解得：t＝87011④当OM’平分∠AOC’，且OM’在直线AB下时，则2∠AOM’＝∠AOC’，即2(3t-270°)＝（720°-30°-5t），解得：t＝1230综上所述：∠M'ON'的某一边恰好平分∠AOC'，t=30或69011或87011或【点睛】本题是角的计算以及一元一次方程的应用，主要考查了图形旋转时角的变化等，分类画出图形求解，是解题的关键．13．（2022·山西晋中·七年级期末）综合与探究：射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠COA=12∠BOC，则我们称射线OC是射线OA的伴随线．例如，如图1，∠AOB=60°，∠AOC=∠COD=∠BOD=20°，则∠AOC=12∠BOC，称射线OC是射线OA的伴随线；同时，由于完成下列任务：（1）如图2，∠AOB=150°，射线OM是射线OA的伴随线，则∠AOM=°，若∠AOB的度数是x，射线ON是射线OB的伴随线，射线OC是∠AOB的平分线，则∠NOC的度数是．（用含x的代数式表示）（2）如图3，如∠AOB=180°，射线OC与射线OA重合，并绕点O以每秒6°的速度逆时针旋转，射线OD与射线OB重合，并绕点O以每秒10°的速度顺时针旋转，当射线OD与射线OA重合时，运动停止．①是否存在某个时刻t（秒），使得∠COD的度数是20°，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；②当t为多少秒时，射线OC，OD，OA中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线．请直接写出结果．【答案】（1）50，x6；（2）①存在，当t=10秒或12.5秒时，∠COD的度数是20°；②t=457秒或180【分析】（1）根据伴随线和角平分线的性质求解即可；（2）分为若OC与OD在相遇之前、OC与OD在相遇之后两种情况求解即可；（3）分为（Ⅰ）OC、OD未相遇之前：当OC是OA的伴随线时，当OC是OD的伴随线时；（Ⅱ）OC、OD相遇之后：当OD是OC的伴随线时，当OD是OA的伴随线时，四种情况求解即可.【详解】解：（1）如图4所示，∠AOM=1∴∠AOM=1如图4所示：∠BOC=12∠AOC=∴∠NOC=∠BOC−∠BON=x故答案为：50°，x6（2）射线OD与OA重合时，t=180①当∠COD的度数是20°时，有两种可能：若OC与OD在相遇之前，如图5：则180−10t−6t=20，∴t=10，若OC与OD在相遇之后，如图6：则10t+6t−180=20，∴t=12.5；所以，当t=10秒或12.5秒时，∠COD的度数是20°．②（Ⅰ）OC、OD未相遇之前：∠AOC=6°t，∠AOD=180°−∠BOD=180°−10°t，∠COD=∠AOD−∠AOC=180°−10°t−6°t=180°−16°t，当OC是OA的伴随线时，如图7：∠AOC=即：6°t=13(180°−10°t)当OC是OD的伴随线时，如图8：∠COD即：180°−16°t=13(180°−10°t)（Ⅱ）OC、OD相遇之后：∠AOC=6°t，∠AOD=180°−∠BOD=180°−10°t，∠COD=∠AOC−∠AOD=6°t−(180°−10°t)=16°t−180°当OD是OC的伴随线时，9如图：∠COD=1即：∠BOC=12∠AOC=x2当OD是OA的伴随线时，如图10：∠AOD=1即：180°−10°t=13×6°t综上：当t=457，18019，907，15秒时，OC、【点睛】本题考查了提取信息的能力，列代数式，一元一次方程的应用，分类讨论的思想；关键在于根据题意画出图形，建立方程解答．14．（2022·陕西·西安高新一中实验中学七年级期末）如图所示，OA，OB，OC是以直线EF上一点O为端点的三条射线，且∠FOA=20°，∠AOB=60°，∠BOC=10°，射线OP从OF处开始出发，绕点O逆时针匀速旋转，旋转速度为每秒5度：射线OQ从OC处开始出发，绕点O顺时针匀速旋转，两条射线同时开始旋转（当射线OQ旋转至与射线OF重合时，OP、OQ同时停止运动），旋转时间为t秒.