动点问题之有迹可循 论文

动点问题之有迹可循摘 要：本文主要探讨中考题型：动点最值--动点的运行轨迹是圆的题型的解答过程关键词：动点问题、解答方法探索《课标》指出，教师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，面向学生，引导学生进行自主探索与合作交流，并关注对学生理性精神的培养。事物的外在表象是复杂的，但若能探求其本质，就能达到化繁为简的目的，就可以让学生灵活让核心素养的培养真正落地课堂。下面以动点问题中与圆有关的最值问题为例，探讨如何引导学生深度思维，促进学生深度学习。在培养学生的学科核心素养的教育理论下，所谓核心，即中心，事物之间的主要关系。那么，培养学生的数学核心素养也就是培养学生也抓住问题的中心，分析清楚题设和结论事物之间主要关系的能力。一、建立模型1、点圆最值模型（点在圆外）（1）模型提出：如图1，点P是⊙O外的一点，点P到圆心O的距离OP=d,⊙O的半径为r,则⊙O上的点与点P的最长距离为，最短距离为图1 图2（2）模型要素

图3 图4动点在定圆⊙O上，定点P在定圆⊙O外；（3）模型建立如图2，过定点P和定圆的圆心O，作直线OP，直线OP与⊙O的交于点A、B，最长的距离为线段PA的长，最短距离为线段PB的长。（4）模型原理如图上不与中，PC=r=PA，所以，P与⊙O上一点的最长距离为PA=r同理，如图4，在△OCP中PC的最短距离PBd-r2、点圆最值模型（点在圆内）

OP=r

d=PB，所以，点P与⊙O上一点（1）模型提出：如图P是⊙OP到圆心O的距离OP=d,⊙O的半径为r,则⊙O上的点与点P的最长距离为，最短距离为（2）模型要素

图5 图6 图7 图8动点在定圆⊙O上，定点P在定圆⊙O内；（3）模型建立如图OP与⊙O的交于点PA的长为所求的最长距离，线段PB的长为所求的最短距离。（4）模型原理如图上不与中，PC=r=PA，所以，P与⊙O上一点的最长距离为PA=r中，PC

OP=r

d=PBP与⊙O上一点的最短距离PB=r d以上两个模型的本质都是构造三角形，利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。3、线圆最值模型（1）模型提出：如图l与元⊙OO到直线l的距离半径为r,则⊙O上的点与直线l的最长距离为，最短距离为图9 图10 图11 图12（2）模型要素动点在定圆⊙O上，定直线l在定圆⊙O外；（3）模型建立如图O点作直线l的垂线OM与⊙O的交于BM的长为所求的最长距离，线段AM的长为所求的最短距离。（4）模型原理如图为⊙O上不与C点作直线l的垂线段CH=BO=BM,⊙O上一点到定直线l的最大距离为BM=d同理，如图12，

AM∠AM,⊙O上一点到定直线l的最短距离为BM=d-r二、模型应用1、模型直接应用（1）点圆最值模型直接应用如图Rt△ABC是边BCD长为半径做⊙D，E是⊙D上一点，若AB=8，BC=6，则线段AE长的最小值为分析：

图13 图14 图15第一步，抽象出点圆模型，确定模型的要素：☉D就是定圆，A是圆外的定点；第二步，应用模型，确定最值位置：如图14、15，连接A、D两点，线段AD与☉D的交点E，就是A、E两点之间的距离取得最小值的位置，第三步，根据已知条件，计算最值：根据条件构造直角三角形中，使用勾股定理：如图15，在RtΔABD中，AD=

AB2+BD2=

82+32=

73，所以，AE=AD

DE=73 3（2）线圆最值模型直接应用如图16，在▱ABCD中，BC=8，E是边AB上一点，且AE=2，P是以A为圆心，AE长为半径的⊙A上一点，连接BP、CP，若▱ABCD的面积为36，则△BPC的面积最小值为图16 图17分析：第一步，16，在这个问题1底高的面积可以选BC为定值，2则BC边上的高达到最小值时，△BPC的面积就达到最小，因此，本题的关键是求出BC边上的高的最小值，即P点到BC距离的最小值，第二步，抽象出线圆模型，确定模型的要素：☉A就是定圆，BC是圆外定直线A点向BC做垂线AH，垂线AH与☉A的交点P，就是P点到线段BC的距离取得最小值的位置，= =第四步，根据已知条件，计算最值：在▱ABCD中，AH=S36 9，= =PH=AH

AP=92

2=5，S2

1=2

5×2

BC 8 22、模型高阶应用在点圆模型和线圆模型中，都有一个基本的要素是定圆，点圆模型中，确定最值的位置，需要作过定圆圆心和定点的直线；线圆模型中，确定最值的位置，需要作过定圆圆心作定直线的垂线。这个定圆（或定圆的圆心）就是这类问题的关键点。（1）寻找隐藏定圆（或定圆的圆心）线索一：90°角例ABCDBC为斜边在矩形所在平面作Rt△BEC，F为CD的中点，则EF的最小值为图18