（旋转速度÷旋转角度：旋转时间）(1)当t＝秒，射线OP平分∠AOB时；(2)若射线OQ的旋转速度为每秒4度时，请求出当∠POQ=60°时，射线OP旋转的时间；(3)若射线OQ的旋转速度为每秒3度时，是否存在某个时刻，使得射线OQ，OP，OB中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请直接写出所有满足题意的的值，若不存在，请说明理由．【答案】(1)10；(2)103或50(3)t=10011或【分析】（1）作出角平分线，求出OP运动到OG时的时间即可．（2）动点问题需要分类讨论，第一种OP、OQ还没有相遇时，第二种OP、OQ相遇之后，画图利用角度列出等式．（3）分别一其中一条作为角平分线来分析，画出图像之后列等式求时间．（1）解：作∠AOB的角平分线OG∵∠AOB=60°，∴∠AOG=12∠AOB∴∠FOG=∠FOA+∠AOG=20°+30°=50°，此时OP的运动时间t=505故答案为：10；（2）解：∵∠FOA=20°，∠AOB=60°，∠BOC=10°，∴∠FOC=90°由题意可得，∠FOP=5t°，∠COQ=4t°①如图所示：∴4t+60+5t=90，∴t=103②如图所示：此时4t+5t-60=90，∴t=50∵OQ停止运动时间t=904∴以上两种情况均符合∴当∠POQ=60°时，OP的旋转时间为103或50（3）解：存在；①当OQ平分∠BOP时，则∠BOQ=∠POQ，如图：则3t−10=90−3t−5t，解得：t=100②当OP平分∠BOQ时，则∠BOP=∠POQ，如图：则90−5t−10=3t−(90−5t)，解得：t=170综合上述，t=10011或【点睛】主要考查角平分线的计算，角度的和差倍分问题，解题的关键是掌握所学的知识，运用分类讨论的思想，利用图象找关系．15．（2022·浙江杭州·七年级期中）在同一平面内的三条射线OA、OB、OC，①当射线OC在∠AOB内时，若满足∠AOC=2∠COB，则称射线OC是【OA,OB】的好线；若满足∠BOC=2∠AOC，则称射线OC是【OB,OA】的好线；②当射线OC在∠AOB外时，若满足∠AOC=2∠COB，称射线OC是【（1）如图1，∠AOD=∠DOC=∠COB=20°，则射线OC是【OA,OB】的好线，又是【OA,OD】的皮线；射线______是【OB,OA】的好线，又是____的皮线．（2）如图2，点O在线段AB上，∠BOD=30°,∠AOC=60°，求【OC,OD】的好线与OA的夹角（写出完整的解答过程）．（3）如图3，点O在直线AB上，∠BOD=30°, ∠AOC=60°，射线OM从OC位置出发以每秒10°的速度绕着点O逆时针方向旋转，设旋转时间为①求当t为何值时，【OB,OM】的皮线与OC垂直？②若有射线ON从OD位置与射线OM同时出发以每秒5°的速度绕着点O顺时针方向旋转，并与射线OM同时停止运动，求当t为何值时，OM、OB、ON三条射线中恰好能使得其中一条为其余两条的好线（直接写出答案）．【答案】（1）OD，【OB,OC】，（2）120°；（3）①10.5；②t=8.4或667或78【分析】（1）根据好线与皮线的定义，即可得到答案；（2）设【OC，OD】的好线为OE，则∠COE=2∠EOD，进而即可求解；（3）①设【OB,OM】的皮线为ON，则∠NOB=2∠MON，从而求得OM转过的角度为105°，进而即可求解；②分三种情况：（a）当OB是好线，则∠NOB=2∠MOB或∠MOB=2∠NOB，（b）当ON是好线，则∠BON=2∠MON或2∠BON=∠MON，（c）当OM是好线，则∠BOM=2∠MON或2∠BOM=∠MON，分别求解即可．【详解】（1）∵∠AOD=∠DOC=∠COB=20°，∴∠BOD=2∠AOD，∠BOD=2∠BOC且OD在∠BOC之外，∴射线OD是【OB,OA】的好线，又是【OB,OC】的皮线，故答案是：OD，【OB,OC】，（2）设【OC，OD】的好线为OE，∵OE是【OC，OD】的好线，∴∠COE=2∠EOD，∵∠BOD=30°，∠AOC=60°，∴∠COD=90°，∴∠COE+∠EOD=90°，∴∠COE=60°，∴∠AOE=∠COE+∠AOC=120°，∴【OC,OD】的好线与OA的夹角为120°；（3）①设【OB,OM】的皮线为ON，则∠NOB=2∠MON，∵∠AOC=60°，∴∠BOC=180°-60°=120°，若【OB,OM】的皮线与OC垂直，即ON⊥OC，则∠NOB=∠BOC-90°=30°，∴∠MOB=12∠NOB∴OM转过的角度为105°，∴t=105°÷10°=10.5，即当t=10.5秒时，【OB,OM】的皮线与OC垂直；②分三种情况：（a）OB是好线，若∠NOB=2∠MOB，则30°-5t=2(120°-10t)，解得：t=14，∵0＜t＜12，∴t=14舍去，若∠MOB=2∠NOB，则2(30°-5t)=120°-10t，此时无解；（b）ON是好线，若∠BON=2∠MON，则5t-30°=2（120°-10t-5t+30°），解得：t=667若2∠BON=∠MON，则2（5t-30°）=120°-10t-5t+30°，解得：t=8.4；（c）OM是好线，若∠BOM=2∠MON，则120°-10t=2(5t+10t-120°-30°)，解得：t=10.5，若2∠BOM=∠MON，则2（120°－10t）=5t＋10t－120°－30°，解得：t=787综上所述：当t=8.4或667或787或10.5秒时，OM、OB、【点睛】本题主要考查几何图形中角的和差倍分运算，角平分线的定义以及一元一次方程的应用，理解“好线”与“皮线”的定义，掌握分类讨论思想方法，是解题的关键．16．（2022·广东汕头·七年级期末）已知∠AOB=150°，射线OP从OB出发，绕O逆时针以1°/秒的速度旋转，射线OQ从OA出发，绕O顺时针以3°/秒的速度旋转，两射线同时出发，运动时间为t秒0<t≤60（1）当t=12秒时，求∠POQ；（2）当OP⊥OQ，求t的值；（3）射线OP，OQ，OB，其中一条射线是其他两条射线所形成的角的平分线，求t的值．【答案】（1）∠POQ=102°；（2）当t=15或60时，OP⊥OQ；（3）当t=30或3007时，OP、OQ、OB【分析】（1）分别算出t=12秒时OP,OQ转过的角度，用∠AOB=150°减去转过的角度即可；（2）分两种情况进行讨论：相遇前OP⊥OQ以及相遇后OP⊥OQ，分别计算即可；（3）分三种情况进行讨论：当OP平分∠QOB时；当OQ平分∠POB时；当OB平分∠POQ时；分别进行计算即可．【详解】（1）当t=12时，∠AOQ=12×3°=36°，∠POB=12×1°=12°∴∠POQ=∠AOB−∠AOQ−∠POB=150°−36°−12°=102°．（2）∠AOP=3t，∠POB=t，OQ与OP相遇前，当0≤t≤37.5时，∠POQ=150−∠AOQ−∠POB=150−4t∵OP⊥OQ，∴150°−4t=90°，t=15，OQ与OP相遇后，37.5<t≤50时，∠POQ=∠POB−150−∠AOQ∴OP不垂直OQ，当50<t≤60时，∠POQ=∠POB+∠AOQ−150∵OP⊥OQ，，∴4t−150=90°，t=60，综上所述，当t=15或60时，OP⊥OQ．（3）当OP平分∠QOB时，∠POQ=∠POB=1∴150−4t=t，t=30，当OQ平分∠POB时，∠POQ=∠QOB=1127t=300，t=300当OB平分∠POQ时，∠POB=∠QOB，t=3t−150，t=75（不合题意），综上所述，当t=30或3007OP、OQ、OB其中一条射线是其他两条射线所形成的角的平分线．【点睛】本题考查了角的计算、角的和差，角平分线的定义等知识，正确的识别图形是解题的关键．17．（2022·湖北武汉·七年级期末）问题背景整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理，整体思想在代数和几何中都有很广泛的应用．