图19

图20分析：第一步，此题中并未出现明显的定圆，因此，我们要进行逻辑推理，将隐藏的定圆抽象出来：因直径所所对的圆周角为90°，而∠BEC始终等于90°，所以，合情推理后，如图19，E点在以BC为直径的圆上，且BC的中点，即为圆心O；第二步，抽象为点圆模型：如图19，☉O为定圆，F为圆外的定点，OF，OF与⊙D交于点E，线段EF的长即为所求的最小值，第四步，根据已知条件，计算最值：如图19，在

RtΔFCO中，FO=

CF22=

32=5，所以，EF=OF

OE=5

3=2.同样的思路，如图20，也可以求出EF的最大值为8。（2）寻找隐藏定圆（或定圆的圆心）线索二：定弦对定角例ABCD的边长为为正方形外一动点，∠AED=45°，点P是AB上一点，AP=1，则线段PE的最大值是分析：

图21 图22 图23 图24第一步，同样此题中也并未出现明显的定圆，因此，我们也要进行逻辑推理，将隐藏的圆抽象出来：因在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等，且是同弧所对圆心AB所对的∠AEB=1∠A0B=45°（点O为正方形2ABCD点在以O为半径的圆上，第二步，抽象为点圆模型：如图23，☉O为定圆，点P为定圆内一点23，连接OP并延长，与⊙O交于点E，线段EP的长即为所求的最值第四步，根据已知条件，计算最值：如图24，作OE∠AB，在RtΔPHO中，PO=

PH22=

12+22=

5，所以，EP=OP=

52.（3）寻找隐藏定圆（或定圆的圆心）线索三：四点共圆例5、如图25，在边长为2

3的菱形ABCD中，C60，E、F分别是AB、AD上值为AE=DF，DE与BF交于点E从点A运动到B值为分析：

图25 图26 图27

图28第一步，同样此题中也并未出现明显的定圆，因此，我们也要进行逻辑推理，将隐藏的圆抽象出来：因对角互补的四边形的四个顶点在同一个圆上（这个四点共圆的判定定理，很直观、很好用，但在现行的沪科版教材中，已被删除，建议可以补上，根据已知条件，如图26，连接BD，易证，ΔABD和ΔCBD是等边三角形，在ΔDEA和ΔBFD中AE=DF（已知）DCEBDF=60°

∠BPE是ΔBDF的外角BPFDBPBDPBDP°DC=BD

ΔBFD（SAS）BDC=60BPD=120°ADEDBFDPB=180°因在变化的过程中，BCDDPB180四点在同一个圆上。第二步，抽象为点圆模型：如图27，又因不在同一条直线上的三点B、C、D已经确定一个圆，所以，此圆为定圆，点A为圆外一点。第三步，应用模型：如图28，连接AC，由菱形和圆的轴对称性可知，定圆的圆心在线段AC上，所以，当C、P、A三点共线时，PA的长就是所求的最值。第四步，根据已知条件，计算最值：如图28，由菱形的性质，易知，①ΔABC是顶角为120°的等腰三角形，所以，AC=

3AB=6；②ΔCBP是有一个内角为30°的直角三角形，所以，CP=3BC=32

3，所以，最小值AP=AC

CP=6 33（4）寻找隐藏定圆（或定圆的圆心）线索四：到定点的距离等于定值例4的菱形ABCD是AD是AB上的一个动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A'MN，连接A'C,则A'C长的最小值为图29 图30 图31分析：

图32第一步，此题中也并未出现明显的圆，因此，我们要进行逻辑推理，将隐藏的圆抽象出来：因到定点的距离等于到定长的点在以定点为圆心，定长为半径的圆上。此A´在以M为圆心，MA为半径的半圆上，如图30第二步，抽象为点圆模型：如图30，☉M是定圆，点C是☉M外的一点第三步，应用模型：如图31、32，连接CM,CM与☉M交于点A´，此时线段A´C的长度即为所求。第四步，根据已知条件，计算最值：如图32，可以利用特殊角度值，构造直角三角形来求出A´CM点作MH垂直与CDRt△MHD中，MH=

3，DHRt△MHC中MH=

3，CH=5CM=

(3252=2

7，所以，最小值A'C=2

7-2。三、动点问题解法四步曲数学学科核心素养包括：数学抽象，逻辑推理，数学建模，直观想象，数学运算和数据分析。这些数学核心素养既相对独立，又相互交融，是一个有机的整体。对动点问题解法的探讨，就很好的体现了，数学核心素养的六个方面的互相融合。中考中的动点最值问题解答分四步：1、第一步，找准动点的运动轨迹；这一步是最为关键的一步，需要在数据分析、逻辑推理的基础之上，和运用直观想象，进行数学抽象，将动点的运动轨迹抽象出来。定弦，如例3、4。③对角互补的四边形的四个顶点在同一个圆上，如例5。在推理的过程中，提高了学生的直观观察能力、逻辑分析能力。2、第二步，建立数学建模：在确定的动点的运动轨迹后，就要建立相对应的数学模型，这里就需要抽象思维能力，将模型从复杂的图形中抽象出来，并将模型中的关键要素对应起来。本文中主要是建立点圆模型和线圆模型。在此过程中，着重培养了学生的直观想象能力、逻辑抽象能力。3、第三步，应用模型：在第二步的基础上，根据模型的要求，确定取到最值的特殊位置。在此过程中，着重培养学生的建模能力。4、第四步，求出最值。等腰三角形等，计算出所求最值。在此过程中，着重培养学生的逻辑推理能力、运算及数