(1)如图1，A、B、O三点在同一直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，则∠DOE的度数为（直接写出答案）．(2)当x＝1时，代数式ax3+bx+2021的值为2020，当x＝﹣1时，求代数式ax3+(3)①如图2，点C是线段AB上一定点，点D从点A、点E从点B同时出发分别沿直线AB向左、向右匀速运动，若点E的运动速度是点D运动速度的3倍，且整个运动过程中始终满足CE＝3CD，求ACAB②如图3，在①的条件下，若点E沿直线AB向左运动，其它条件均不变．在点D、E运动过程中，点P、Q分别是AE、CE的中点，若运动到某一时刻，恰好CE＝4PQ，求此时ADAB【答案】(1)90°(2)2022(3)①14；②112【分析】（1）根据题意，∠DOE=∠DOC+∠COE，∠DOE=12∠AOC，∠COE=12∠BOC，结合∠AOC+∠（2）根据题意，得到a+b=-1，变形-a-b=1，整体代入计算求值即可．（3）①设点D运动的路程为x，则点E运动的路程为3x，则CE＝BC+BE=BC+3x，CD=CA+AD=CA+x，代入已知CE＝3CD中，化简得到CB=3AC，代入计算即可．②分点E在C点的右侧，点E在C点的左侧，且在点A的右侧，点E在A点的左侧三种情况求解即可．（1）解：如图1，∵射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，∴∠DOC=12∠AOC，∠COE=12∠∵∠DOE=∠DOC+∠COE，∴∠DOE=12∠AOC+12∠BOC=12(∠AOC∵∠AOC+∠BOC=180°，∴∠DOE=12故答案为：90°．（2）∵当x＝1时，代数式ax3+bx∴a+b+2021=2020，∴a+b=-1，∴-a-b=1，当x＝﹣1时，ax3+bx=-a-b+2021=1+2021=2022．（3）①如图2，设点D运动的路程为x，则点E运动的路程为3x，∴CE＝BC+BE=BC+3x，CD=CA+AD=CA+x，∵CE＝3CD，∴BC+3x=3CA+3x，∴CB=3AC，∴AB=CB+AC=4AC，∴ACAB=1②根据①，设AC=m，则CB=3m，AB=4m，设点D运动的路程为AD=x，则点E运动的路程为EB=3x，当点E在C点的右侧时，如图3，∴CE＝BC-BE=3m-3x，CD=CA+AD=m+x，∵点P、Q分别是AE、CE的中点，∴PE=12AE，QE=∴PQ=PE-QE=12AE-12∵CE＝4PQ，∴3m-3x=4×m2解得x=m3故AD=m3∴ADAB=m当点E在C点的左侧，且在点A的右侧时，如图4，∴CE＝BE-BC=3x-3m，CD=CA+AD=m+x，∵点P、Q分别是AE、CE的中点，∴PE=12AE，QE=∴PQ=PE+QE=12AE+12∵CE＝4PQ，∴3x-3m=4×m2解得x=5m3故AD=5m3∴ADAB=m当点E在A点的左侧时，如图5，∴CE＝BE-BC=3x-3m，CD=CA+AD=m+x，∵点P、Q分别是AE、CE的中点，∴PE=12AE，QE=∴PQ=PE+QE=12AE+12∵CE＝4PQ，∴3x-3m=4×m2解得x=5m3故AD=5m3∴ADAB=5m综上所述，ADAB的值为112或【点睛】本题考查了角的计算，代数式的值，线段的计算，熟练掌握整体思想，运用方程思想、分类思想求解是解题的关键．18．（2022·四川·麓山师大一中七年级阶段练习）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC=3∠AOC，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．（1）将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转45°至图2的位置，则∠MOC=______°．（2）将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图3的位置，使得ON在∠AOC的内部，试探究∠AOM与∠NOC之间满足什么等量关系，并说明理由．（3）将图1中的三角尺绕着点O以每秒15°的速度按逆时针方向旋转；同时，射线OC也绕着点O以每秒5°的速度按逆时针方向旋转，当一方先完成旋转一周时停止，另一方同时也停止转动，当射线OC恰好平分∠MON时，求此时三角板绕点O的运动时间t的值．【答案】（1）90；（2）∠AOM=∠CON+45°；（3）18s【分析】（1）先根据平角定义结合已知条件求出∠AOC和∠BOC的度数，再根据旋转角的定义即可得到结论；（2）根据余角定义把∠AOM用∠AON表示出来，再把∠CON用∠AON表示出来，求∠AOM与∠CON的差，即可得到结论；（3）先根据已知条件设OM的旋转角度为15t，OC的旋转角度为5t，再根据OM比OC多旋转180°，列出方程即可得到结论；【详解】（1）∵∠BOC=3∠AOC，∠BOC+∠AOC=180°，∴3∠AOC+∠AOC=180°，∴∠AOC=45°，∠BOC=145°，由题意可知，∠BOM=45°，∴∠COM=∠BOC−∠BOM=90°．（2）当ON在∠AOC内部时，∠AON+∠CON=45°，又∵∠AON+∠AOM=90°，∴∠AOM−∠CON=45°，即∠AOM=∠CON+45°．（3）射线OM的旋转速度为15°/s，射线OC的旋转速度为5°/s，则tmax由题意可知，当OC平分∠MON时，OM恰好在OC前方45°，则OM比OC多旋转135°+45°=180°，则15t−5t=180，解得：t=18，即此时三角板绕点O的运动时间为18s【点睛】本题考查角的计算，关键是应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系是解题的关键．19．（2022·山东临沂·七年级期末）已知∠AOB=150°，OC为∠AOB内部的一条射线，∠BOC=60°．（1）如图1，若OE平分∠AOB，OD为∠BOC内部的一条射线，∠COD=12∠BOD（2）如图2，若射线OE绕着O点从OA开始以15度/秒的速度顺时针旋转至OB结束、OF绕着O点从OB开始以5度/秒的速度逆时针旋转至OA结束，运动时间t秒，当∠EOC=∠FOC时，求t的值．【答案】（1）35°；（2）3s或7.5s或24s【分析】（1）根据∠EOD=∠EOB-∠DOB，只要求出∠EOB，∠DOB即可；（2）分三种情形列出方程即可解决问题．【详解】解：（1）∵∠AOB=150°，OE平分∠AOB，∴∠EOB=12∠AOB∵∠BOC=60°，∠COD=12∠BOD∴∠BOD=40°，∠COD=20°，∴∠EOD=∠EOB-∠DOB=75°-40°=35°．（2）当OE在∠AOC内部时，∵∠EOC=∠FOC，∴90-15t=60-5t，解得：t=3．当OE与OF重合时，15t+5t=150，解得：t=7.5．当OE与OB重合时，OF仍在运动，此时∠EOC=60°，此时OF在∠AOC内部，且∠FOC=60°，∴t=1205综上所述，当∠EOC=∠FOC时，t=3s或7.5s或24s．【点睛】本题考查角的计算、角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握角的和差定义，灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．20．（2022·湖北武汉·七年级期末）如图1，平面内一定点A在直线EF的上方，点O为直线EF上一动点，作射线OA、OP、OA'，当点O在直线EF上运动时，始终保持∠EOP＝90°、∠AOP＝∠A'OP，将射线OA绕点O顺时针旋转60°得到射线OB．（1）如图1，当点O运动到使点A在射线OP的左侧，若OA'平分∠POB，求∠BOF的度数；（2）当点O运动到使点A在射线OP的左侧，且∠AOE＝3∠A'OB时，求∠AOF∠AOP（3）当点O运动到某一时刻时，∠A'OB＝130°，请直接写出∠BOP＝_______度．【答案】（1）50°；（2）103【分析】（1）根据OA′平分∠POB,设∠POA′＝∠A′OB＝x，根据题意列方程即可求解；（2）分射线OB在∠POA′内部和射线OB在∠POA′外部两种情况分类讨论，分别设∠A′OB＝x，∠AOE＝3x，分别求出x的值，即可求值；（3）根据题意分类讨论，根据周角定义分别求出∠A'OA，再根据∠AOP＝∠A'OP，结合已知即可求解．【详解】解：(1)∵OA′平分∠POB，∴设∠POA′＝∠A′OB＝x，∵∠AOP＝∠A′OP=x，∵∠AOB＝60°，∴x＋2x＝60°，∴x＝20°，∴∠BOF＝90°－2x＝50°；(2)①当点O运动到使点A在射线OP的左侧，射线OB在∠POA′内部时，∵∠AOE＝3∠A′OB，∴设∠A′OB＝x，∠AOE＝3x，∵OP⊥EF，∴∠AOF＝180°－3x，∠AOP＝90°－3x，∴∠AOF∠AOP∵∠AOP＝∠A′OP，∴∠AOP＝∠A′OP＝60°+x2∴OP⊥EF，∴60°+x2＋3x∴x＝120°7∴∠AOF∠AOP②当点O运动到使A在射线OP的左侧，但是射线OB在∠POA′外部时，∵∠AOE＝3∠A′OB，设∠A′OB＝x，∠AOE＝3x，∴∠AOP＝∠A′OP＝60°−x2∴OP⊥EF，∴3x＋60°−x2∴x＝24°，∴∠AOF∠AOP综上所述：∠AOF∠AOP的值是10(3)∠BOP＝95°或145°；①如图3，当∠A'OB＝130°时，由图可得：∠A'OA＝∠A'OB－∠AOB＝130°－60°＝70°，又∵∠AOP＝∠A'OP，∴∠AOP＝35°，∴∠BOP＝60°＋35°＝95°；②如图4，当∠A'OB＝130°时，由图可得∠A'OA＝360°－130°－60°＝170°，又∵∠AOP＝∠A'OP，∴∠AOP＝85°，∴∠BOP＝60°＋85°＝145°；综上所述：∠BOP的度数为95°或145°．【点睛】本题考查了角平分线的的定义和角的和差计算，根据题意正确画出图形进行分类讨论是解题关键．21．（2022·福建·莆田华亭第一中学七年级期末）直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在射线OP上运动，点B在射线OM上运动．（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值；（2）如图2，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及其延长线相交于E、F，则∠EAF=______°；在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，试求∠ABO的度数．【答案】（1）∠AEB的大小不变，为135°；（2）90；∠ABO为60°或45°．【分析】（1）根据直线MN与直线PQ垂直相交于O可知∠AOB=90°，再由AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线得出∠BAE=12∠OAB，∠ABE=12∠（2）由∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E可知∠EAO=12∠BAO，∠EOQ=12∠BOQ，进而得出∠E的度数，由AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线可知∠EAF=90°，在△【详解】解：（1）∠AEB的大小不变，∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，∴∠AOB=90°，∴∠OAB+∠OBA=90°，∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，∴∠BAE=12∠OAB，∠ABE=12∠∴∠BAE+∠ABE=12(∠OAB+∠ABO)=1∴∠AEB=135°；（2）∵AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线，∴∠EAO=12∠BAO，∠FAO=12∠∴∠EAF=12(∠BAO+∠GAO)=1故答案为：90；∵∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E，∴∠EAO=12∠BAO，∠EOQ=12∠∴∠E=∠EOQ-∠EAO=12(∠BOQ-∠BAO)=12∠即∠ABO=2∠E，在△AEF中，∵有一个角是另一个角的3倍，故分四种情况讨论：①∠EAF=3∠E，∠E=30°，则∠ABO=60°；②∠EAF=3∠F，∠E=60°，∠ABO=120°(舍去)；③∠F=3∠E，∠E=22.5°，∠ABO=45°；④∠E=3∠F，∠E=67.5°，∠ABO=135°(舍去)．∴∠ABO为60°或45°．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理、三角形外角性质以及角平分线的定义的运用，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．22．（2022·内蒙古赤峰·七年级期末）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC:∠BOC=2:1将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM在直线AB的下方．（1）将图1中的三角形板绕点O按照顺时针方向旋转至图2的位置，使得OM落在射线OA上，此时ON旋转的角度是____°；（2）继续将图2中的三角板绕点O按顺时针方向旋转至图3的位置，使得OM在∠BOC的内部，则∠BON−∠COM=_____________°；（3）在上述直角板从图1旋转到图3的位置的过程中，若三角板绕点O按每秒钟15°的速度旋转，当OM恰好为∠BOC的平分线时，此时，三角板绕点O【答案】（1）90；（2）30；（3）16．【分析】(1)根据旋转的性质可知,旋转角为∠MON;(2)如图3,利用平角的定义,结合已知条件:∠AOC:∠BOC=1：2,求得∠AOC=60°,然后由直角的性质、图中角与角的数量关系推知∠AOM-∠NOC=30°;(3)需要分类讨论:当OM平分∠BOC时,旋转角是60°;当ON平分∠AOC时,旋转角为240°．【详解】解:（1）根据旋转的性质可知:旋转角为∠MON=90°,故答案为90．（2）如图3,∠AOM-∠NOC=30°,理由如下:∵∠AOC+∠BOC=180°,∠AOC:∠BOC=1:2,∴∠AOC+2∠AOC=180°,∴∠AOC=60°，∴∠AON+CON=60°,①∵∠MON=90°,∴∠AOM+∠AON=90°,②②-①,得∠AOM-∠CON=30°．（3）16．理由:如图,因点O为直线AB上一点,∠AOC:∠BOC=2:1,所以∠AOC=120当OM恰好为∠BOC的平分线时,如图所示:∠AOC=1因为OM旋转的角度=90所以此时三角板绕点O运动的时间为24015所以当OM恰好∠BOC的平分线时,三角板绕点O的运动时间为16秒．【点睛】本题主要考查了旋转的性质和角的计算,解决本题的关键是运用分类讨论思想,以防漏解．23．（2022·福建三明·七年级期末）一副三角尺按照如图所示摆放在量角器上，边PD与量角器0刻度线重合，边AP与量角器180°刻度线重合，将三角尺ABP绕量角器中心点P以每秒4°的速度顺时针旋转，当边PB与0°刻度线重合时停止运动.设三角尺ABP的运动时间为t（秒）（1）当t=5秒时，边PB经过的量角器刻度线对应的度数为_;（2）t=秒时，边PB平分∠CPD;（3）若在三角尺ABP开始旋转的同时，三角尺PCD也绕点P以每秒1∘的速度逆时针旋转，当三角尺ABP停止旋转时，三角尺PCD①当t为何值时，边PB平分∠CPD;②在旋转过程中，是否存在某一时刻，使得∠BPD:∠APC=3:2.若存在，请求出t的值;若不存在，请说明理由.【答案】（1）115°；（2）26.25；（3）①21秒，②t=18秒或25.2秒【分析】（1）t=0秒时，边PB经过量角器刻度对应的度数是13